Выдавец: Народная асвета
Памер: 173с.
Мінск 2017
Тэст 1
На рысунку адлюстраваны вышыня, медыяна і бісектрыса трохвугольніка ABC. Знайдзіце гэтыя адрэзкі. £
медыяны
Рыс. 120
В
A К С бісектрысы
Рыс. 121
AM С
Калі трохвугольнік ABC
Калі трохвугольнік востравугольны (рыс. 122, а), то пункт перасячэння вышынь знаходзіцца ўнутры трохвугольніка ABC. тупавугольны або прамавугольны
(рыс. 122, б, в), то прадаўжэнні вышынь перасякаюцца ад
паведна паза трохвугольнікам або ў вяршыні прамога вугла.
Пункты перасячэння вышынь, бісектрыс і медыян называюцца адметнымі пунктамі трохвугольніка.
А цяпер выканайце Тэст 2.
Тэст 2
Колькі ўсяго прамавугольных трохвугольнікаў адлюстравана на рысунку?
Пры дапамозе Інтэрнэту высветліце, як называюцца пункты пералічэння: а) вышынь; б) медыян; в) бісектрыс трохвугольніка.
64
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
Задачы да § 10
РАШАЕМ САМАСТОЙНА
75. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з перыметрам 30 см да яго асновы праведзена медыяна ВМ даўжынёй 6 см. Знайдзіце перыметр трохвугольніка АВМ.
76. У трохвугольніку ABC праведзены медыяны AM і СК, AC12 cm, АК4 cm, CM =5 см. Знайдзіце перыметр трохвугольніка ABC.
77. У трохвугольніку ABC AB = ВС. Дакажыце, што бісектрыса ВК дзеліць трохвугольнік ABC на два роўныя трохвугольнікі.
78. У трохвугольніку ABC вышыня AM дзеліць старану ВС папалам. Дакажыце, што адрэзак AM з’яўляецца бісектрысай трохвугольніка ABC.
79. У трохвугольніку ABC праведзены медыяны АК, CM і BN. Знайдзіце перыметр трохвугольніка ABC, калі AM + + ВК + CN = 28 дм.
80. Дакажыце, што ААВСAAxByCy, калі ў іх: а) роўныя стораны АВ і АхВх, роўныя медыяны ВМ і BtMx і ААВМ = ААхВхМх’, б) роўныя стораны AB і АхВх, роўныя бісектрысы АК і АХКХ і ABAC = АВхАхСх.
81*. Дадзены трохвугольнік ABC з перыметрам 30 см, АК — яго медыяна. Перыметр трохвугольніка АВК роўны 18 см, перыметр трохвугольніка АСК — 24 см. Знайдзіце даўжыню медыяны АК. в
82*. Саша сцвярджае, што калі трохвугольнік /
ABC разрэзаць па медыяне ВМ (рыс. 123), / \
то з атрыманых трохвугольнікаў можна , / ( скласці новы трохвугольнік. Ці мае рацыю & м с Саша? Калі так, то нарысуйце на адным Рыс. 123 чарцяжы трохвугольнік ABC і новы складзены трохвугольнік.
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 65
Геаметрыя 3D
Тэтраэдрам або трохвугольнай пірамідай называецца шматграннік, у якога ўсе чатыры грані — трохвугольнікі. Любую яго грань можна прыняць за аснову, а супрацьлеглую вяршыню — за вяршыню піраміды. Калі пункт S — вяршыня, а трохвугольнік ABC — аснова піраміды, то перпендыкуляр SH да плоскасці ABC з’яўляецца вышынёй тэтраэдра (рыс. 124).
Рыс. 124
Задача. Маецца металічны прут даўжынёй 1 л 30 см. Прут можна разрэзаць на часткі і змацаваць іх канцамі. Ці хопіць прута, каб вырабіць каркас тэтраэдра, у якога ўсе грані — роўнастароннія трохвугольнікі з перыметрам 60 см кожны?
Мадэляванне
3 ліста паперы выражыце тры востравугольныя нераўнабедраныя трохвугольнікі. Выкарыстоўваючы толькі перагінанне ліста паперы, знайдзіце пункт:
1) перасячэння вышынь першага трохвугольніка;
2) перасячэння медыян другога трохвугольніка;
3) перасячэння бісектрыс трэцяга трохвугольніка. Абгрунтуйце матэматычна выкананне кожнага з заданняў.
Гімнастыка розуму
У вяршынях трохвугольніка запішам па адным адвольным ліку. Напрыклад, лікі 12; 7 і 23 (рыс. 125). Знойдзем сумы лікаў, якія стаяць ля канцоў кожнай стараны. Запішам атрыманыя сумы пасярэдзіне гэтых старон: 12 + 7 = 19, 12 + 23 = 35 і 23 + 7 = 30.
