Курс агульнай фізікі
Цеплыня і малекулярная фізіка: Вучэб. дапам.
Выдавец: Вышэйшая школа
Памер: 232с.
Мінск 1994
часцінкі валодаюць пэўнай энсргіяй Е\ . Пры тэмпсратуры Т2 (Т2 >
> Т1 ) будзс ўзрастаць энсргія Е2 Пункт, які дзсліць папалам кожную
з гэтых прамых, вызначас адпавсдны стан раўнавагі. Пры павслічэнні энсргіі хістальнага атама становішча цэнтра хістанняў змяшчасцца • ўправа (штрыхавая лінія). Такім чынам, пры награванні ўзрастас адлсгласць паміж цэнтрамі хістанняў атамаў, г. зн. паміж вузламі рашоткі, што і прыводзіць да цсплавога пашырэння цвёрдых цсл.
8.7. Цеплаёмістасць цвёрдых цел
Праблсма цсплаёмістасці цвёрдых цсл знаходзіцца ў цсснай сувязі
з многімі іншымі асноўнымі пытаннямі дынамікі крышталічнай рашоткі. Задоўга да з’яўлсння кінстычнай тэорыі французскія фізікі П. Дзюлонг і А. Пці экспсрымснтальна ўстанавілі, што атамная цсплаёмістасць аднаатамных крышталёў пры пакаёвай тэмпсратуры всльмі блізкая да значэння
Су = 25 Дж/ (моль • К)
і мала мянясцца з павышэннсм тэмпсратуры. Пазнсй было ўстаноўлсна, што цсплаёмістасць пры нізкіх тэмпсратурах, блізкіх да абсалютнага
нуля, рэзка мянясцца: яна прама прапарцыйная Т для дыэлсктрычных крышталёў і Т для мсталаў. На рыс. 8.15 прывсдзсны экспсрымснтальныя тэмпсратурныя залсжнасці цеплаёмістасці свінцу, алюмінію, крэмнію і вугляроду (алмазу).
Рыс. 8.15.
Для тлумачэння вынікаў экспсрыментаў па вывучэнні тэмпературных уласцівасцсй цсплаёмістасці цвёрдых цсл было прапанавана нскалькі мадэляў. Разглсдзім класічную тэорыю цсплаёмістасці цвёрдых цсл.
Паводлс класічнай малскулярна-кінстычнай тэорыі будовы цвёрдых цел, аднаатамны крышталь можна ўявіць як сукупнасць атамаў, якія хістаюцца ў вузлах крышталічных рашотак пад уплывам квазіпругкіх сіл. На кожную ступснь свабоды атама, які знаходзіцца ў вузлс крышталічнай рашоткі, прыходзіцца наступная колькасць энсргіі: кінстычнай кТ/21, патэнцыяльнай к.Т/2. У цэлым на адну ступень свабоды прыпадас энсргія, роўная кТ. Кожны атам валодас трыма
ступснямі свабоды. Сярэдняя ўнутраная энсргія такога атама складас ЗкТ. Памножым гэтую вслічыню на колькасць часцінак у 1 моль цвёрдага цсла, г. зн. на пастаянную Авагадра і знойдзем малярную ўнутраную энсргію U Іп цвёрдага цсла пры тэмпсратуры Т:
U„, = NK3kT = 3 RT,
(8.4)
дзс R — малярная газавая пастаянная.
Малярная цспласмістасць пры пастаянным аб’ёмс Cv = (dUm /8T)V. Тады з формулы (8.4) масм
Су = 3/?, (8.5)
што адпавядас закону Дзюлонга і Пці. Зазначым, што ў выпадку цвёрдых цсл цсплаёмістасці пры пастаянных аб’ёмс і ціску адрозніваюцца нязначна. Сапраўды, малярная цсплаёмістасць пры пастаянным ціску С р на 3—5 % вышай, чым Ср Гэта тлумачыцца тым, што ў яс ўваходзіць, акрамя змянення ўнутранай энергіі, работа, звязаная з павслічэннсм аб’ёму. Таму ў далсйшым нс будзсм удакладняць, пры якіх умовах бярэцца цсплаёмістасць.
Закон Дзюлонга і Пці (8.5) выконвасцца для большасці цвёрдых цсл пры пакаёвай тэмпсратуры і нс выконвасцца для такіх лёгкіх элсмснтаў, як алмаз, бсрылій, бор, крэмній і алюміній. Гэтыя рэчывы маюць пры пакаёвай тэмпсратуры цсплаёмістасць, якая значна меншая, чым 3R. 3 павышэннсм тэмпсратуры малярная цеплаёмістасць набліжасцца да 3R. Акрамя гэтага, у выпадку нізкіх тэмпсратур назіраюцца значныя адхілснні ад закону Дзюлонга і Пці. Пры
набліжэнні да тэмпсратуры абсалютнага нуля цсплаёмістасці ўсіх цвёрдых цсл імкнуцца да нуля (рыс. 8.16). Такім чынам, класічная тэорыя цеплаёмістасці цвёрдых цел мас вельмі абмсжаваную вобласць прымянсння нават у выпадку прасцейшых атамных рашотак. Строгую тэорыю цсплаёмістасці можна пабудаваць толькі на базс квантавай мсханікі.
