Астраномія
Выдавец: Выдавецтва БДУ
Памер: 224с.
Мінск 2003
8.
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
1. Першы закон Кеплера. Да канца XVI ст. вучоным з дапамо-гай тэорый, якія існавалі ў той час, не ўдавалася дакладна вылічыць адноснае месцазнаходжанне планет на некалькі гадоў наперад. Тэарэ-тычныя вылічэнні прыкметна адрозніваліся ад вынікаў назіранняў. Прычына была ў памылковым меркаванні, што планеты раўнамер-на рухаюцца па строга кругавых арбітах вакол Сонца. Кінематыч-ныя законы руху планет былі адкрыты толькі ў пачатку XVII ст. аўстрыйскім астраномам і матэматыкам Іаганам Кеплерам. Ён пер-шым разбурыў усталяваныя погляды аб «дасканаласці» арбіт планет, калі паказаў іх эліптычнасць.
Кеплер устанавіў, што планеты рухаюцца па эліпсах, у адным з фокусаў якіх знаходзіцца Сонца. Гэтая заканамернасць атрымала на-зву першага закону Кеплера.
Адрэзак АВ (рыс. 8.1) называецца вялікай воссю, а адрэзак CD — малой воссю эліпса. Адрэзкі AO = OB = a, CO = OD = b называ-юцца адпаведна вялікай і малой паўвосямі эліпса. Суадносіны
РУХ НЯБЕСНЫХ ЦЕЛ
III
OF, OF, е = —L = —-a a
(8.1)
называюцца эксцэнтрысітэтам эліпса. Чым большы эксцэнтрысітэт эліпса, тым больш зрушаны фокусы адносна цэнтра і тым большай будзе рознасць паміж вялікай j малой паўвосямі. Г. зн. эксцэнтры-сітэт з’яўляецца мерай «сплясканасці» эліпса.
Для эліпса 0 < е< 1. Адзначым, што е = 0, калі разглядаць ак-ружнасць як асобны від эліпса (Ь = а).
Калі Сонца знаходзіцца ў фокусе Fv тады найбліжэйшы да Сон-ца пункт (А) арбіты планеты называецца перыгеліем, а найбольш аддалены (В) — афеліем. Абазначым AF} = q — перыгелійную адлег-ласць, a О^В = Q— афелійную адлегласць. 3 рыс. 8.1 вынікае, што q + OF} = a; OF{ = a ■ e, тады
q = a-ae = a(l—e),
(8.2)
Q = a(\ + e). (8.3)
Рыс. 8.1. Элементы эліпса
У зямной арбіты е = 0,017. Зямля бывае ў перыгеліі 2 студзе-ня, тады перыгелійная адлегласць роўная 147 млн км, а ў афеліі — 3 чэрвеня, калі афелійная адлег-ласць роўная 152 млн км.
52
III
РУХ НЯБЕСНЫХ ЦЕЛ
Рыс. 8.2. Ілюстрацыя другога закону Кеплера
2. Другі закон Кеплера. Пры вы-вучэнні руху Марса ў прасторы Кеп-лер заўважыў, што планета рухаецца па арбіце нераўнамерна — зімой хут-чэй, чым летам. Ён пачаў шукаць заканамернасць, паводле якой адбы-ваецца змена скорасці Марса, і пра-панаваў гіпотэзу, што скорасць павін-на быць адваротна прапарцыянальнай адлегласці ад Марса да Сонца. Для пунктаў перыгелія і афелія гіпотэза пацвердзілася. Тады Кеплер умоўна падзяліў арбіту Марса на 360 частак і пачаў правяраць сваю гіпотэзу для кожнай з гэтых частак. Назіранні і раз-лікі паказалі, што за роўныя пра-межкі часу Марс праходзіць роўныя плошчы сектараў арбіты.
Сучасная фармулёўка гэтай залежнасці, пашыраная на ўсе пла-неты, носіць назву другога закону Кеплера і мае выгляд: радыус-век-тар планет (лінія, што злучае цэнтр Сонца і цэнтр планеты) апіс-вае за роўныя прамежкі часу роўныя плошчы.
Другі закон Кеплера, ці закон плошчаў, адлюстраваны на рыс. 8.2. Пры руху планеты (Р) вакол Сонца (5) яе радыус-вектар за аднолькавыя прамежкі часу апісвае роўныя па плошчы фігуры — P}SPy і P}SP4- Такім чынам, скорасць руху планеты па арбіце змя-няецца і мае найбольшае значэнне ў перыгеліі і найменшае ў афеліі.
3. Трэці закон Кеплера. Пры параўнанні памераў арбіт і перыя-даў абарачэння планет вакол Сонца Кеплер выявіў, што квадраты перыядаў абарачэння планет прапарцыянальныя кубам іх сярэдніх адлегласцей ад Сонца (ці суадносіны г3/Т2 аднолькавыя для ўсіх
планет).
