Выдавец: Народная асвета
Памер: 173с.
Мінск 2017
А в Адрэзкі можна параўнаць, вымераўшы іх
11 даўжыні. Адрэзак вымяраецца пры дапамозе
С . ц D іншых адрэзкаў, якія прыняты за адзінку даўРыс. 2 жыні: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км і г. д. Калі на
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 9
дадзеным адрэзку AJB укладваецца тры адрэзкі па 1 дм, пяць адрэзкаў па 1 см і два адрэзкі па 1 мм, то даўжыня адрэзка АВ роўна 3 дм 5 см 2 мм. Пры рашэнні геаметрычных задач даўжыні ўсіх адрэзкаў звычайна запісваюць у адных адзінках даўжыні: АВ = 352 мм ці АВ = 3,52 дм. Калі ва ўмове размернасць не названа, то маецца на ўвазе, што даўжыні адрэзкаў выяўлены ў адных адзінках.
Тэст 1
Назавіце прамыя, адрэзкі і прамені, адлюстраваныя на рысунку.
Часта замест слоў «даўжыня адрэзка роўна 12 см» кажуць «адрэзак роўны 12 см», замест «знайдзіце даўжыню адрэзка» — «знайдзіце адрэзак».
А цяпер выканайце Тэст 1.
Акружнасць
Рыс. 3
1.3. Акружнасць і круг
Акружнасць — гэта замкнутая лінія на плоскасці, усе пункты якой знаходзяцца на аднолькавай адлегласці ад аднаго пункта — цэнтра акружнасці.
Круг — гэта ўнутраная частка плоскасці, абмежаваная акружнасцю.
Памеры акружнасці і круга вызначаюцца іх радыусам — адрэзкам, які злучае цэнтр з пунктам на акружнасці (рыс. 3).
У матэматыцы «акружнасць» і «круг» — два розныя, хоць і звязаныя паміж сабой, паняцці. Акружнасць, напрыклад, з’яўляецца мадэллю абруча, а круг — мадэллю века люка.
10 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
1.4. Вугал
Рыс. 4
Калі з пункта правесці два прамені, то атрымаем вугал. Гэтыя прамені называюцца старанамі вугла, а іх агульны пункт — яго вяршыняй. Пры запісе вугла трыма вялікімі літарамі вяршыня вугла запісваецца ў цэнтры.
На рысунку 4 прамені AB і AC — стораны вугла ВАС (або САВ), пункт A — вяршыня вугла. Калі зразумела з рысунка, пра які вугал
ідзе гаворка, то яго абазначаюць адной літарай пры вяршыні вугла: АА. Часта вуглы абазначаюць лікамі, пастаўленымі ўнутры вугла ля яго вяршыні, або малымі літарамі грэчаскага алфавіта: а (альфа), р (бэта), у (гама), ф (фі). Звычайна роўныя вуглы на чарцяжы абазначаюць роўнай колькасцю дуг.
Вугал, адлюстраваны на плоскасці, дзеліць яе на дзве часткі, кожная з якіх называецца плоскім вуглом. На рысунку 5 гэта вуглы a і [3. Далей мы будзем разглядаць плоскія вуглы. Слова «плоскі» пры называнні вуглоў ужываць не будзем.
Рыс. 5
N
Параўнаць вуглы можна накладаннем, сумясціўшы старану аднаго вугла са стараной іншага. Калі вуглы супадуць, то яны роўныя; калі не, то вугал, які ляжыць унутры іншага вугла, лічыцца меншым. На рысунку 6 ABAC меншы, чым AMKN.
1.5. Вымярэнне вуглоў
Калі стораны вугла павярнуць вакол яго вяршыні так, каб яны ўтварылі прамую, то атрымаем разгорнуты вугал (рыс. 7).
Разгорнуты вугал 180°
A 0 В
Рыс. 7
Вуглы можна параўнаць, вымераўшы іх велічыню. Вуглы вымяраюцца ў градусах. Велічыню разгорнутага вугла прымаюць за 180°. Тады 1° — гэта ^ частка разгорнутага вуг
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 11
Рыс. 9
ла, якая атрымаецца, калі з яго вяршыні правесці прамені, што дзеляць разгорнуты вугал на 180 роўных частак. Вуглы вымяраюць пры дапамозе транспарціра (рыс. 8). Транспарцір
таксама дазваляе пабудаваць вугал дадзенай градуснай меры.
Віды вуглоў: вугал, меншы за 90°, называецца вострым; роўны 90°, — прамым; большы за 90°, але меншы за 180°, — тупым (рыс. 9).