8.8. Паняцце аб квантавай цеплаёмістасці цвёрдых цел
Выкарыстаннс квантавых уяўлснняў дазволіла значна палспшыць тэорыю цсплаёмістасцей цвёрдых цсл. Псршая работа ў гэтым напрамку была выканана А. Эйнштэйнам. У аснову сваёй тэорыі А. Эйнштэйн паклаў досыць грубую мадэль цвёрдага цсла. Ен прапанаваў лічыць, што атамы ў рашотцы робяць нсзалсжныя адно ад другога пругкія хістанні. Згодна з гэтай мадэллю, цсплавыя ўласцівасці рашоткі, якая складасцца з N атамаў, можна разглядаць як уласцівасці нсзалсжных гарманічных хістанняў (3 ), якія маюць адну і тую ж уласную
часціню хістанняў v. Існаваннс нулявой энсргіі хістанняў было ўстаноўлсна значна пазнсй, пасля стварэння квантавай мсханікі. На асновс гэтых уяўлснняў выпрамсньвальнас цсла ўяўляс сабой набор хістальных атамаў — асцылятараў. Асцылятар можа знаходзіцца ў станах з энсргіяй Еп , прычым
Еп = nhv , (8.6)
дзс п = 0, 1, 2, ... цэлы лік; h — пастаянная Планка; v — часціня хістанняў асцылятара.
Колькасць асцылятараў N(En) у розных станах вызначаецца паводлс закону размеркавання Больцмана (2.73):
N(En) = No exp ( - .
(8.7)
Выкарыстоўваючы формулу (8.7), падлічым сярэднюю энсргію квантавага асцылятара:
< Е
кв
00
11=0
00
п=0
(8.8)
Падставім у формулу (8.8) замсст Ец і N(En ) іх значэнні з выразу (8.6) і (8.7) і атрымасм
h у
fhv exp ) 1
У крышталі асцылятар трэба лічыць трохмсрным.Памножым (8.9) на 3^д і будзсм мсць форму ўнутранай энсргіі 1 моль крышталіка:
3 h v
IJ = -
I
exp “
(8.10)
Прадыферэнцусм выраз (8.10) па тэмпсратуры і атрымаем формулу
малярнай цсплаёмістасці крышталя:
, ,hv 2 ,hv ) cxp )
г Лv \ 1 12
[CXp(j^) 1 I
(8.11)
3 улікам парамстра 0Э = hv/k (тэмпсратура Эйнштэйна). Формула (8.11) прымс выгляд
Су
3R
(т)2
0, ехР (у)
2
[cxp 1 I2
(8.12)
Ск t/Г
Выраз (8.12) значна лспш стасусцца з экспсрымснтальнымі данымі, чым формула класічнай цсплаёмістасці цвёрдых цсл (8.5). У прыватнасці, пры нізкіх тэмпсратурах (Т « 0Э ) формулу (8.12) можна запісаць у выглядзс
, 0., ч 2
Су = 3R схр(-у ). (8.13)
' I
3 (8.13) вынікас, што пры 7 -> 0 цсплаёмістасць Су будзс імкнуцца да нуля па экспанснцыйным законе. У сапраўднасці цсплаёмістасць дыэлсктрычных крышталёў мяняецца паблізу абсалютнага нуля нс экспанснцыйна, а па законс Т . Такім чынам, тэорыя Эйнштэйна нс дас колькаснай згоды з экспсрымснтам.
Для малых порцый энсргіі (пры нармальных умовах), калі дыскрэтнасць знсргіі робіцца нсістотнай, hv « кТ. У гэтым выпадку класічная мсханіка і квантавая прыводзяць да аднолькавых вынікаў. Як вядома, пры hv « кТ exp (hv/(кТ)) = 1 + hv /(кТ) . Падстаўляючы ў формулу (8.9) замсст cxp(hv/(kT)) яго значэннс, атрымаем < ЕКІ1 > = кТ. Тады з формулы (8.12) знойдзсм Су = 3R, г. зн. закон Дзюлонга і Пці.
Далсйшае ўдасканалснне тэорыі цсплаёмістасцсй крышталёў было ажыццёўлсна П. Дэбасм. Ён прапанаваў разглядаць сукупнасць атамаў крышталя як пругкас асяроддзе. Гэтас асяроддзс абмсжавана памсрамі крышталя, у якім калектыўныя хістанні атамаў уяўляюцца супсрпазіцыяй асабістЬіх тыпаў хістанняў такога асяроддзя. Будзсм лічыць, што крышталь мас форму куба з рабром L. П. Дэбай разглядаў крышталь як сістэму пругка звязаных адзін з адным атамаў, што валодас ЗЛ\ ступснямі свабоды. Гэта дало магчымасць атрымаць пры нізкіх тэмпсратурах Т формулу для ўнутранай энсргіі крышталя:
Q 4
NAkT%3 , (8.14)
дзс 0/j = — тэмпература Дэбая; vmax — максімальная часціня
пругкіх хістанняў атамаў у крышталі.
