Выдавец: Народная асвета
Памер: 173с.
Мінск 2017
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. Пабудаваць трохвугольнік па старане Ь, прылеглым вугле а і бісектрысе Іа.
156 Глава 5. Задачы на пабудову
Рыс. 307
Рашэнне. Дапусцім, што задача рэшана, і зробім чарцёж шуканага трохвугольніка ABC (рыс. 307). Няхай АС = Ь, АА = а, бісектрыса АК = Іа. Паколькі АК — бісектрыса, то АКАС =
Трохвугольнік АКС можна пабудаваць па дзвюх старанах і вугле паміж імі: АС = Ь, АК = Іа, АКАС = Далей трохвугольнік АКС лёгка дабудаваць да шуканага трохвугольніка ABC.
Апішам пабудову (рыс. 308).
1) Будуем AEAF = a (асноўная задача).
2) Будуем бісектрысу AG вугла EAF (асноўная задача).
Атрымліваем AGAE = ^.
3) Будуем трохвугольнік АКС па дзвюх старанах і вугле паміж імі: на прамені AF адкладаем адрэзак AC = 6, на прамені AG — адрэзак АК = Іа.
4) Знаходзім пункт В перасячэння праменя СК і праменя АЕ. Трохвугольнік ABC — шуканы.
Рыс. 309
Задача 2. Пабудаваць цэнтр дадзенай акружнасці.
Рашэнне. Мы ведаем, што пасярэдні перпендыкуляр да хорды праходзіць праз цэнтр акружнасці. Пасярэднія перпендыкуляры да дзвюх хорд акружнасці будуць перасякацца ў яе цэнтры. Адсюль пабудова.
Будуем хорду АВ (рыс. 309) і да яе пасярэдні перпендыкуляр МК (асноўная задача). Будуем хорду CD (не паралельную АВ) і да яе пасярэдні перпендыкуляр EF. Пункт О перасячэння прамых МК і EF — цэнтр акружнасці.
/лава 5. Задачы на пабудову 157
Заўвага. Другім спосабам рашэння будзе пабудова аднаго пасярэдняга перпендыкуляра МК да хорды АВ, знаходжанне пунктаў Т і Р перасячэння МК з акружнасцю і пабудова сярэдзіны О дыяметра ТР.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
263. Падзяліце дадзены адрэзак на чатыры роўныя часткі.
264. Пабудуйце вугал, роўны дадзенага вугла.
265. Адлюструйце востравугольны трохвугольнік ABC. Для яго пабудуйце: а) бісектрысу АК"; б) медыяну ВМ.
266. Пабудуйце пункт перасячэння пасярэдніх перпендыкуляраў да старон трохвугольніка і акружнасць, якая праходзіць праз усе вяршыні трохвугольніка.
267. У адной паўплоскасці адносна прамой ш ляжаць два пункты A і В. На прамой m пабудуйце пункт М, роўнааддалены ад пунктаў A і В.
268*.Дадзены нераўнабедраны трохвугольнік ABC. На бісектрысе вугла В знайдзіце пункт, які знаходзіцца на роўнай адлегласці ад вяршынь A і С.
§ 30. Пабудова прамой, перпендыкулярнай дадзенай
Задача V. Пабудаваць прамую, якая перпендыкулярная прамой а і праходзіць праз дадзены пункт А.
Рашэнне. Алгарытм пабудовы аднолькавы для выпадку, калі пункт А не належыць прамой a (рыс. 310, а) і калі пункт А належыць прамой а (рыс. 310, б). Пабудова.
Праводзім дугу з цэнтрам у пункце А, якая перасякае прамую а ў пунктах В і С. 3 пунктаў В і С як з цэнтраў адным і тым жа радыусам праводзім дугі да перасячэння іх у пункце D. Будуем прамую AD. Атрымліваем AD ± а.
158 Глава 5. Задачы на пабудову
Доказ.
Паколькі пункты AID роўнааддаленыя ад канцоў адрэзка ВС (АВ=АС, BD = CD як радыусы), to AD — пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка ВС. Такім чынам, AD ± а.
Этапы рашэння задачы на пабудову
Пры рашэнні задачы на пабудову вылучаюць 4 этапы.
1. Аналіз.
На гэтым этапе мяркуюць, што задача рэшана, робяць чарцёж з адлюстраваннем шуканай фігуры і паказваюць ідэю рашэння задачы.
2. Пабудова.
