Выдавец: Народная асвета
Памер: 173с.
Мінск 2017
Рыс. 199 па старане і двух прылеглых да яе вуглах. Што і трэба было даказаць.
Задача 2. Даказаць, што адрэзкі паралельных прамых, размешчаныя паміж дзвюма іншымі паралельнымі прамымі, якія іх перасякаюць, роўныя паміж сабой.
в , с/ Д оказ. Няхай AB || CD, ВС || AD (рыс. 200). Да/ кажам, што AB = CD, ВС AD. Правядзём адрэа/ зак BD. У трохвугольнікаў ABD і CDB старана
BD — агульная, AABD = ACDB як накрыжлегРыс. 200 лыя пры паралельных прамых AB і CD і сякучай BD, AADB = ACBD як накрыжлеглыя пры паралельных прамых ВС і AD і сякучай BD. Тады трохвугольнікі роўныя па старане і двух прылеглых да яе вуглах. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што AB = CD, BCAD. Што і трэба было даказаць.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
145. На рысунку 201 т || п. Знайдзіце вугал, абазначаны пы
тальнікам.
102
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
Рыс. 202
Рыс. 204
Рыс. 205
146. На рысунку 202 а || Ь. Знайдзіце суму Z1 + Z2 + Z3.
147. На рысунку 203 Zl + Z2 = 180°, Z3 + Z4 = 240°. Знайдзіце вугал 4.
148. Ца рысунку 204 АВ || CD, СВ — бісектрыса вугла ACD, AC =14 см, ВС = 22 см. Знайдзіце перыметр трохвугольніка ABC.
149. На рысунку 205 AB || DC, AD || ВС, АВ = 6 см, перыметр чатырохвугольніка ABCD роўны 20 см. Знайдзіце даўжыню адрэзка AD.
150. Унутраныя аднастароннія вуглы пры дзвюх паралельных прамых і сякучай адносяцца як 2:3. Знайдзіце большы з гэтых вуглоў.
151. Адзін з унутраных аднастаронніх вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай на 40° меншы за другі. Знайдзіце меншы з гэтых вуглоў.
152. У трохвугольніку ABC правялі бісектрысу ВК, а з вяршыні С — прамую, паралельную ВК, якая перасякае прадаўжэнне стараны АВ у пункце Е. Дакажыце, што трохвугольнік ВЕС — раўнабедраны.
153. Дакажыце, што калі ў чатырохвугольніка ABCD AB = CD, АВ || CD, то ВС || AD.
154. Знайдзіце вугал, абазначаны пытальнікам (рыс. 206).
155. На бісектрысе вугла ABC узяты пункт К, на старане ВС — пункт М такі, што KM || AB, АВКМ = 36°. Знайдзіце вугал СМК.
Рыс.
206
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
103
156. Канцы адрэзка АВ ляжаць на паралельных прамых а і Ь. Пункт О — сярэдзіна адрэзка АВ. Дакажыце, што любы іншы адрэзак з канцамі на прамых а і Ь, які праходзіць праз пункт О, дзеліцца ім папалам.
157. Дакажыце, што прамая, якая перасякае бакавую старану раўнабедранага трохвугольніка і паралельная яго асно
ве, адсякае ад яго раўнабедраны трохвугольнік.
158. На рысунку 207 ЛАВС — роўнастаронні з перыметрам 36 cm, МК || ВС, NP || AC, EF\\AB і KM + MN + NP = PE + EF + FK. Знайдзіце перыметр шасцівугольніка KMNPEF.
159*. На рысунку 208 MN || AC. Дакажыце, што калі О — пункт перасячэння бісектрыс вуглоў A і С, to AM + CN = MN. Знайдзіце даўжыню стараны AC, калі перыметр трохвугольніка ABC роўны 34 см, а пе
рыметр трохвугольніка MBN — 26 см.
160*. Дзве прамыя перасякаюцца ў пункце, які ляжыць за межамі ліста (рыс. 209). Як можна вымераць вугал паміж гэтымі прамымі, выкарыстоўваючы чарцёжны трохвугольнік і транспарцір?
в
Рыс. 207
в
Рыс. 208
Рыс. 209
161*. Дакажыце, што калі ў чатырохвугольніка процілеглыя стораны паралельныя, то яго процілеглыя вуглы роўныя паміж сабой.
162*. Дакажыце, што калі AB\\CD, to: a) ZAEC = Z1 + Z2; б) Zl+Z2 + Z3 = 360° (рыс. 210).