Невядомы вугал пры рашэнні задач часам абазначаюць х ці х°. Літарамі а, Р, у, ... абазначаюць і вугал, і яго градусную меру.
А цяпер выканайце Тэст 2.
Тэст 2
Назавіце ўсе вуглы на рысунку і вызначыце іх від.
1.6. Паралельныя і перпендыкулярныя прамыя
На рысунку 10 прамыя a і b маюць агульны пункт М. Пункт А належыць прамой а, але не належыць прамой Ь. Гавораць, што прамыя аіЬ перасякаюцца ў пункце М. Гэта можна запісаць так: Ае а, А^ b, а П Ь = М, дзе «е » — знак пры
Паралельныя прамыя
Рыс. 10
Рыс. 11
12 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
Перпендыкулярныя прамыя
Рыс. 12
належнасці пункта прамой, «П» — знак перасячэння геаметрычных фігур.
На плоскасці дзве прамыя могуць або перасякацца, або не перасякацца. Тыя прамыя на плоскасці, якія не перасякаюцца, называюцца паралельнымі. Калі прамыя a і b паралельныя (рыс. 11, с. 11), то пішуць а || Ь.
Дзве прамыя, якія пры перасячэнні ўтва
раюць прамы вугал, называюцца перпендыкулярнымі прамымі. Калі прамыя a і b перпендыкулярныя (рыс. 12), то пішуць a Lb.
ВАЖНА!
Прамыя, якія супадаюць, будзем лічыць адной прамой. Таму, калі сказана «дадзены дзве прамыя», гэта азначае, што дадзены дзве розныя прамыя, якія не супадаюць. Гэта датычыцца таксама пунктаў, праменяў, адрэзкаў і іншых фігур.
Есць два спосабы практычнага параўнання адрэзкаў, а таксама даўжынь вуглоў: 1) накладанне; 2) параўнанне вынікаў вымярэння. Абодва спосабы з’яўляюцца прыблізнымі. У геаметрыі адрэзкі і вуглы могуць быць роўныя, калі гэта дадзена па ўмове або вынікае з умовы на падставе лагічных разважанняў.
Заданні да § 1
1. Перанясіце пункты A, В, С і D у сшытак, захаваўшы іх размяшчэнне (рыс. 13). •
С
2. Вызначыце па рысунку, ці перасякаюц •
ца: а) адрэзкі ВС і AD; б) адрэзкі AC і BD;
в) прамыя ВС і AD; г) прамені СВ і AD. *о
3. Адзначце пункт К, у якім перасякаюцца прамені ВС і AD. Пры дапамозе транспар рьіс 13 ціра вызначыце велічыню вугла АКВ.
4. Пабудуйце вугал BCF, роўны 60°, і вугал DAM, роўны 120°.
5. Правядзіце пры дапамозе чарцёжнага трохвугольніка прамую ВН, перпендыкулярную да прамой AD.
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 13
6. Пабудуйце цыркулем акружнасць з цэнтрам у пункце D, радыус якой роўны адрэзку DA. Вызначыце, якія з пунктаў A, В, С, D, К ляжаць на акружнасці, якія — унутры акружнасці, а якія — паза акружнасцю.
Заўвага. У главах 1—4 усе пабудовы выконваюцца пры дапамозе чарцёжных інструментаў: лінейкі, чарцёжнага трохвугольніка, транспарціра, цыркуля. Гарызантальныя (вертыкальныя) лініі разметкі ў школьным сшытку паралельныя, гарызантальная і вертыкальная лініі перпендыкулярныя. Памеры адной клетачкі 0,5 см на 0,5 см.
§ 2. Прадмет геаметрыі
2.1. Асноўныя фігуры
Асноўныя геаметрычныя фігуры — пункт, прамая і плоскасць. Гэта абстрактныя матэматычныя паняцці, якія прымаюцца без азначэння. Пункт абазначаецца вялікай літарай, прамая — дзвюма вялікімі або адной малой літарай лацінскага алфавіта. Плоскасць абазначаецца трыма вялікімі літарамі лацінскага або адной малой літарай грэчаскага алфавіта.
На рысунку 14 адлюстраваны пункты м
A, В, С і М, прамыя ВС і Ь, плоскасць а (альфа). Пункт А і прамая ВС належаць плоскасці a (альфа). Пункт М належыць a с прамой Ь. . . в. '
ттт • А
Школьны курс геаметрыі падзяляюць на планіметрыю і стэрэаметрыю. рЬіС. 14
2.2. Планіметрыя і стэрэаметрыя
У планіметрыі вывучаюцца ўласцівасці плоскіх геаметрычных фігур, гэта значыць тых, якія ўсімі сваімі пунктамі могуць быць размешчаны ў адной плоскасці. Гэта трохвугольнік, квадрат, акружнасць і іншыя фігуры (рыс. 15).
