Выдавец: Народная асвета
Памер: 173с.
Мінск 2017
Калі на рысунку 70 прамені ОА і ОВ дадатковыя, то вуглы АОС і ВОС — сумежныя.
Тэарэма (уласцівасць сумежных вуглоў). Сума сумежных вуглоў роўна 180°.
А о в
Дадзена: ААОС і АВОС — сумежныя. Даказаць: A АОС + АВОС = 180°.
Доказ. 3 азначэння сумежных вуглоў вынікае, што прамені ОА і ОВ з’яўляюцца дадатковымі і таму ўтвараюць разгорнуты вугал АОВ, роўны 180°. Прамень ОС праходзіць паміж старанамі гэтага вугла, і па аксіёме вымярэння вуглоў ААОС + АВОС = ААОВ. Таму ААОС + АВОС =180°. Тэарэма даказана.
Вынікі.
1. Калі сумежныя вуглы роўныя, то кожны з іх прамы.
2. Калі два вуглы роўныя, то роўныя і сумежныя з імі вуглы.
Заўвага. Усе тэарэмы курса геаметрыі 7—9 класаў апісваюць улас
цівасці фігур на плоскасці.
40 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
Азначэнне. Два вуглы называюцца вертыкальнымі, калі стораны аднаго вугла з’яўляюцца дадатковымі праменямі да старон другога.
Рыс. 71
Пры перасячэнні дзвюх прамых AC і DB у пункце О (рыс. 71) атрымаем, што прамені ОА і ОС, OB і OD — дадатковыя. Таму вуглы AOD і ВОС — вертыкальныя. Вуглы АОВ і DOC таксама вертыкальныя.
Тэарэма (уласцівасць вертыкальных вуглоў).
Вертыкальныя вуглы роўныя.
Рыс. 72
Дадзена: Zl і Z2 — вертыкальныя вуглы (рыс. 72).
Даказаць: Z1 = Z2.
Доказ. Вуглы 1 і 3 сумежныя, бо прамені ОА і OD — дадатковыя па азначэнні вертыкальных вуглоў. Па ўласцівасці сумежных вуглоў Zl + Z3 = 180°. Вуглы 2 13 таксама сумежныя, Z2 + Z3 = 180°. Паколькі Z1 =
= 180° — Z3, Z2 = 180° — Z3, to Z1 = Z2. Адняўшы ад абедзвюх
частак роўнасці Z3, атрымаем Zl = Z2. Тэарэма даказана.
Вуглом паміж дзвюма перасякальнымі прамымі называецца найменшы з утвораных імі вуглоў. Калі пры перасячэнні дзвюх прамыхАВ і CD (рыс. 73) ADOB = 30°, to AAOD = = 180° 30° = 150°; ААОС = ABOD, АСОВ = = ZAOD як вертыкальныя. Вугал паміж прамымі AB і CD роўны 30°. Гавораць, што пра
Рыс. 73
мыя перасякаюцца пад вуглом 30°.
Пры перасячэнні дзвюх прамых утвараюцца чатыры вуглы (не лічачы разгорнутых). Калі адзін з іх 90°, то і астатнія па 90° (дакажыце самастойна). Гавораць, што прамыя перасяка
юцца пад прамым вуглом.
Вугал паміж паралельнымі прамымі лічыцца роўны 0°.
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 41
Заданні да § 6
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. Сумежныя вуглы адносяцца як 2'3. а) Знайсці велічыню кожнага з вуглоў. б) Вызначыць, колькі працэнтаў разгорнутага вугла складае меншы. вугал.
Р аш э н н е. а) Няхай Zl і Z2 — дадзеныя сумежныя вуглы (рыс. 74). Згодна ўмове Zl = 2х, Z2 = Зх 2^1 (градусную меру адной часткі прымаем за х). Па ўласцівасці сумежных вуглоў Zl + Z2 = 180°, гэта РЫС. 74 1 оло
значыць 2х + 3х = 180°, 5х = 180°, х = — = 36°, Z1 = 2 • 36° = 72°; Z2 = 180° 72° = 108°. 5
б) Меншым з’яўляецца Zl, a 72° ад 180° складае
• 100% = • 100% = 40% .
180 5
Адказ: 72°, 108°; 40 %.
Рыс. 75
Задача 2. а) Знайсці вугал паміж бісектрысамі OK і ОМ сумежных вуглоў ВОС і АОС (рыс. 75/ калі ZBOC = 70°; б) Даказаць, што бісектрысы сумежных вуглоў утвараюць прамы вугал.
Рашэнне. а) Калі ZBOC = 70°, to ZAOC = 180° 70° =110°; ZCOK = 35°, ZCOM = 55°; ZMOK = = 35°+ 55°= 90°.
б) Паколькі ОМ і ОК — бісектрысы, to ZCOM = = — ZAOC, ZCOK=~ZBOC. Знойдзем градусную меру ZMOK: ZMOK = ZCOM + ZCOK =
= — ZAOC + —ZBOC = ^(ZAOC + ZBOC). Па ўласцівасці сумежных вуглоў ZAOC + ZBOC =180°. Тады ZMOK = | • 180° = 90°. Што і трэба было даказаць.