Далей правядзём медыяны і знойдзем сумы лікаў, запісаных ля канцоў кожнай медыяны. Атрымаем 7 + 35 = 42, 12 + 30 = 42, 23 + 19 = 42. Гэта значыць
усе тры сумы ля канцоў кожнай з медыян аднолькавыя і роўныя 42!
Нарысуйце ў сшытку трохвугольнік і запішыце ў яго вяршынях тры свае лікі. Правядзіце апісаныя вышэй аперацыі і знайдзіце сумы лікаў ля канцоў кожнай медыяны. Калі вы ўсё рабілі правільна, то атрымаеце тры аднолькавыя сумы. Як вы гэта растлумачыце?
W З.Зак. 212.
66 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
§ 11. Раўнабедраны трохвугольнік
Азначэнне. Трохвугольнік называецца раўнабедраным, калі ў яго дзве стараны роўныя.
Роўныя стораны называюцца бакавымі старанамі, трэцяя старана — асновай, вяршыня, процілеглая аснове, — вяршыняй раўнабедранага трохвугольніка.
Разгледзім некаторыя ўласцівасці раўнабедранага трохвугольніка і адну з яго прымет.
Тэарэма (пра ўласцівасць вуглоў пры аснове).
У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя.
в Дадзена: ААВС, АВ = ВС (рыс. 126).
А Даказаць: ZA = AC.
Доказ. Правядзём бісектрысу ВК трохвугольні
/ ] \ ка ABC. Трохвугольнікі АВК і СВК роўныя па
^/? І дзвюх старанах і вугле паміж імі: старана ВК — к агульная, AB = ВС па ўмове, вуглы АВК і СВК Рыс. 126 роўныя па азначэнні бісектрысы. 3 роўнасці гэтых трохвугольнікаў вынікае, што АА = АС.
Тэарэма даказана.
Тэарэма (пра ўласцівасць бісектрысы раўнабедранага трохвугольніка).
У раўнабедраным трохвугольніку бісектрыса, праведзеная да асновы, з’яўляецца яго медыянай і вышынёй.
Дадзена: ААВС, АВ = ВС, ВК — бісектрыса (рыс. 127).
Даказаць: ВК — медыяна і вышыня.
Доказ. Трохвугольнікі АВК і СВК роўныя па дзвюх старанах і вугле паміж імі (гл. папярэднюю тэарэму). 3 роўнасці трохвугольнікаў выні
Рыс. 127 кае, што АК = КС і Zl = Z2. Паколькі вуглы 1 і 2
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 67
сумежныя, то іх сума роўна 180°, і таму Zl = Z2 = 90°. Такім чынам, ВК — медыяна і вышыня. Тэарэма даказана.
Заўвага. Паколькі з вяршыні трохвугольніка можна правесці толькі адну бісектрысу, адну вышыню і адну медыяну, то змешчаную вышэй тэарэму можна сфармуляваць так: «Бісектрыса, вышыня і медыяна раўнабедранага трохвугольніка, праведзеныя з вяршыні да асновы., супадаюць». Гэта значыць, калі па ўмове задачы дадзена вышыня раўнабедранага трохвугольніка, праведзеная да асновы, то паводле дадзенай тэарэмы яна будзе таксама бісектрысай і медыянай. Аналагічна, калі дадзена медыяна раўнабедранага трохвугольніка, праведзеная да асновы, то яна будзе вышынёй і бісектрысай.
Тэарэма (прымета раўнабедранага трохвугольніка). Калі ў трохвугольніку два вуглы роўныя, то ён раўнабедраны.
Дадзена: ААВС, ZA = ZC.
Даказаць: АВ = ВС.
Доказ. Мысленна перавернем трохвугольнік ABC адваротным бокам (рыс. 128) і накладзём перавернуты трохвугольнік як новы на трохвугольнік ABC так, каб вугал С супаў з вуглом А, вугал А супаў з вуглом С. Тады перавернуты трохвугольнік сумесціцца з дадзеным, і
старана ВС сумесціцца са стараной АВ. Такім чынам, AB = ВС і ААВС — раўнабедраны. Тэарэма даказана.
Даказаная прымета раўнабедранага трохвугольніка з’яўляецца тэарэмай, адваротнай тэарэме пра ўласцівасць вуглоў пры аснове раўнабедранага трохвугольніка (рыс. 129).
Тэарэма. Калі трохвугольнік раўнабедраны, то вуглы пры аснове роўныя.
Дадзена: △ABC, АВ = ВС. Даказаць:
Адваротная тэарэма. Калі ў трохвугольніку два вуглы роўныя, то ён раўнабедраны. £ Дадзена:
Д ААВС,
/ \ Даказаць:
А^^с АВ = ВС.