Прадыферэнцусм выраз (8.14) па Т, атрымасм
Су = | , (8.15)
г. зн. цсплаёмістасць пры нізкіх тэмпсратурах у аднаатамным крышталі мянясцца прапарцыйна Т3 . Формула (8.15) добра выконвасцца пры нізкіх тэмпсратурах. На рыс. 8.16 паказана залсжнасць Су ад T/eD паводлс тэорыі Дэбая для ўсіх рэчываў.
9. РАЎНАВАГА ФАЗ 1 ФАЗАВЫЯ
ПЕРЛХОДЫ
Калі рэчыва псраходзіць з адной фазы ў другую, то такі пераход называецца фазавым пераходам або фазавым псратварэннсм. У якасці прыкладу можна прывссці псраход газу ў вадкасць, вадкасці ў цвёрдас цсла, металу з фсрамагнітнага стану ў парамагнітны, са звышправоднага ў нсправодны і г. д. Змянснне агрэгатнага стану рочыва — гэта прыватны выпадак фазавага пераходу. Дзвс або нскалькі фаз будуць знаходзіцца ў раўнавазс, калі масы адных фаз нс будуць павялічвацца за кошт другіх.
9.1. Раўнанне Клапейрона—Клаўзіуса
Разглсдзім тэрмадынамічную сістэму, якая складасцца з вадкасці і насычанай пары. У гэтым выпадку малскулы бсспсрапынна псраходзяць з вадкасці ў пару і наадварот. Паўстас пытаннс: пры якіх умовах магчыма раўнавага гэтай сістэмы? Умовай раўнавагі дзвюх фаз (вадкай і пары) з’яўлясцца роўнасць іх удзсльных тэрмадынамічных патэнцыялаў: <ро (р, Т) = <р„ (р, Т). Выкарыстоўваючы другі пачатак тэрмадынамікі, можна ўстанавіць залсжнасць паміж ціскам насычанай
Рыс. 9.1.
пары, тэмпсратурап, цсплынсн выпарэння і змянсннсм аб’сму пры псраходзс рэчыва з вадкага ў парападобны стан.
Дапусцім, што рабочас рэчыва вадкасць — насычаная пара выконвас бясконца малы абарачальны цыкл Карно. Пачатковы стан сістэмы пакажам пунктам 1 (рыс. 9.1). Правядзём пашырэнне сістэмы пры пастаяннай тэмпсратуры Т са стану 1 у стан 2. Пры гэтым нскаторая вадкасць масай m выпарыцца і пяройдзс ў стан насы-
чанай пары пры ціску р.Такім чынам, адбудзсцца ізабарна-ізатэрмічнас пашырэннс (крывая 1—2 ). Для таго, каб гэтае пашырэннс праходзіла пры пастаянным ціску і пастаяннай тэмпсратуры, сістэма павінна паглынуць ад награвальніка цеплыню Qt ,якая роўная цсплыні выпа-
рэння, г. зн.
Qi = m2 ,
(9.1)
дзс A — удзсльная цсплыня псраўтварэння вадкасці. Павслічэннс аб’ёму ДІ7 на ўчастку 1—2
LV = mV„ тУв = m(Vn Кв) ; (9.2)
дзс Уп — удзельны аб’ём пары; Ув — удзсльны аб’ём вадкасці.
Са стану 2 сістэма адыябатна псраходзіць у стан 3 з меншай тэмпсратурай Т — Д71 (крывая 2—3). Са стану 3 сістэма ізабарнаізатэрмічна сціскасцца пры тэмпсратуры Т — ДГ да стану 4. Пры гэтым частка пары масай m кандэнсуецца, вылучасцца цсплыня Q2 • Яна перадасцца халадзільніку. Са стану 4 сістэма адыябатна сціскаецца да першапачатковага стану 1 (крывая 4—1). Казфіцыснт карыснага дзсяння цыкла 1—2—3—4—1
Q\ Ql A A
7/1 “ Qi " ’
(9.3)
дзс LA — работа, якая выконвасцца пры ізабарным працэсс. Яна, паводлс формулы (3.2) з улікам выразу (9.2)
LA = Д р A V = L,pm (Уп - ) . (9.4)
Падставім у формулу (9.3) замсст ДА і Qj іх значзнні згодна з (9.4) і (9.1):
3 другога боку, для цыкла Карно каэфіцыснт карыснага дзсяння
Т\-Т2 \т
7/2 ?! Т ’
(9.6)
На падставс тэарэмы Карно (гл. § 5.5) прыраўняем правыя часткі формул (9.5) і (9.6):
_ Д Т 07
I т ' (У-О
Псраходзім да ліміту ў выразс (9.7) і атрымлівасм
КНІГІ ОНЛАЙН