Заўвага. Можна спаслацца на ключавую задачу 3* к § 5.
Рыс. 76
Задача 3*. Даказаць, што бісектрысы вертыкальных вуглоў утвараюць разгорнуты вугал. Рашэнне. а) Няхай ОЕ і ОК — бісектрысы вертыкальных вуглоў АОС і BOD (рыс. 76). Дакажам, што ZEOK — разгорнуты. Вядома, што
42 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
бісектрыса дзеліць вугал папалам. Паколькі вертыкальныя вуглы роўныя, то роўныя і іх паловы. Таму ZAOE = ZBOK.
б) ZAOE + ZEOC + ZCOB = 180°, паколькі прамені ОА і ОВ дадатковыя, і таму ZAOB — разгорнуты. Замяніўшы ў апошняй роўнасці ZAOE на роўны яму ZBOK, атрымаем ZBOK + + ZEOC + ZCOB = 180°. Адсюль вынікае, што ZEOK — разгорнуты.
Заўвага. 3 рашэння задачы вынікае ўласцівасць: калі ZAOB — разгорнуты і ZAOE = ZBOK, to ZAOE і ZBOK — вертыкальныя.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
30. Адзін з сумежных вуглоў роўны: а) 40°; б) 75°; в) 140°20'. Знайдзіце іншы вугал.
31. На рысунку 77 прамені OK і ОМ — дадатковыя, вугал M0N на 70° большы за вугал NOK. Знайдзіце ZMON.
32. На рысунку 78 ZABM = 100°, ZCKB = 155°. Знайдзіце ZKBM.
33. На рысунку 79 ZAOP ■ ZBOP = 4'5. Знайдзіце вугал паміж бісектрысай ОЕ вугла ВОР і праменем ОА.
34. На рысунку 80 AB і CD — дыяметры акружнасці, вугал AOD складае — вугла АОС. Знайдзіце вугал BOD.
35. Адзін з вуглоў, якія ўтварыліся пры перасячэнні дзвюх прамых, роўны: а) 20°; б) 110°; в) 90°. Знайдзіце астатнія тры вуглы.
36. Знайдзіце вуглы 1, 2, 3 і 4 (рыс. 81).
37. На рысунку 82 Zl + Z3 = 250°. Знайдзіце Zl, Z2, Z3, Z4.
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 43
Рыс. 81
Рыс. 83
Рыс. 84
38. Сума вуглоў 1, 2 і 3 роўна 297° (рыс. 83). Знайдзіце суму вуглоў 2, 3 і 4.
39. Вядома, што 2а + ЗР + 4у= 900° (рыс. 84). Знайдзіце вугал Ф (Фі).
40. Пры перасячэнні дзвюх прамых утварыліся чатыры вуглы. Вядома, што адзін з гэтых вуглоў у 5 разоў меншы за суму трох астатніх. Знайдзіце вугал паміж гэтымі прамымі.
41. Прамавугольны ліст кардону абрэзаны пад вуглом 38° да яго большай стараны (рыс. 85). На рысунку А паказана адрэзаная частка. На якім з рысункаў В, С або D адлюстравана іншая частка ліста?
42*. Знайдзіце суму вуглоў 1, 2 і 3 (рыс. 86).
43*. Пасля таго як адзін з сумежных вуглоў павялічылі на 40 %, іншы вугал паменшыўся на 60 %. Знайдзіце, якімі былі па велічыні першапачаткова два дадзеныя сумежныя вуглы.
Рыс. 86
44*. Праз адзін пункт на плоскасці праходзяць чатыры прамыя, што дзеляць плоскасць на 8 вуглоў, тры з якіх адносяцца як 1:2:3, а адзін з вуглоў роўны суме трох названых. Знайдзіце кожны вугал.
44 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
ПАДВОДЗІМ
ВЫНІКІ
Ведаем
1. Азначэнні: вугла, роўных вуглоў, бісектрысы вугла, разгорнутага вугла, градуса.
2. Які вугал называецца прамым, вострым, тупым, поўным.
3. Аксіёму вымярэння вуглоў.
4. Уласцівасць сумежных вуглоў. Уласцівасць вертыкальных вуглоў.
Умеем
1. Даказваць уласцівасць сумежных вуглоў.
2. Даказваць уласцівасць вертыкальных вуглоў.
3. Адкладваць пры дапамозе транспарціра вугал, роўны дадзенаму.
Мадэляванне
Выражыце з паперы вугал, роўны 40°. Пры дапамозе перагінання паперы атрымайце вугал, роўны: а) 10°; б) 30°; в) 140°; г) 35°.
Даследуйце, якія вуглы, што вымяраюцца цэлым лікам градусаў, можна атрымаць з дадзенага вугла шляхам складання.
