Фізіка
Выдавец: Народная асвета
Памер: 286с.
Мінск 1991
34
Таму ўраўненне (2.6) можна перапісаць у наступным выглядзе:
Ы'і=^. (2.8)
Рыс. 28
Вытворная сілы току па часу ёсць
не што іншае, як другая вытворная зараду па часу, падобна да таго як вытворная скорасці (паскарэнне) ёсць другая вытворная каардынаты па часу1. Падставіўшы ва ўраўненне (2.8) і'= q" і падзяліўшы левую і правую часткі гэтага ўраўнення на Li, атрымаем асноўнае ўраўненне, якое апісвае свабодныя электрычныя ваганні ў контуры:
(29)
Калі вы ўспомніце (або паўторыце) раздзел «Механічныя ваганні» («Фізіка9»), то выявіце надзвычайны факт. Ураўненне (2.9) нічым, акрамя абазначэнняў, не адрозніваецца ад ураўнення, якое апісвае ваганні цела, змацаванага са спружынай. Пры замене ва ўраўненні для механічных ваганняў х на q, паскарэння цела ах — х” на q", ^ на уі m на L мы ў дакладнасці атрымаем ураўненне (2.9).
Зроблена галоўнае ў даследаванні свабодных электрамагнітных ваганняў: атрымана ўраўненне, якое апісвае гэтыя ваганні. Яно мае такую ж матэматычную форму, як і ўраўненне, што апісвае ваганні цела, змацаванага са спружынай, ці матэматычнага маятніка.
• 1. Чаму роўна скорасць змянення электрычнай энергіі ў контуры? 2. Чаму
роўна скорасць змянення магнітнай энергіі ў контуры?
§ 15. ГАРМАНІЧНЫЯ ВАГАННІ. АМПЛІТУДА,
ПЕРЫЯД 1 ЧАСТАТА ВАГАННЯЎ
У IX класе было атрымана ўраўненне руху (другі закон Ньютана) для цела, змацаванага са спружынай, і матэматычнага маятніка. Але вызначыць з дапамогай гэтага ўраўнення
1 Паскарэнне ў механіцы ёсць вытворная скорасці па часу: ах = vx (гл. курс матэматыкі для X класа). Скорасць — вытворная каардынаты па часу: vx = x'. Таму паскарэнне — другая вытворная каардынаты па часу: ах = х". Значыць, велічыня q" цалкам аналагічная паскарэнню ах. Гэту адпаведнасць можна было б адразу ўключыць у табліцу 1.
35
залежнасць каардынаты цела, якое вагаецца, ад часу мы і не спрабавалі. Гэта можна зрабіць толькі на асноае матэматычнага аналізу. Знойдзем цяпер залежнасць зараду ад часу на вядомай залежнасці q" ад q (ураўненне (2.9)). Справа гэта не простая: ад нас патрабуюцца немалыя намаганні, але справіцца з гэтым можа амаль кожны.
Гарманічныя ваганні. Другая вытворная зараду па часу прама прапарцыянальная згодна з ураўненнем (2.9) самому зараду і процілеглая яму па знаку. Як жа зарад залежыць ад часу?
Зразумела, што ён павінен мяняцца перыядычна. Вам знаёмы перыядычныя функцыі сінус і косінус. 3 курса матэматыкі XI класа вядома, што гэтыя функцыі валодаюць той уласцівасцю, што друга.ч вытворная сінуса ці косінуса прапарцыянальная самім функцыям, узятым з процілеглым знакам. У матэматычным аналізе даказваецца, што ніякія іншыя функцыі гэтай уласцівасцю не валодаюць. Усё гэта дазваляе сцвярджаць з поўнай падставай, што электрычны зарад (або ток) пры свабодных ваганнях мяняецца з цягам часу па закону сінуса або косінуса.
Перыядычныя змяненні фізічнай велічыні ў залежнасці ад часу, якія адбываюцца па закону сінуса або косінуса, называюцца гарманічнымі ваганнямі.
Цела на спружыне або маятнік таксама выконваюць гарманічныя ваганні, паколькі ўраўненне руху гэтых цел матэматычна эквівалентна ўраўненню (2.9). У курсе фізікі IX класа гарманічныя ваганні і вызначаліся як рухі, для якіх паскарэнне прапарцыянальнае зрушэнню, узятаму са знакам «мінус».
