Выдавец: Народная асвета
Памер: 173с.
Мінск 2017
Пабудова.
1) Будуем прамую Ь, паралельную прамой AC, з іх агульным перпендыкулярам, роўным т (ключавая задача 2 § 30).
2) Будуем бісектрысу вугла ВАС (асноўная задача).
3) У перасячэнні бісектрысы і прамой b атрымліваем шуканы пункт К.
Доказ. Адлегласць паміж паралельнымі прамымі b і AC роўна т. Значыць, і адлегласць ад пункта К да стараны AC вугла ВАС роўна т. Усе пункты бісектрысы роўнааддаленыя ад старон вугла, у тым ліку і пункт К. Пункт К задавальняе патрабаванне задачы.
За дача 2. Пабудаваць трохвугольнік па дзвюх старанах a і b і вышыні hc, апушчанай на старану с.
Рашэнне. Заўважым, што ў агульным выпадку існуе два трохвугольнікі са старанамі a, b і вышынёй hc (рыс. 319, а, б).
Пабудова (рыс. 320).
1) Будуем дзве паралельныя прамыя т і п з адлегласцю h паміж імі (ключавая задача 2 § 30).
2) Будуем дугу з цэнтрам у пункце С і радыусам а, якая перасякае прамую т у пунктах В і Вх.
3) Будуем дугу з цэнтрам у пункце С
радыусам Ь, якая перасячэ прамую т ।^—।
у пункце А. Трохвугольнікі ABC і ,“,
АВХС — шуканыя. । ь_______,
Рыс. 319
Рыс. 320
164 Глава 5. Задачы на пабудову
Доказ. Вынікае з пабудовы і тэарэмы пра адлегласць паміж паралельнымі прамымі.
Даследаванне. Паколькі перпендыкуляр меншы за нахіленую, праведзеную з таго ж пункта да адной прамой, то задача можа мець рашэнне, толькі калі h ^ a і h^b. Калі h < а, h <Ь і а*Ь, то задача мае два рашэнні. Калі ah і а<Ь, то трохвугольнік прамавугольны, і задача мае адно рашэнне. Калі h < a і a b, то задача мае адно рашэнне — раўнабедраны трохвугольнік. Калі h> а або h> b, задача не мае рашэння.
Заданні да § 31
РАШАЕМ САМАСТОЙНА
276. На плоскасці дадзены пункты A і В. Знайдзіце геаметрычнае месца пунктаў М плоскасці, для якіх: а) адрэзак АВ з’яўляецца асновай раўнабедранага трохвугольніка АМВ; б) адрэзак АВ з’яўляецца бакавой стараной раўнабедранага трохвугольніка АМВ.
277. На плоскасці дадзены пункты Ai В. Знайдзіце геаметрычнае месца пунктаў М плоскасці, для якіх: a) AMMB; б) AM < ВМ.
278. Дадзены дзве перасякальныя прамыя. Знайдзіце геаметрычнае месца пунктаў, роўнааддаленых ад гэтых прамых.
279. Знайдзіце геаметрычнае месца цэнтраў акружнасцей, якія праходзяць праз два дадзеныя пункты.
280. Пабудуйце трохвугольнік ABC: а) па старане а, вышыні ha і вугле р; б) па старане а, вышыні ha і старане Ь.
281*. Дадзены адрэзак АВ. Знайдзіце геаметрычнае месца вяршынь прамавугольных трохвугольнікаў з гіпатэнузай АВ.
282*. Пабудуйце прамавугольны трохвугольнік па гіпатэнузе с і вышыні hc.
Глава 5. Задачы на пабудову 165
ПАДВОДЗІМ
ВЫНІКІ
Ведаем
1. Якія аперацыі пры рашэнні задач на пабудову можна выконваць цыркулем, а якія — лінейкай.
2. Асноўныя задачы на пабудову.
3. Этапы рашэння задачы на пабудову.
Умеем
1. Рашаць асноўныя задачы на пабудову.
2. Будаваць трохвугольнік: а) па дзвюх старанах і вугле паміж імі; б) па старане і двух прылеглых да яе вуглах; в) па трох старанах.
3. Будаваць прамую, якая паралельная дадзенай і праходзіць праз дадзены пункт.
Рэальная геаметрыя
На практыцы пры адсутнасці цыркуля акружнасць будуюць пры дапамозе кавалка вяроўкі. Замацаваўшы адзін яго канец і нацягнуўшы вяроўку, іншым канцом прачэрчваюць акружнасць.
Задача. Неабходна разбіць клумбу ў форме роўнастаронняга трохвугольніка са стараной 10 м, у цэнтры якой будзе размешчана круглая клумба дыяметрам 4 м (рыс. 321). У вас ёсць вяроўка даўжынёй 15 м, рэйка даўжынёй 1 м і некалькі калкоў.