Пмнастыка розуму
Сямікласнік стаіць тварам да настаўніка фізкультуры. Настаўнік даў навучэнцу каманду павярнуцца 7 разоў «налева», 8 разоў «направа» і 9 разоў «кругом». Як цяпер у адносінах да настаўніка стаіць навучэнец: а) левым бокам; б) правым бокам; в) спінай; г) тварам?
§ 7. Перпендыкулярныя прамыя
Азначэнне. Дзве прамыя называюцца перпендыкулярнымі, калі яны перасякаюцца пад прамым вуглом.
Пры перасячэнні дзвюх перпендыкулярных прамых утвараюцца 4 прамыя вуглы.
Адрэзкі і прамені называюцца перпендыкулярнымі, калі яны ляжаць на перпендыкулярных прамых. На рысунку 87 прамыя т і п перпендыкулярныя (часам гавораць «узаемна
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 45
перпендыкулярныя»), гэта значыць т±п. Тады перпендыкулярныя адрэзкі AB і CD, прамені BA і CD, паколькі ляжаць на перпендыкулярных прамых, адрэзак АВ і прамая п, паколькі яны ляжаць на перпендыкулярных прамых.
Азначэнне. Перпендыкулярам да дадзенай прамой называецца адрэзак, што ляжыць на прамой, перпендыкулярнай дадзенай, адзін з канцоў якога (аснова перпендыкуляра) з’яўляецца пунктам перасячэння гэтых прамых.
Прамая b перпендыкулярная да прамой a (рыс. 88). Адрэзак АВ — перпендыкуляр да прамой а, пункт В — аснова перпендыкуляра. Пункт В таксама называюць праекцыяй пункта А на прамую а.
Калі з пункта М, які не ляжыць на прамой а, правесці перпендыкуляр МК да пра
перпендыкуляр
аснова
Рыс. 88
мой а (рыс. 89), то атрымаем перпендыкуляр, апушчаны з
пункта М на прамую а. Калі з пункта Р, які ляжыць на прамой а, правесці перпендыкуляр РЕ да прамой а (рыс. 90), то атрымаем перпендыкуляр, адноўлены да прамой а.
м,
a£ 3 ♦
МК перпендыкуляр, Рыс. 89 апушчаны. на прамую a
a Р
РЕ перпендыкуляр, адноўлены да прамой а Рьіс. 90
Рыс. 91
Тэарэма. Праз пункт, які ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці прамую, перпендыкулярную да гэтай прамой, і толькі адну.
Дадзена: прамая а; пунктА; Ag а (рыс. 91). Даказаць: праз пункт А можна правесці прамую, перпендыкулярную да прамой а, і толькі адну.
46 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
Доказ. Па аксіёме адкладвання вуглоў ад промня АВ у дадзеную паўплоскасць можна адкласці вугал САВ, роўны 90°, і прытым толькі адзін. Тады прамая AC перпендыкулярная да прамой а. Дапусцім, што існуе іншая прамая AD, якая праходзіць праз пункт А і перпендыкулярная да прамой а. Тады A DAB = 90° і ад промня АВ у дадзеную паўплоскасць будуць адкладзены два вуглы, роўныя 90°: АСАВ і A DAB. А гэта немагчыма па аксіёме адкладвання вуглоў. Значыць, не існуе іншай прамой, якая праходзіць праз пункт А і перпендыкулярная да прамой а.
Тэарэма. Праз пункт, які не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці прамую, перпендыкулярную да гэтай прамой, і прытым толькі адну.
Дадзена: прамая а; пунктА, Аё а (рыс. 92). Даказаць: праз пункт А можна правесці прамую, перпендыкулярную да прамой а, і прытым толькі адну.
Доказ*. 1) Спачатку дакажам, праз пункт А можна правесці прамую, перпендыкулярную да прамой а. Мысленна перагнём ліст з чарцяжом па праРыс. 92 мой а (сумясцім верхнюю паўплоскасць з ніжняй,
павярнуўшы яе вакол прамой а) (рыс. 92, а). Пункт A зойме некаторае становішча, якое абазначым пунктам В. Вернем паўплоскасці ў ранейшае становішча і правядзём прамую АВ. Паколькі вуглы 1 і 2 супадаюць пры накладанні паўплоскасцей, то яны роўныя. А паколькі гэтыя вуглы сумежныя, то кожны з іх роўны 90° і АВАа.
2 ) Цяпер дакажам, што АВ — адзіная прамая, якая праходзіць праз пункт А і перпендыкулярная да прамой а. Няхай прамая AD таксама перпендыкулярная да прамой а. Тады A3 = 90° (рыс. 92, б). Сумясцім паўплоскасці яшчэ раз. Вугал 3 супадзе з вуглом 4, значыць, А4 90°. Тады AADB — разгорнуты, і праз пункты A і В будуць праходзіць дзве прамыя: раней праведзеная прамая і прамая, што праходзіць праз пункты A, D і В. А гэта немагчыма па аксіёме прамой. Такім чынам, прамая AD не перпендыкулярная да прамой а. Тэарэма даказана.
КНІГІ ОНЛАЙН