Напрыклад, сярэдняя адлегласць ад Зямлі да Сонца суадносіц-ца з сярэдняй адлегласцю ад Марса да Сонца як Г. 1,52 (паводле даных Кеплера), а іх перыяды абарачэння вакол Сонца— як 1 : 1,88. Пры ўзвядзенні першых суадносін у куб, а другіх у квадрат атрыма-ем амаль роўныя велічыні: 1/3,53 і 1/3,54.
Трэці закон Кеплера фармулюецца так: квадраты сідэрычных пе-рыядаў абарачэння дзвюх планет суадносяцца як кубы вялікіх паўво-сей іх арбіт:
(8.4)
53
Калі ў гэтай формуле прыняць сідэрычны перыяд абарачэння Зямлі вакол Сонца роўным 1 (адзін год) і вялікую паўвось зямной арбіты роўнай 1 (адна астранамічная адзінка), то формула (8.4) на-бывае выгляд:
T = Ja\
(8.5)
РУХ НЯБЕСНЫХ ЦЕЛ
На аснове адкрытых законаў Кеплер пасля шматгадовых вылі-чэнняў склаў у 1627 г. табліцы, па якіх можна было знайсці на небе месцазнаходжанне кожнай планеты ў любы момант часу.
Пытанні і практыкаванні
1. Сфармулюйце законы, якія ляжаць у аснове нябеснай механікі. 2. У Зямлі эксцэнтрысітэт арбіты роўны 0,017, а ў Плутона — 0,25. Ар-біта якой з планет больш выцягнутая? 3. Ці змяняецца скорасць плане-ты, якая рухаецца па кругавой арбіце? 4. Прыміце арбіты Зямлі і Марса кругавымі і разлічыце працягласць года на Марсе. Пры рашэнні задачы ўлічыце, што Марс знаходзіцца ў 1,5 раза далей ад Сонца, чым Зямля. 5. Вызначце перыяд абарачэння штучнага спадарожніка Зямлі, калі най-вышэйшы пункт яго арбіты над Зямлёй 5000 км, а найніжэйшы — 300 км. Зямлю лічыце шарам радыусам 6370 км.
III
ЗАКОН СУСВЕТНАГА ПРЫЦЯГНЕННЯ НЬЮТАНА
1. Нябесная механіка. Пасля з’яўлення работ Каперніка, Галі-лея і Кеплера да сярэдзіны XVII ст. скончыўся апісальны (ці геа-метрычны) перыяд вывучэння руху планет. Была выяўлена кінема-тыка іх руху, аднак заставалася нявысветленым, чаму планеты рухаюцца? Што прымушае іх абарачацца вакол Сонца, а спада-рожнікі — вакол планет? Чым тлумачыцца ўстойлівасць планетнай сістэмы?
Усе матэрыяльныя целы, калі яны нічым не падтрымліваюц-ца, падаюць пад уздзеяннем сілы цяжару на паверхню Зямлі. Пакуль Зямля лічылася нечым выключным і адзіным у Сусвеце, сіла цяжару разглядалася толькі як зямная з’ява, якая не мае ніякага дачынення да Сусвету. Аднак адкрыцці Каперніка і яго паслядоўнікаў даказалі, што Зямля — гэта радавая планета, якая рухаецца вакол Сонца, як і іншыя планеты. У сувязі з гэтым з’явілася меркаванне, што сіла цяжару ўласцівая не толькі Зямлі, але і іншым нябесным целам. На матэрыяльныя целы, якія зна-
РУХ НЯБЕСНЫХ ЦЕЛ
ходзяцца над паверхняй планет (напрыклад, Месяца ці Марса), уздзейнічае сіла цяжару, накіраваная да цэнтра планеты таксама, як на Зямлі. Такім чынам было пастаўлена пытанне аб узаема-дзеянні гэтых цел. На аснове доследных даных Ньютан адкрыў тры асноўныя законы руху цел (закон інерцыі, закон дынамікі матэрыяльнага пункта, закон дзеяння і процідзеяння). На аснове трэцяга закону Кеплера і закону дынамікі Ньютан строга матэма-тычна абгрунтаваў закон сусветнага прыцягнення: два целы прыцяг-ваюцца адно да аднаго з сілай, прапарцыянальнай здабытку мас гэтых цел і адваротна прапарцыянальнай квадрату адлегласці паміж імі.
Матэматычны выраз закону сусветнага прыцягнення мае выгляд:
III
дзе т{ і т^ — масы двух цел, якія прыцягваюцца адно да аднаго, г— адлегласць паміж імі. Каэфіцыент прапарцыянальнасці G = = 6,673-10“н Н м2/кг2 называюць пастаяннай прыцягнення або гра-вітацыйнай пастаяннай, ён з’яўляецца адной з асноўных фізічных канстант.
