Выдавец: Народная асвета
Памер: 173с.
Мінск 2017
Доказ. Правядзём адрэзак AD. Вуглы CAD і BDA роўныя як унутраныя накрыжлеглыя пры паралельных прамых а і & і сякучай AD. Прамавугольныя трохвугольнікі ABD і ACD роўныя па гіпатэнузе (AD — агульная) і вострым вугле (ACAD = ABDA). Адкуль AB = CD. Тэарэма даказана.
Вынік.
Усе пункты, якія ляжаць у адной паўплоскасці адносна дадзенай прамой і роўнааддаленыя ад гэтай прамой, ляжаць на прамой, паралельнай дадзенай.
Доказ. Няхай перпендыкуляры AB і CD да прамой b роўныя (гл. рыс. 285). Прамая а, што праходзіць праз пункт A паралельна прамой Ь, будзе перасякаць прамень DC у некаторым пункце С^. Па тэарэме пра адлегласць паміж паралельнымі прамымі CrD=AB. Але CDAB па ўмове. Значыць, пункт С супадае з пунктам Сг і ляжыць на прамой а, якая паралельная прамой Ь. Сцверджанне даказана.
3 прычыны таго што прамая, перпендыкулярная адной з дзвюх паралельных прамых, будзе перпендыкулярная і другой прамой, перпендыкулярАВ да прамой b будзе перпендыкулярам і да прамой а (гл. рыс. 285). Таму такі перпендыкуляр называюць агульным перпендыкулярам дзвюх паралельных прамых.
Заданні да § 26
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. У чатырохвугольніку ABCD AB || CD, AD || ВС, АВ = 32 cm, AADC150°. Знайсці адлегласць паміж прамымі AD і ВС.
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка 141
Рыс. 286
Рашэнне. ABAD + A ADC = 180° як сума ўнутраных аднастаронніх вуглоў пры паралельных прамых AB і CD і сякучай AD (рыс. 286). Тады ABAD = 180° 150° = 30°.
Адлегласць паміж паралельнымі прамымі
вымяраецца даўжынёй перпендыкуляра, апушчанага з любога пункта адной з прамых на другую прамую. Апусцім перпендыкуляр ВН на прамую AD. У прамавугольным трохвугольніку АВН катэт ВН ляжыць супраць вугла ў 30°. Таму ён роўны палове гіпатэнузы. Значыць, ВН ~АВ = 16 см.
Адказ: 16 см.
Задача 2. Знайсці геаметрычнае месца пунктаў, роўнааддаленых ад дзвюх дадзеных паралельных прамых.
Рашэнне. 1) Няхай a і b — дадзеныя а А паралельныя прамыя (рыс. 287), АВ — іх
агульны перпендыкуляр. Праз сярэдзіну К т к \ Гм~ перпендыкуляра АВ правядзём прамую т,
b п h паралельную прамой а. Тады т\\ Ь. Па тэарэме
пра адлегласць паміж паралельнымі прамымі Рыс. 287 „ „ „
усе пункты прамон т роунааддаленыя ад
прамых а і 6 на адлегласць — АВ.
2
2) Няхай некаторы пункт М (гл. рыс. 287) роўнааддалены ад прамых а і Ь, г. зн. адлегласць ад пункта М да прамой b роўна ^АВ Па выніку з тэарэмы пра адлегласць паміж паралельнымі прамымі пункты К і М ляжаць на прамой КМ, паралельнай прамой Ь. Але праз пункт К праходзіць адзіная прамая т, паралельная Ь. Значыць, пункт М належыць прамой т.
Такім чынам, усе пункты прамой т роўнааддаленыя ад прамых a і b. I любы роўнааддалены ад іх пункт ляжыць на прамой т. Прамая т, якая праходзіць праз сярэдзіну агульнага перпендыкуляра прамых а і Ь, — шуканае геаметрычнае месца пунктаў.
142
Глава 4. Сума вуглоў трохвугол ьніка
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
246. Прамая а паралельная прамой Ь, прамая с паралельная прамой Ь. Адлегласць паміж a і b роўна 3 см, а паміж b і с роўна 5 см. Чаму можа быць роўна адлегласць паміж прамымі а і с? Разгледзьце ўсе варыянты.
247. Дзве паралельныя прамыя перасякаюцца сякучай у пунктах A і В. Прамая АВ складае з адной з паралельных прамых вугал 30°. Адлегласць паміж гэтымі паралельнымі прамымі роўна 8,5 см. Знайдзіце даўжыню адрэзка АВ.