На гэтым этапе даюць апісанне паслядоўнасці крокаў, якія прыводзяць да пабудовы шуканай фігуры, гэта значыць алгарытм пабудовы. Часам на гэтым этапе праводзяць і самі аперацыі пабудовы на адвольна ўзятых адрэзках, вуглах і іншых фігурах. У складаных задачах звычайна паказваюць толькі крокі пабудовы, спасылаючыся на асноўныя і ключавыя задачы.
3. Доказ.
На гэтым этапе даказваюць, што пабудаваная фігура задавальняе патрабаванне задачы. Часам гэта вынікае непасрэдна з пабудовы.
4. Даследаванне.
На дадзеным этапе вызначаюць, пры якой велічыні зададзеных ва ўмове адрэзкаў і вуглоў існуе рашэнне і якая колькасць рашэнняў.
Пры запісе рашэння задачы на пабудову этапы аналізу і даследаванні ў школе неабавязковыя, калі ва ўмове задачы няма спецыяльных указанняў.
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. Пабудаваць прамавугольны трохвугольнік па катэце і прылеглым вострым вугле.
Рашэнне. Няхай дадзены катэт а і прылеглы да яго востры вугал р. Трэба пабудаваць прамавугольны трохвугольнік з катэтам а і вуглом р (рыс. 311).
Глава 5. Задачы на пабудову
159
Пабудова. 1) Будуем прамы вугал. Для гэтага праводзім адвольную прамую I і будуем перпендыкулярную ёй прамую, што праходзіць праз адвольна ўзяты на прамой I пункт С (асноўная задача). Атрымліваем прамы вугал С.
2) На адной старане прамога вугла С ад яго вяршыні адкладаем адрэзак СВ = а.
3) Будуем AB = Р (асноўная задача).
4) У перасячэнні стараны вугла В са стараной прамога вугла атрымаем пункт А.
Доказ. Трохвугольнік ABC — шуканы, паколькі па пабудове AC = 90°, ВС = а — катэт, АВ = [3 — прылеглы востры
вугал.
Заўвага. Мы не апісваем пабудову прамой, перпендыкулярнай дадзенай, і пабудову вугла, роўнага дадзенаму, паколькі гэта асноўныя задачы. На рысунку 311 пабудова прамога вугла С паказана для нагляд
Задача 2. Пабудаваць прамую, паралельную дадзенай прамой, калі адлегласць паміж гэтымі прамымі роўна зададзенаму адрэзку.
Рашэнне. Няхай дадзена прамая a і адрэзак h, роўны адлегласці паміж паралельнымі прамымі a і b
(рыс. 312). Трэба пабудаваць прамую Ь, паралельную прамой a і змешчаную ад прамой а на адлегласці h. Выкарыстаем тэарэму пра тое, што на плоскасці дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой.
Пабудова.
1) Адзначаем на прамой а пункт М і будуем прамую с, што перпендыкулярная прамой а і праходзіць праз пункт М (асноўная задача).
2) Адкладаем на прамой с перпендыкуляр МК = h.
3) Будуем прамую Ь, што перпендыкулярная прамой с і праходзіць праз пункт К (асноўная задача). Атрымліваем b \\ a.
160 Глава 5. Задачы на пабудову
Доказ. Паколькі а±с і Ыс і на плоскасці дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой, тоа || &. Адлегласць паміж паралельнымі прамымі роўна даўжыні перпендыкуляра, апушчанага з любога пункта адной з прамых на другую прамую: KM ± a, KM = h.
Рыс. 314
Задача 3. Пабудаваць трохвугольнік па аснове а, вышыні ha і медыяне та, праведзеных да гэтай асновы.
Рашэнне.
Аналіз. Няхай у трохвугольніку ABC ВС = а, вышыня AH = ha і медыяна АМ = та (рыс. 313). Заўважым, што трохвугольнік АНМ можа быць пабудаваны па катэце і гіпатэнузе, а затым дабудаваны да шуканага трохвугольніка ABC шляхам адкладання ад пункта М улева і ўправа адрэзкаў МС MB = ^. Пабудова.
1) Будуем прамы вугал Н (рыс. 314). На адной яго старане адкладаем адрэзак AH = ha, з пункта А як з цэнтра робім засечку на другой старане вугла радыусам та — атрымліваем пункт М.
2) Дзелім адрэзак а папалам (асноўная задача) і на прамой НМ адкладаем па
розныя бакі ад пункта М адрэзкі MB = j і МС = ^. Праводзім адрэзкі СА і ВА.
Доказ. ААВС — шуканы, паколькі ў яго вышыня AH = ha, медыяна AM = та, старана ВС = а па пабудове.