Амплітуда ваганняў. Важнай характарыстыкай любога вагальнага руху з’яўляецца амплітуда. Амплітудай гарманічных ваганняў называецца модуль найбольшага значэння велічыні, якая вагаецца. Гэта можа быць модуль электрычнага зараду або любой іншай велічыні, якая перыядычна мяняецца.
Амплітуда можа мець розныя значэнні ў залежнасці ад таго, які зарад быў нададзены кандэнсатару ў пачатковы момант часу. Інакш кажучы, амплітуда вызначаецца пачатковымі ўмовамі. Але максімальныя значэнні модуля сінуса і косінуса роўны адзінцы. Таму рашэнне ўраўнення (2.9) не можа выражацца проста косінусам або сінусам. Яно павінна мець выгляд здабытку амплітуды qm на сінус або косінус.
Рашэнне ўраўнення, якое апісвае свабодныя ваганні. Якую ж форму мае рашэнне ўраўнення (2.9)? Нельга проста лічыць, што q = qm cos t або q — qm sin t, паколькі ў гэтым выпадку замест
^= ~ Тс«
атрымалася б роўнасць q" = — qm cos t = —q.
Але невялікае ўскладненне формы рашэння адразу прывядзе нас да мэты. Каб у выразе другой вытворнай q" быў множнік
36
^, запішам рашэнне ўраўнення (2.9) у наступным выглядзе:
(2.Ю)
У гэтым выпадку першая вытворная прымае выгляд
а другая вытворная будзе роўна:
Ч" — — І.С ^т C0S ~\J 'LC t — LC ^'
Мы атрымалі дакладна ўраўненне (2.9). Значыць, функцыя (2.10) ёсць рашэнне зыходнага ўраўнення (2.9). Вядома, рашэннем зыходнага ўраўнення будзе таксама функцыя
q = qm sin
•(2.11)
Абазначым пастаянную велічыню якая залежыць ад
уласцівасцей сістэмы, праз шо:
<00 = ^. (2.12)
л/Гс
Тады рашэнне ўраўнення (2.10) можна запісаць у больш кампактнай форме:
q = qm cos шо t (213)
Само ж ураўненне (2.9), якое апісвае свабодныя электрамагнітныя ваганні, прымае выгляд
q" = — оо^.
(214)
Графік залежнасці зараду ад часу згодна з (2.13) уяўляе сабой косінусоіду (рыс. 29).
Перыяд і частата гарманічных ваганняў. Высветлім фізічны сэнс велічыні ш0.
37
Пры ваганнях значэнні зараду кандэнсатара перыядычна паўтараюцца. Мінімальны прамежак часу Т, праз які працэс поўнасцю паўтараецца, называюпь перыядам ваганняў.
Ведаючы перыяд, можна вызначыць частату ваганняў, г. зн. лік ваганняў у адзінку часу, напрыклад у секунду. Калі адно ваганне адбываецца за час Т, то лік ваганняў за 1 с v вызначаецца так:
v=y (2.15)
Напомнім, што ў Міжнароднай сістэме адзінак (СІ) частата ваганняў роўна адзінцы, калі ў 1 с адбываецца адно ваганне. Адзінка частаты называецца герцам (скарочана: Гц) у гонар нямецкага фізіка Генрыха Герца.
Праз прамежак часу, роўны перыяду Т, г. зн. пры павелічэнні аргумента косінуса на ш0Т, значэнне зараду паўтараецца і косінус прымае ранейшае значэнне. Але з курса матэматыкі вядома, што найменшы перыяд косінуса роўны 2л. Значыць,
йо7 = 2л, адкуль
Wo='y = 2nv. (2.16)
Такім чынам, велічыня а>о — гэта лік ваганняў, але не за 1 с, а за 2л с. Яна называецца цыклічнай або кругавой частатой'.
Частату свабодных ваганняў называюць уласнай частатой вагальнай сістэмы.
Формула Томсана. Мы высветлілі, што каэфіцыент прапарцыянальнасці ва ўраўненні (2.9) з’яўляецца квадратам цыклічнай частаты ваганняў зараду:
21
— LC '
Перыяд свабодных ваганняў у контуры роўны:
^^Н2*^ (2.17)
Формула (2.17) называецца формулай Томсана ў гонар англійскага фізіка, які яе ўпершыню вывеў.
Павелічэнне перыяду ваганняў з ростам L і С наглядна можна растлумачыць так. Пры павелічэнні індуктыўнасці ток больш павольна нарастае з часам і больш павольна падае да нуля.
А чым большая ёмістасць, тым большы час патрабуецца для перазарадкі кандэнсатара.