Рыс. 129
68 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
Нагадаем, што любая тэарэма складаецца з умовы — таго, што дадзена, і вываду — таго, што трэба даказаць. У тэарэмы, адваротнай дадзенай, умовай з’яўляецца вывад дадзенай тэарэмы, а вывадам — умова дадзенай.
Заданні да § 11
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. Даказаць, што ў раўнабедраным трохвугольніку бісектрысы, праведзеныя да бакавых старон, роўныя паміж сабой.
в Доказ. Няхай у A ABC АВ = ВС, АК і CM — бі
_ сектрысы (рыс. 130). Трэба даказаць, што АйГ = CM.
Разгледзім ААКВ і АСМВ. У іх АВ — агульны, М. К АВ = ВС па ўмове, ZBAK = ABCM як паловы роў/ \ . ных вуглоў A і С пры аснове раўнабедранага трох
д ‘A Q
вугольніка. Тады ААКВ = АСМВ па 2й прымеце
Рыс. 130 роўнасці трохвугольнікаў, адкуль АК = CM. Што і трэба было даказаць.
Заўвага. Другім спосабам доказу будзе разгляд ААКС і ACMА і доказ іх роўнасці.
Задача 2. Даказаць, што перпендыкуляр, праведзены з цэнтра акружнасці да хорды, дзеліць гэту хорду папалам.
Рыс. 131
Доказ. Няхай О — цэнтр акружнасці, АВ — хорда, ОН — перпендыкуляр да хорды АВ (рыс. 131). Адрэзкі ОА і ОВ роўныя як радыусы. Таму трохвугольнік АОВ — раўнабедраны, a OH — яго вышыня, праведзеная да асновы. Мы ведаем, што вышыня раўнабедранага трохвугольніка, праведзеная да асновы, з’яўляецца і медыянай. А медыяна дзеліць старану трох
вугольніка папалам, гэта значыць АН = НВ. Што і трэба было даказаць.
Глава 2. Прыллеты роўнасці трохвугольнікаў
69
РАШАЕМ САМАСТОЙНА
83.
Знайдзіце
адрэзак або вугал, абазначаны пытальнікам
(рыс. 132). Растлумачце свой адказ.
84. Дадзены трохвугольнік ABC, у якога ZA = ZB, АВ + ВС= 12 cm, AC+ ВС= 16 см. Знайдзіце перыметр ААВС.
85. У трохвугольніку ABC AC =АВ = 12 м, РАВС = 32 м, АК — вышыня трохвугольніка. Знайдзіце адрэзак СК.
86. Трохвугольнік ABC — роўнастаронні, СК — са, АК= 7,5 см. Знайдзіце перыметр /ААВС.
87. На рысунку 133 трохвугольнік ABC — раўнабедраны, дзе AB = ВС. Дакажыце, што трохвугольнік КВМ таксама раўнабедраны, калі: a) АК = CM; б) AM = СК; в) ААВК = АСВМ.
88. Дакажыце, што сярэдзіны старон раўнабедранага трохвугольніка з’яўляюцца вяршынямі іншага раўнабедранага трохвугольніка.
яго бісектры
в
Рыс. 133
89. Дакажыце ўласцівасць вуглоў раўнабедранага трохвугольніка: «У роўнастароннім трохвугольніку ўсе вуглы роўныя паміж сабой». Сфармулюйце сцверджанне, адваротнае дадзенаму (прымету роўнастаронняга трохвугольніка). Дакажыце яго.
90. Аснова раўнабедранага трохвугольніка адносіцца да яго бакавой стараны як 2^3. Перыметр трохвугольніка роўны 72 см. Знайдзіце аснову трохвугольніка.
91. У раўнабедраным трохвугольніку MNK (KM = KN) праведзена бісектрыса КЕ, роўная 24 см. Перыметр трохвугольніка KEN роўны 56 см. Знайдзіце перыметр трохвугольніка MNK.
70
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
92. Дакажыце, што медыяны раўнабедранага трохвугольніка, праведзеныя да бакавых старон, роўныя паміж сабой.
93. Трохвугольнік ABC — раўнабедраны, АВ = ВС. На прамені AC за пункт С адкладзены адрэзак CM, на прамені СА за пункт А адкладзены адрэзак АК такі, што АК = CM. Дакажыце, што трохвугольнік МВК — раўнабедраны.
94. Дакажыце, што дыяметр акружнасці, які праходзіць праз сярэдзіну хорды (што не з’яўляецца дыяметрам), перпендыкулярны гэтай хордзе.
КНІГІ ОНЛАЙН