Формула (9.1) справядлівая ў тым выпадку, калі памеры цел нязначныя ў параўнанні з адлегласцю паміж імі. Два працяглыя шарападобныя целы са сферычна-сіметрычным размеркаваннем мас прыцягваюцца адно да аднаго таксама, як матэрыяльныя пункты, г. зн. так, калі б іх масы былі засяроджаны ў іх цэнтрах. Адлегласць г трэба адлічваць ад цэнтраў гэтых цел.
Рыс. 9.1. Атрыманне арбітальных крывых пры сячэнні конуса плоскасцю
55
На аснове закону сусветнага прыцягнення і законаў механікі Ньютан матэматычна даказаў, што пад уздзеяннем сілы прыцяг-нення (гравітацыйнай сілы) цела масай т будзе рухацца адносна цела масай М па адной з крывых: па эліпсе, парабале ці гіпер-бале.
Такім чынам, Ньютан удакладніў і абагульніў першы закон Кеп-лера, які зараз фармулюецца так: пад уздзеяннем прыцягнення адно нябеснае цела рухаецца ў полі прыцягнення другога нябеснага цела па адным з канічных сячэнняў — эліпсе, акружнасці, парабале ці гіперба-ле (рыс. 9.1). Пры руху па эліпсе цела, якое прыцягвае, заўсёды зна-ходзіцца ў адным з яго фокусаў.
Навука, якая грунтуецца на законах Кеплера і Ньютана і выву-чае рух нябесных цел, называецца нябеснай механікай. Нябесная механіка даследуе рух нябесных цел з улікам створаных імі палёў прыцягнення. Асноўная задача гэтай навукі ў тым, каб па вядомых пачатковым месцазнаходжанні цела (матэрыяльнага пункта) і яго пачатковай скорасці вызначыць яго месцазнаходжанне ў любы мо-мант часу.
2. Узбурэнні ў руху нябесных цел. Рух цел, які строга падпарад-коўваецца законам Кеплера, называецца няўзбураным. Такая ідэалі-зацыя прадугледжвае ўлік узаемадзеяння толькі двух цел і апісвае, напрыклад, рух планеты пад уздзеяннем толькі прыцягнення Сон-ца. Задача двух цел была поўнасцю вырашана Ньютанам (закон сусветнага прыцягнення).
Сапраўдны рух цел Сонечнай сістэмы значна больш складаны. Гэта тлумачыцца тым, што планеты не толькі прыцягваюцца Сон-цам, але і ўзаемадзейнічаюць паміж сабой. Адхіленні ў руху цел ад законаў Кеплера называюцца ўзбурэннямі, а рэальны рух цел — уз-бураным рухам.
Узбурэнні руху цел Сонечнай сістэмы маюць вельмі складаны характар. Яны невялікія, таму што малыя ў параўнанні з масай Сонца. У якасці прыкладу разгледзім, як змяняюцца ўзбуральныя сілы, якія дзейнічаюць на Зямлю, у полі пры-цягнення Юпітэра на працягу адна-го года. За гэты час Зямля здзяйсняе адзін абарот, а Юпітэр — толькі 1/12 абарота вакол Сонца (рыс. 9.2). Стрэлкамі адзначаны напрамкі ўзбу-ральных сіл праз кожную чвэрць года. У выніку ў месцазнаходжанні 2 скорасць Зямлі будзе запавольвацца
масы асобных планет вельмі
Рыс. 9.2. Тлумачэнне ўзбурэнняў Зямлі, выкліканых Юпітэрам, з пе-рыядам у 1 год
РУХ НЯБЕСНЫХ ЦЕЛ
III
56
РУХ НЯБЕСНЫХ ЦЕЛ
III
з-за прыцягнення Юпітэра і з-за гэтага ж у месцазнаходжанні 4 па-вялічвацца.
Рашэнне ўраўнення руху нават для трох цел — задача выключ-най складанасці, аднак аналіз узбурэнняў дазваляе даволі даклад-на вызначыць масу і месцазнаходжанне ўзбуральнага цела. Най-больш яскравым прыкладам такога аналізу стала адкрыццё планеты Нептун на аснове аналізу ўзбурэнняў, якія ёсць у руху Урана.
Паміж тэарэтычнымі разлікамі руху Урана і вынікамі назіранняў выявіліся сістэматычныя разыходжанні. Тэарэтычна не растлумача-ныя ўзбурэнні руху Урана прывялі нямецкага вучонага Ф. Беселя да высновы, што па-за арбітай Урана ёсць невядомая планета, якая і абумоўлівае бачныя адхіленні яго руху. Патрабавалася вылічыць масу і месцазнаходжаняе невядомай планеты па выкліканых ёю ўзбурэннях.
КНІГІ ОНЛАЙН