1 Часта ў далейшым коратка мы будзем называць цыклічную частату проста частатой. Адрозніць цыклічную частату й» ад частаты v можна па абазначэннях.
38
Затухаючыя ваганні. Свабодныя ваганні зараду і току зза энергетычных страт у сапраўднасці ніколі не будуць строга гарманічнымі. Яны затухаюць. Часавую разгортку затухаючых ваганняў мы бачылі на экране асцылографа (гл. рыс. 23).
Чым большае супраціўленне R контуру, тым большы перыяд ваганняў. Пры дастаткова вялікім супраціўленні ваганні зусім не ўзнікаюць. Кандэнсатар разрадзіўся, але перазарадкі яго не адбудзецца.
£ М ''Кл
Завершана цяжкая работа. Рэшана дыферэнцыяльнае ўраўненне, якое апісвае гарманічныя ваганні. Нічога больш складанага матэматычна да канца кнігі вам ужо не сустрэнецца.
Даказана, што свабодныя электрамагнітныя ваганні ў вагальным контуры адбываюцца па закону косінуса або сінуса. Знойдзены перыяд і ўласная частата ваганняў.
« 1. Якія ваганні называюцца гарманіч
нымі? 2. Як звязана цыклічная частата ваганняў з перыядам? 3. Як зменіцца перыяд свабодных ваганняў, калі кандэнсатар контуру замяніць іншым кандэнсатарам з у два разы меншай ёмістасцю? 4. Электрычны зарад, выражаны ў кулонах, змяняецца з цягам часу наступным чынам: q = 3,5 • 10 cos 4лі. Чаму роўныя амплітуды ваганняў і цыклічная частата? 5. Знайдзіце амплітуду і перыяд гарманічнаг на рысунку 30? 6. Улічваючы, што ўра
вагання, графік якога паказаны енні, якія апісваюць ваганні цела
на спружыне і матэматычнага маятніка, матэматычна тоесныя ўраўненню (2.9) для ваганняў зараду, знайдзіце перыяды ваганняў цела на спружыне і маятніка.
§ 16. ФАЗА ВАГАННЯЎ
Мы пазнаёміліся з асноўнымі велічынямі, якія характарызуюць гарманічныя ваганні: амплітудай ваганняў зараду qm, перыядам Т, частатой ваганняў v і цыклічнай частатой шо. Застаецца пазнаёміцца з яшчэ адной важнай велічынёй — фазай'.
Пры зададзенай амплітудзе гарманічных ваганняў зарад кандэнсатара контуру ў любы момант часу адназначна вызначаецца аргументам косінуса (або сінуса): <р = шо/.
Велічыню ф, што стаіць пад знакам косінуса або сінуса, называюць фазай ваганняў, якія апісаны гэтымі функцыямі. Выражаецца фаза ў вуглавых адзінках — радыянах.
' Ад грэчаскага слова phasis — з’яўленне, ступень развіцця якойнебудзь з’явы.
39
Фаза вызначае значэнне не толькі зараду, але і іншых фізічных велічынь, напрыклад сілы току і напружання, якія змяняюцца таксама па гарманічнаму закону. Таму можна сказаць, што фаза вызначае пры зададзенай амплітудзе стан вагальнай сістэмы ў любы момант часу. У гэтым заключаецца значэнне паняцця фазы.
Ваганні з аднолькавымі амплітудамі і частотамі могуць адрознівацца адно ад аднаго фазамі.
п 2л
Ііаколькі (Оо= у, то
Ф = Mnt = 2л у. (218)
Адносіна у паказвае, якая частка перыяду прайшла ад моманту пачатку ваганняў. Любому значэнню часу, выражанаму ў долях перыяду, адпавядае значэнне фазы, выражанае ў радыянах. Так, пасля таго як прайшоў час / = у (чвэрць перыяду), ф=у, пасля таго як прайшла палавіна перыяду, ф = л, пасля таго як прайшоў цэлы перыяд, ф = 2л і г. д.
Можна паказаць на графіку залежнасць зараду не ад часу, а ад фазы. На рысунку 31 паказана тая ж касінусоіда, што і на рысунку 29, але на гарызантальнай восі адкладзены замест часу розныя значэнні фазы ф.
Запіс гарманічных ваганняў з дапамогай косінуса і сінуса. Вы ўжо ведаеце, што пры гарманічных ваганнях зарад змяняецца з часам па закону косінуса або сінуса. Пасля ўвядзення паняцця фазы трэба спыніцца на гэтым больш падрабязна.
КНІГІ ОНЛАЙН