У стэрэаметрыі разглядаюцца ўласцівасці прасторавых геаметрычных фігур, якія не могуць цалкам размяшчацца ў адной плоскасці (рыс. 16). Такіх, напрыклад, як куб, прамавугольны паралелепіпед, піраміда, шар.
14 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
Рыс. 15
Рыс. 16
У стэрэаметрыі таксама разглядаюцца ўласцівасці пунктаў, прамых і плоскасцей у прасторы. Напрыклад, дзве прамыя на плоскасці або перасякаюцца, або не перасякаюцца, г. зн. паралельныя. У прасторы ж існуе яшчэ адзін выпадак
узаемнага размяшчэння дзвюх прамых — гэта скрыжаваныя прамыя. Яны і не паралельныя, і не перасякаюцца.
На рысунку 17 адлюстраваны прамыя a, b і с, якія праходзяць праз канты куба. Прамыя a і b паралельныя. Прамыя а і с перасякаюцца. Прамыя b і с скрыжоўваюцца.
Геаметрычныя фігуры называюцца роўнымі, калі іх можна сумясціць накладаннем. Паколькі фігуры A і В, адлюстраваныя на рысунку 18, сумясціліся ўсімі сваімі пунктамі, то гэта роўныя фігуры. I калі сказана, што фігуры роўныя, то іх можна цалкам сумясціць адну з адной.
Рыс. 18
Часам для сумяшчэння роўных фігур, размешчаных на плоскасці, адну з іх даводзіцца перавярнуць. Напрыклад, як фігуру С на рысунку 19 для сумяшчэння з роўнымі ёй фігурамі A і В.
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 15
2.3. Азначэнні, аксіёмы, тэарэмы
Усе геаметрычныя фігуры, акрамя пункта, прамой і плоскасці, маюць азначэнні. У азначэнні падаюцца адметныя характарыстыкі дадзенай фігуры або ўзаемнага размяшчэння фігур. Азначэнне, як правіла, змяшчае або слова называецца, або слова гэта. Напрыклад:
Азначэнне. Адрэзкам называецца частка прамой, абмежаваная двума пунктамі.
Азначэнне. Роўнастаронні трохвугольнік — гэта трохвугольнік, у якога ўсе стораны роўныя.
Уласцівасці фігур фармулююцца ў выглядзе аксіём і тэарэм.
Аксіёмамі называюцца сцверджанні аб асноўных уласцівасцях найпрасцейшых фігур, якія не выклікаюць сумненняў.
Тэарэмамі называюцца правільныя сцверджанні, справядлівасць якіх вызначаецца шляхам лагічных разважанняў, якія называюцца доказам. Доказ кожнай тэарэмы абапіраецца на аксіёмы і раней даказаныя тэарэмы. Напрыклад:
Аксіёма. Праз любыя два пункты плоскасці можна правесці прамую, і прытым толькі адну (рыс. 20).
Тэарэма. На плоскасці дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй прамой, паралельныя паміж сабой (рыс. 21).
Аксіёма
М N
a
Рыс. 20
Аксіёма — гэта сцверджанне, якое прымаецца без доказу.
Тэарэма
Калі ахс, Ьхс, mo а || b.
Рыс. 21
Тэарэма — гэта сцверджанне, якое патрабуе доказу.
Акрамя азначэнняў, аксіём і тэарэм у геаметрыі ёсць задачы. Вылучаюць тры асноўныя тыпы задач: а) задачы на доказ; б) задачы на вылічэнне; в) задачы на пабудову.
Задачы на доказ падобныя да тэарэм. Толькі тэарэмы апісваюць тыя ўласцівасці фігур, якія сустракаюцца часта.
16 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
У задачах на вылічэнне трэба па некаторых вядомых лікавых даных знайсці даўжыню адрэзка, велічыню вугла, перыметр, плошчу фігуры, аб’ём геаметрычнага цела і г. д.
У задачах на пабудову неабходна знайсці спосаб пабудовы якойнебудзь геаметрычнай фігуры пры дапамозе названых чарцёжных інструментаў.
Такім чынам, геаметрыя вывучае ўласцівасці фігур на плоскасці і ў прасторы. Уласцівасці фігур адлюстраваны ў выглядзе аксіём і тэарэм. Пры рашэнні задач спасылаюцца на азначэнні, аксіёмы і тэарэмы.
КНІГІ ОНЛАЙН