Складзіце алгарытм рашэння гэтай практычнай задачы, зрабіце абгрунтаванне. Пры гэтым выкарыстоўвайце той факт, што цэнтр роўнастаронняга трохвугольніка знаходзіцца ў пункце перасячэння яго медыян (вышынь, бісектрыс).
Дадатковыя матэрыялы да главы можна знайсці на сайце: http://evedy.adu.by, курс «Матэматыка» — «Матэматыка. 7 клас», модуль «Задачы на пабудову».
166 База ведаў па геаметрыі. 7 клас
Паралельныя прамыя
Прыметыўласцівасці
Няроўнасць трохвугольнікаў
а<Ь + с Ь<а + с с<а + Ь
Сярэдзіны адрэзка Перпендыкуляра
Катэт, які ляжыць супраць вугла ў 30°
База ведаў па геаметрыі. 7 клас 167
База ведаў па геаметрыі 7 клас
Ведаць і ўмець даказваць
1. Сума сумежных вуглоў роўна 180°.
2. Вертыкальныя вуглы роўныя.
3. Любы пункт пасярэдняга перпендыкуляра да адрэзка роўнааддалены ад канцоў гэтага адрэзка.
4. Любы пункт бісектрысы вугла роўнааддалены ад старон вугла.
5. Трохвугольнікі роўныя: 1) па дзвюх старанах і вугле паміж імі; 2) па старане і двух прылеглых да яе вуглах; 3) па трох старанах.
Прамавугольныя трохвугольнікі роўныя: 1) па двух катэтах; 2) па катэце і прылеглым вострым вугле; 3) па катэце і процілеглым вострым вугле; 4) па гіпатэнузе і вострым вугле; 5) па катэце і гіпатэнузе.
6. У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя, а бісектрыса, праведзеная з вяршыні да асновы, з’яўляецца яго вышынёй і медыянай. Калі ў трохвугольніка два вуглы роўныя, то ён раўнабедраны.
7. Дзве прамыя, паралельныя трэцяй, паралельныя паміж сабой. Калі накрыжлеглыя вуглы роўныя, або адпаведныя вуглы роўныя, або сума аднастаронніх вуглоў роўна 180°, то прамыя паралельныя, і наадварот.
Дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой. Прамая, перпендыкулярная адной з паралельных прамых, перпендыкулярная і другой прамой.
8. Сума вуглоў трохвугольніка роўна 180°. Знешні вугал трохвугольніка роўны суме двух унутраных вуглоў, не сумежных з ім.
9. Любая старана трохвугольніка меншая за суму дзвюх іншых яго старон.
10. Катэт прамавугольнага трохвугольніка, які ляжыць супраць вугла ў 30°, роўны палове гіпатэнузы.
168 База ведаў па геаметрыі. 7 клас
Ведаць і выкарыстоўваць
1. Бісектрысы сумежных вуглоў узаемна перпендыкулярныя.
2. Любы пункт пасярэдняга перпендыкуляра да адрэзка роўнааддалены ад канцоў гэтага адрэзка. Калі пункт роўнааддалены ад канцоў адрэзка, то ён ляжыць на пасярэднім перпендыкуляры да гэтага адрэзка. Пасярэдні перпендыкуляр — геаметрычнае месца пунктаў, роўнааддаленых ад канцоў адрэзка.
3. Любы пункт бісектрысы вугла роўнааддалены ад старон вугла. Калі пункт унутры вугла роўнааддалены ад старон вугла, то ён ляжыць на бісектрысе вугла. Бісектрыса — геаметрычнае месца пунктаў унутры вугла, роўнааддаленых ад старон вугла.
4. Знешні вугал трохвугольніка большы за любы ўнутраны вугал, не сумежны з ім.
5. У трохвугольніку супраць большай стараны ляжыць большы вугал, супраць большага вугла — большая старана.
6. Пасярэднія перпендыкуляры да старон трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт з’яўляецца цэнтрам апісанай каля трохвугольніка акружнасці.
7. Калі ў трохвугольніку вышыня з’яўляецца бісектрысай, або вышыня з’яўляецца медыянай, або медыяна з’яўляецца бісектрысай, то трохвугольнік раўнабедраны.
8. Бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце.
9. Катэт прамавугольнага трохвугольніка меншы за гіпатэнузу. Для нахіленых і перпендыкуляра, праведзеных з аднаго пункта да адной прамой, справядліва: перпендыкуляр і праекцыя нахіленай на прамую меншыя за нахіленую; большай праекцыі адпавядае большая нахіленая, роўным праекцыям — роўныя нахіленыя.
10. У прамавугольным трохвугольніку медыяна, праведзеная да гіпатэнузы, роўная палове гіпатэнузы. Калі медыяна роўная
База ведаў па геаметрыі. 7 клас
169
палове стараны, да якой яна праведзена, то трохвугольнік прамавугольны.
11. Упісаны вугал, які абапіраецца на дыяметр, — прамы.
12. Сума вуглоў чатырохвугольніка роўна 360°.