104 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
Ведаем
1. Аксіёму паралельных прамых.
2. Тэарэму пра дзве прамыя, паралельныя трэцяй.
3. Уласцівасці накрыжлеглых, адпаведных і аднастаронніх вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай.
Умеем
1. Даказваць тэарэму пра дзве прамыя, паралельныя трэцяй.
2. Даказваць тэарэму пра ўласцівасць накрыжлеглых вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай.
3. Даказваць тэарэму пра ўласцівасць адпаведных вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай.
4. Даказваць тэарэму пра ўласцівасць аднастаронніх вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай.
Геаметрыя 3D
Дзве плоскасці называюцца паралельнымі, калі яны. не маюць агульных пунктаў (не перасякаюцца ).
Калі плоскасці а і р паралельныя, то пішуць: a II Р (рыс. 211).
Існуе яшчэ адзін від шматграннікаў — прызмы (рыс. 212). У прызмы дзве грані (асновы) — роўныя многавугольнікі, якія ляжаць у паралельных
плоскасцях, а астатнія грані (бакавыя) — паралелаграмы (задача 137).
У прамой прызмы бакавыя грані — прамавугольнікі, бакавыя канты перпендыкулярныя плоскасцям асноў і роўныя паміж сабой. На рысунку 212 адлюстраваны трохвугольная і чатырохвугольная прамыя прызмы. У іх паралельныя плоскасці верхняй і ніжняй граней. Перанясіце відарысы прызмаў у сшытак. Пакажыце, якія грані гэтых прызмаў з’яўляюцца нябачнымі.
Задача. Колькі дроту пойдзе на выраб каркаса прамой трохвугольнай прызмы. АВСА^^Су, у якой усе канты роўныя па 12 см?
Рыс. 212
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 105
Мадэляванне
Пасажырскі самалёт ляцеў строга на поўнач. Затым, не змяняючы вышыні, ён змяніў курс, павярнуўшы налева на 45°. Хутка экіпажу паступіла каманда ляцець на поўдзень. На колькі градусаў пілот павінен у другі раз павярнуць самалёт, каб ляцець на патрэбны курс на поўдзень? Зрабіце чарцёж, пазначыўшы становішча самалёта пунктамі. Прапануйце некалькі спо
сабаў знаходжання адказу.
Цікава ведаць. У гісторыі авіяцыі значнае месца займае выдатны авіяканструктар П. В. Сухі, які нарадзіўся і вырас у г. Глыбокае (Віцебская вобласць). У канструктарскім бюро Сухога было створана больш за 50 канструкцый грамадзянскіх і ваенных самалётаў.
П. В. Сухі сапраўды з’яўляецца гонарам зямлі беларускай.
П. В. Сухі
Пры дапамозе Інтэрнэту высветліце, якую школу скончыў П. В. Сухі (1895—1975) і з якімі вынікамі, якую атрымаў адукацыю пасля школы, у якім горадзе працаваў настаўнікам матэматыкі і кім быў яго бацька.
Вуглы з адпаведна
паралельнымі і адпаведна перпендыкулярнымі старанамі
Тэарэма(пра вуглы з адпаведна паралельнымі старанамі).
Вуглы з адпаведна паралельнымі старанамі або роўныя (калі абодва вострыя ці абодва тупыя), або ў суме складаюць 180° (калі адзін востры, а другі тупы).
1) Вострыя вуглы 1 і 2 (рыс. 213, а) — гэта вуглы з адпаведна паралельнымі старанамі. Выкарыстоўваючы рысунак, дакажыце самастойна, што вуглы 1 і 2 роўныя.
2) Востры вугал 1 і тупы вугал 2 (рыс. 213, б) — гэта вуглы з адпаведна па
Рыс. 213
106 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
ралельнымі старанамі. Выкарыстоўваючы гэты рысунак і вынік пункта 1), дакажыце, што сума вуглоў 1 і 2 роўна 180°.
Тэарэма (пра вуглы з адпаведна перпендыкулярнымі старанамі).
Вуглы з адпаведна перпендыкулярнымі старанамі або роўныя (калі абодва вострыя ці абодва тупыя), або ў суме складаюць 180° (калі адзін востры, а другі тупы).