248. Дакажыце, што прамая, роўнааддаленая ад дзвюх дадзеных паралельных прамых, дзеліць папалам любы адрэзак з канцамі на гэтых паралельных прамых.
249. Праз вяршыню В раўнабедранага трохвугольніка ABC праведзена прамая Ь, паралельная аснове AC. Знайдзіце адлегласць паміж прамой b і прамой AC, калі вядома, што ZABC = 120°, АВ + ВС = 64 см.
250. Праз вяршыню А раўнабедранага трохвугольніка ABC з асновай AC праведзена прамая а, паралельная бакавой старане ВС. Знайдзіце бакавую старану трохвугольніка ABC, калі адлегласць паміж прамымі a і ВС роўна 19 cm і ZBAC= 15°.
251. У акружнасці з цэнтрам у пункце О і радыусам 8,1 см праведзены дыяметры AB і CD. Вугал АОС роўны 60°. Дакажыце, што прамыя AD і СВ паралельныя, і знайдзіце адлегласць паміж імі.
252*. Аб’ём паралелепіпеда ABCDAJ^C^Di роўны 120 дм3, AD = 5 дм, DC = 4 дм (рыс. 288). Знайдзіце адлегласць паміж прамымі DC і
253*. Дакажыце, што сума адлегласцей ад пункта, узятага на аснове раўнабедранага трохвугольніка, да прамых, якія змяшчаюць яго бакавыя стораны, роўная вышыні трохвугольніка, праведзенай да бакавой стараны.
Рыс. 288
Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка 143
254*. Пры дапамозе лінейкі з паралельнымі краямі падзяліце дадзены вугал папалам.
255*. У сшытку адзначаны пункты A, В і С с
(рыс. 289). Пры дапамозе чарцёжнага трохвугольніка правядзіце праз гэтыя пункты тры прамыя, паралельныя пара
мі так, каб адлегласці ад сярэдняй пра а* 'в
мой да дзвюх крайніх былі роўныя. р
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
Ведаем
1. Уласцівасць катэта прамавугольнага трохвугольніка, які ляжыць супраць вугла ў 30°.
2. Як вызначаецца адлегласць паміж паралельнымі прамымі.
Умеем
1. Даказваць тэарэму пра адлегласць паміж паралельнымі прамымі.
2. Даказваць тэарэму пра ўласцівасць катэта, які ляжыць супраць вугла ў 30°.
Геаметрыя 3D
Адлегласцю паміж паралельнымі плоскасцямі называецца даўжыня перпендыкуляра, апушчанага з пункта, які належыць адной з плоскасцей, на іншую плоскасць (рыс. 290). У вашым класе падлога і столь — часткі паралельных плоскасцей. Адлегласць паміж імі роўная вышыні класнага пакоя.
р К^
Рыс. 290
Вышынёй прамой прызмы называецца адлегласць паміж плоскасцямі асноў. Адрэзак ККХ — перпендыкуляр да плоскасці ABC, роўны яе вышыні. У прамой прызмы бакавыя канты перпендыкулярныя плоскасцям асноў. Таму вышыня прызмы роўная даўжыні бакавога канта, гэта значыцьАА^^ (рыс. 291).
А1 Задача. Знайдзіце вышыню прамой трохвуголь
Сі най прызмы. АВСА^В^і, калі ААВС — роўнастаронні з перыметрам 48 см, а ўсе бакавыя грані прызмы — квадраты, (гл. рыс. 291).
Рыс. 291 С
В
144 Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
Мадэляванне
Дзеці знайшлі схему прыкладнага вызначэння шырыні ракі ў паходных умовах (рыс. 292). Аднак сама інструкцыя аказалася абарванай.
Дапамажыце дзецям аднавіць тэкст інструкцыі. Змадэлюйце матэматычнае рашэнне гэтай практычнай задачы. Паспрабуйце выкарыстаць дадзены метад на практыцы, вызначыўшы, напрыклад, шырыню бегавой дарожкі ці школьнага стадыёна.
Рыс. 292
Рэальная геаметрыя
Задача 1. Квадратны ліст кардону, паказаны на рысунку,
разразаюць па прамых
СК і КМ. Пры гэтым прамая СК складае з верхняй стараной квадрата вугал 70°, а разрэз КМ дзеліць вугал АКС папалам.
1) Вызначыце, пад якім вуглом да ніжняй стараны квадрата неабходна зрабіць разрэз КМ.
2) Вызначыце вуглы атрыманых трохвугольнікаў.