13. Асноўныя задачы на пабудову: 1) пабудова трохвугольніка па трох старанах; 2) пабудова бісектрысы вугла; 3) пабудова вугла, роўнага дадзенаму; 4) пабудова сярэдзіны адрэзка; 5) пабудова прамой, перпендыкулярнай дадзенай.
170 Адказы
АДКАЗЫ
Глава 1
2. А. 3. а) 30 см. б) 21 дм. 4. 90 см. 5. a) He; б) так. 8. 96 см. 9. а) 48 см; б) 144 см. 10*. а) 22 см; б) (а + &). 12*. Прамая EG перасякае AM і AD. 15. 70 см. 16. 14 см. 17. 24 см. 18*. 49 поўных абаротаў. 19*. 3 см. 21. а) 4 вострыя; б) 3 тупыя. 22. 51°. 23. 30°. 25. 50°. 26. 33°. 27. 66°. 28*. 115°. 29*. а) 100°; б) (а + р). 30. а) 140°; б) 105°; в) 39°40'. 31. 125°.
2
32. 75°. 33. 130°. 34. 120°. 35. а) 20°, 160°, 160°; б) 110°, 70°, 70°; в) 90°, 90°, 90°. 36. Z1 = Z4 = 99°, Z2 = 45°, Z3 = 36°. 37. Z1 = Z3 = 125°, Z2 = Z4 = 55°. 38. 243°. 39. 60°. Улічыце, што 3P + 3y=3180° і а = у. 40. 60°. 41. С. 42*. 180°. 43*. 108°, 72°. 44*. 15°, 15°, 30°, 30°, 45°, 45°, 90°, 90°. 45. а) 42°; б) 13 8°. 46. 65°. 47. 4. 48. 80°.
Глава 2
51. МУ = 6см, Ж=7см, МК = 5 см. 52. Z1T = 30°, ZE = 90°, ZD = 60°. 53. Усе стораны па 12 дм. 54. а) 32 см; б) 58 см; в) 30 см; г) 46 см. 55. 8 см. 56. 20 см. 57. 22 см, 24 см, 44 см. 58. 4 = 5. 59. 8 м, 12 м, 16 м. 60. 144 см. 62*. P1 = ka + kb + kc = = k(a + b + c). 65. 36 дм. 67. 42 cm. 68. 6 cm, 5 cm. 75. 21 cm. 76. 30 cm. 79. 56 cm. 81*. 6 cm. 84. 20 cm. 85. 4 m. 86. 45 cm. 90. 18 cm. 91. 64 cm. 95*. 26 cm. 98*. 5 m; 20 m. 100. r) 61°. 101. 14,4 cm. 102. 42 cm. 104. 26 cm. 106*. 20 cm. 107*. 8 cm. 111. 84°. 113. 17 дм. 119. 7,5 m. 120. 42°. 121. 12 cm. 122. 56 cm.
Глава 3
129. c || e (рыс. 175). 134. He. 139. a\\c,b || d. 142. c \\ d, c || e, d || e. 144*. 18. 145. a) 125°; 6) 118°; b) 38°; r) 97°. 146. 235°. 147. 120°. 148. 50 cm. 149. 4 cm. 150. 108°. 151. 70°. 154. a) 82°; 6) 142°; b) 56°; r) 84°. 155. 72°. 158. 24 cm. 159*. 8 cm. 160*. Пабудуй
Адказы 171
це прамую, паралельную адной са старон вугла. 163. 120°. 164. 32°. 165. На 100°. 166. 69°. 169. Разгледзьце ^АОВ і /XCKD, К(4; 4). 170*. Няправільнае. 171*. Няправільнае.
Глава 4
172. а) 70°; б) 70°; в) 60°; г) 30°. 173. а) 80°; б) 8; в) 12; г) 28°. 174. 100°. 175. 150°. 176. 10°. 178. 40°, 50°. 179. 24 см. 182. 36°, 72°, 72°. 183. 70°. 184. 122°. 186*. 66°. 187*. 26°. 188*. 360°. 189*. 15°, 15°, 150°. 193. б) 36°30'; в) ±а.
194. 7:6 = 5. 195. 72°, 72°, 36°. 196. 130°. 199*. 130°. 200*. 60°. 201*. 36°, 36°, 108°. 202*. 23°. 204. 60°. 207. 12 см. 211. а) Так; б) не; в) не. 212. а) 25 см; б) 9 см, 9 см. 213. a) He; б) не. 216*. 15 м. 217*. а) У пункце С; б) на адрэзку АВ. 223. 8 см. 225. 32 см. 227*. 264 см2. 231. 64°. 232. 40°. 233.30 см. 236*. 80°. 239. 74 см. 240. 19 см. 241. 60°. 242. 32 см. 243. 72 см. 244. 36 см, 12 см. 245*. 48 м. 246. 2 см або 8 см. 247. 17 см. 249. 16 см. 250. 38 см. 251. 8,1 см. 252*. 6 дм.
КНІГІ ОНЛАЙН