Рыс. 214 ной з паралельных
Доказ. 1) Вострыя вуглы 1 і 2 — гэта вуглы з адпаведна перпендыкулярнымі старанамі (рыс. 214, а). Пабудуем востры вугал 3 у вяршыні вугла 1, стораны якога паралельныя старанам вугла 2. Стораны вугла 3 перпендыкулярныя старанам вугла 1 (прамая, перпендыкулярная адпрамых, перпендыкулярная і другой пра
мой). Па папярэдняй тэарэме Z2 = Z3. Паколькі вугал 1 і вугал 3 дапаўняюць вугал 4 да 90°, to Zl = Z3. Значыць, Zl = Z2.
2) Востры вугал 1 і тупы вугал 2 — гэта вуглы з адпаведна перпендыкулярнымі старанамі (рыс. 214, б). Выкарыстоўваючы рысунак і вынік пункта 1), дакажыце самастойна, што сума вуглоў 1 і 2 роўна 180°.
Задачы да § 18
РАШАЕМ САМАСТОЙНА
163. На рысунку 215 AB\\MN, BC\\NK і A ABC : LMNK = 1:2. Знайдзіце LMNK.
164. Ha рысунку 216 KB LAB, BCLAC, CD LAB, DE LAC, EP LAB, LAEP = = 58°. Знайдзіце LKBC.
165. Два вуглы з узаемна паралельнымі старанамі адносяцца як 2:7. Знайдзіце, на колькі градусаў адзін з іх большы за другі.
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 107
166. На старанах вуглаА, роўнага 90°, узяты пункты В і С (рыс. 217). 3 пункта A на прамую ВС апушчаны перпендыкуляр AD. Сума вуглоў АСВ і DAB роўна 138°. Знайдзіце вугал АСВ.
167. Дакажыце, што калі а\\ Ь, с || d, AM ± b, АКId, to Z1 = Z2 (рыс. 218).
168. У вуглоў ABC і MNKAB || MN, ВС1NK. Высветліце, як могуць быць звязаны градусныя меры вуглоў ABC і MNK. Разгледзьце ўсе варыянты.
Рыс. 218
169. Дакажыце, што прамыя AB і CD, размешчаныя на каардынатнай плоскасці, паралельныя, калі А(2; 0), В(0; 3), С(2; 4), Р(4; 1).
170*. Высветліце, ці правільнае сцверджанне: «Калі два вуглы роўныя і якіянебудзь дзве іх стараны паралельныя, то і дзве іншыя стараны гэтых вуглоў паралельныя».
171*. Высветліце, ці правільнае сцверджанне: «Калі два вуглы роўныя і якіянебудзь дзве іх стараны перпендыкулярныя, то і дзве іншыя стараны гэтых вуглоў перпендыкулярныя».
ЗАПАМІНАЕМ
1. Прыметы паралельнасці прамых: «Калі пры перасячэнні дзвюх прамых сякучай накрыжлеглыя вуглы роўныя, або адпаведныя вуглы роўныя, або сума аднастаронніх вуглоў роўна 180°, то прамыя паралельныя».
2. Уласцівасці паралельных прамых: «Калі паралельныя прамыя перасечаны сякучай, то накрыжлеглыя вуглы роўныя, адпаведныя вуглы роўныя і сума аднастаронніх вуглоў роўна 180°».
3. На плоскасці дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой.
4. На плоскасці дзве прамыя, паралельныя трэцяй, паралельныя паміж сабой.
5. Прамая, перпендыкулярная адной з дзвюх паралельных прамых, будзе перпендыкулярная і другой прамой.
6* . Вуглы з адпаведна паралельнымі старанамі або роўныя, або ў суме складаюць 180°.
7*.Вуглы з адпаведна перпендыкулярнымі старанамі або роўныя, або ў суме складаюць 180°.
108 Гпава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
Правяраемсябе
Тэст 1
Вядома, што а || & і Z1 на 50 меншы за Z2. Знайдзіце Z1.
Тэст 2
Тэст 3
Дакажыце, і АВ || CD, ВС IIAD.
BC=AD і
што калі AB = CD
Дадатковыя матэрыялы да главы можна знайсці на сайце: http://evedy.adu.by, курс «Матэматыка» — «Матэматыка. 7 клас», модуль «Паралельнасць прамых на плоскасці».
Сума вуглоў трохвугольніка
У гэтай главе вы даведаецеся:
■ Які вугал называецца знешнім вуглом трохвугольніка.
■ У чым заключаецца няроўнасць трохвугольніка.
■ Пра пяць прымет роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў.
■ Пра ўласцівасць пунктаў бісектрысы вугла.
■ Пра ўласцівасць катэта, які ляжыць супраць вугла ў 30°.
110 Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка
§ 19. Сума вуглоў трохвугольніка
КНІГІ ОНЛАЙН