3) Знайдзіце вуглы чатырохвугольніка КМВС.
Задача 2. Квадратны адрэз матэрыі са стараной 80 см трэба раскроіць на 3 часткі, як паказана на рысунку.
1) Складзіце алгарытм выканання задання.
2) Выражыце з паперы квадрат у маштабе 1 = 10 да дадзенага адрэзка матэрыі і зрабіце раскрой гэтага квадрата згодна з умовай.
3) Знайдзіце шляхам разлікаў і непасрэдным вымярэннем вуглы кожнай фігуры.
4) Вылічыце перыметр фігуры № 2.
Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка 145
Задача 3. 3 прамавугольнага ліста фанеры выразалі трохвугольнік АМК, як паказана на рысунку. Затым яго разрэзалі па вышыні ME. Знайдзіце ўсе вуглы трохвугольніка АМК, трохвугольніка АМЕ і трохвугольніка КМЕ.
ЗАПАМІНАЕМ
1. Сума вуглоў трохвугольніка роўна 180°.
2. Знешні вугал трохвугольніка роўны суме двух унутраных, не сумежных з ім.
3. Катэт меншы за гіпатэнузу. Перпендыкуляр меншы за сваю нахіленую, праведзеную з таго ж пункта да адной прамой.
4. Прамавугольныя трохвугольнікі могуць быць роўныя: 1) па двух катэтах; 2) па катэце і прылеглым вострым вугле; 3) па катэце і процілеглым вострым вугле; 4) па гіпатэнузе і вострым вугле; 5) па катэце і гіпатэнузе.
5. Катэт прамавугольнага трохвугольніка, які ляжыць супраць вугла ў 30°, роўны палове гіпатэнузы. Калі катэт роўны палове гіпатэнузы, то ён ляжыць супраць вугла ў 30°.
6. У трохвугольніку супраць большай стараны ляжыць большы вугал, а супраць большага вугла — большая старана.
7. У трохвугольніку любая старана меншая за суму дзвюх іншых яго старон (няроўнасць трохвугольніка).
8. Любы пункт бісектрысы роўнааддалены ад старон вугла. Калі пункт унутры вугла роўнааддалены ад старон вугла, то ён ляжыць на бісектрысе вугла.
9. Медыяна прамавугольнага трохвугольніка, праведзеная да гіпатэнузы, роўная палове гіпатэнузы. Калі ў трохвугольніку медыяна роўная палове стараны, да якой яна праведзена, то трохвугольнік прамавугольны.
ІО. Бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце (2і адметны пункт).
ІІ. Адлегласць ад любога пункта адной з паралельных прамых да другой прамой ёсць велічыня пастаянная.
б.Зак. 212.
146 Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка
Правяраем сябе
Тэст 1
Знайдзіце старану AC трохвугольніка ABC.
Тэст 2
Знайдзіце адлегласць ад пункта В да прамой AC.
Тэст 3
Дакажыце, што ААВС меншы за AADC.
Дадатковыя матэрыялы да главы можна знайсці на сайце: http://evedy.adu.by, курс «Матэматыка» — «Матэматыка. 7 клас», модуль «Сума вуглоў трохвугольніка».
Задачы на пабудову
У гэтай главе вы даведаецеся:
У чым сутнасть задачы на пабудову.
Як пабудаваць трохвугольнік
па трох старанах.
Як пабудаваць прамы вугал без вугольніка.
148 Глава 5. Задачы на пабудову
§ 27. Пра задачы на пабудову
Раней мы выконвалі пабудовы на плоскасЦІ ПРЬІ дапамозе лінейкі ,<3%&r^ j< з дзяленнямі, чарцёжнага трохву
гольніка, транспарціра і цыркуля.
' Матэматыкаў заўсёды цікаві
лі пабудовы геаметрычных фігур, якія можна выканаць толькі пры дапамозе цыркуля і лінейкі. У геаметрыі спецыяльна вылучаюць задачы на пабудову, што могуць быць рэшаны з дапамогай гэтых двух інструментаў.
Напрыклад, пры дапамозе цыркуля і лінейкі можна пабудаваць трохвугольнік, стораны якога роўныя тром дадзеным адрэзкам. Або пабудаваць вугал, роўны дадзенаму вуглу.
Разгледзім адну з такіх задач на пабудову. На прамой a трэба знайсці пункт, які знаходзіцца на аднолькавай адлегласці ад пунктаў A і В, што ляжаць па адзін бок ад прамой a (рыс. 293, а).
КНІГІ ОНЛАЙН