Даследаванне*. Паколькі катэт меншы за гіпатэнузу, то вышыня ha павінна быць меншай ці роўнай медыяне та. Таму рашэнне існуе, калі ha < та, і яно адзінае. Калі ha = та, атрымаем раўнабедраны трохвугольнік.
Глава 5. Задачы на пабудову 161
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
269. Адлюструйце востравугольны трохвугольнік ABC. Пабудуйце: а) вышыню АН; б) пункт перасячэння вышынь трохвугольніка ABC.
270. Адлюструйце вугал а. Пабудуйце вугал Р, калі вядома, што а + Р = 90°.
271. Пабудуйце прамавугольны трохвугольнік: а) па двух катэтах; б) па катэце і процілеглым вострым вугле; в) па гіпатэнузе і вострым вугле.
272. Пабудуйце раўнабедраны трохвугольнік па вышыні і
аснове.
273. Пабудуйце прамавугольнік па дзвюх старанах а і Ь.
274. Пабудуйце трохвугольнік ABC па стара
не Ь, вышыні ha і медыяне та, праведзе
ных да стараны а.
275*. Пабудуйце аснову Н вышыні СН трохвугольніка ABC, у якога вяршыня С недаступная (рыс. 315).
Рыс. 315
§ 31. Геаметрычнае месца пунктаў
Азначэнне. Геаметрычным месцам пунктаў (ГМП) называецца мноства ўсіх пунктаў, якія валодаюць агульнай уласцівасцю.
Прыклады геаметрычных месцаў пунктаў на плоскасці
1. Акружнасць — гэта геаметрычнае месца пунктаў плоскасці, роўнааддаленых ад дадзенага пункта.
2. Пасярэдні перпендыкуляр — гэта геаметрычнае месца пунктаў плоскасці, роўнааддаленых ад канцоў адрэзка.
3. Бісектрыса — геаметрычнае месца пунктаў унутры вугла, роўнааддаленых ад старон вугла.
162 Глава 5. Задачы на пабудову
4. Геаметрычнае месца пунктаў, якія знаходзяцца на зададзенай адлегласці h ад дадзенай прамой а, — дзве прамыя т і п, паралельныя дадзенай, змешчаныя ў розных паўплоскасцях ад гэтай прамой на зададзенай адлегласці ад яе (рыс. 316).
5. Геаметрычнае месца пунктаў, роўнаад
даленых ад дзвюх дадзеных паралельных прамых а і Ь, ёсць паралельная ім прамая п, якая праходзіць праз сярэдзіну М іх агульнага перпендыкуляра АВ (рыс. 317).
У прасторы геаметрычным месцам пунктаў, роўнааддаленых ад дадзенага пункта, з’яўляецца сфера.
Рыс. 316
Рыс. 317
Метад геаметрычных месцаў пунктаў
Адным з метадаў рашэння задач на пабудову з’яўляецца метад перасячэння двух геаметрычных месцаў пунктаў. Сутнасць яго складаецца ў наступным. Няхай шуканы пункт задавальняе, напрыклад, некаторыя дзве ўмовы: геаметрычнае месца пунктаў, што задавальняюць першую ўмову, — гэта некаторая фігура Fr (акружнасць, бісектрыса вугла, пасярэдні перпендыкуляр і г. д.), а геаметрычнае месца пунктаў, што задавальняюць другую ўмову, — гэта фігура F2. Шуканы пункт, які належыць і фігуры Fr, і фігуры F2, з’яўляецца пунктам іх перасячэння. У прыватнасці, метадам перасячэння двух геаметрычных месцаў пунктаў рэшана асноўная задача пра пабудову трохвугольніка па трох старанах.
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Рыс. 318
Задача 1. Пабудаваць унутры дадзенага вугла пункт, роўнааддалены ад старон вугла на дадзеную адлегласць т.
Рашэнне.
Аналіз. Няхай дадзены вугал ВАС і адрэзак даўжынёй т (рыс. 318). Усе пункты, роўнааддаленыя ад старон вугла, ля
Глава 5. Задачы на пабудову 163
жаць на бісектрысе вугла. Таму шуканы пункт ляжыць на бісектрысе вугла. 3 іншага боку, усе пункты, аддаленыя ад стараны вугла на адлегласць т, ляжаць на дзвюх прамых, паралельных старане вугла і змешчаных ад яе на адлегласці т. Шуканы пункт будзе знаходзіцца на перасячэнні паказаных двух геаметрычных месцаў пунктаў.
КНІГІ ОНЛАЙН
