Курс агульнай фізікі
Цеплыня і малекулярная фізіка: Вучэб. дапам.
Выдавец: Вышэйшая школа
Памер: 232с.
Мінск 1994
15 Зак. 5541
11. ГАЗАДЫНАМІКА
Пры вывучэнні гідрадынамікі мы лічылі, што ідэальны газ або ідэальная вадкасць рухаюцца з малымі хуткасцямі, і нс бралі пад увагу сціскальнасць газу (або вадкасці); не ўлічвалі ўнутраную энсргію газу (або вадкасці), паколькі адбываўся ізатэрмічны працэс. У газадынаміцы будзсм разглядаць рух ідэальнага газу з хуткасцю u, блізкай да хуткасці гуку с, або з хуткасцю, якая перавышае яс. Пры такіх хуткасцях руху ідэальнага газу нсабходна ўлічваць яго сціскальнасць, змянсннс ўнутранай энсргіі, г. зн. тэмпсратуры. Пры вялікіх хуткасцях узнікас шэраг новых з’яў, разглсдзім нскаторыя з іх.
11.1. Работа цячэння газавага патоку
У агульным выпадку вонкавая работа супраць сіл ціску Лв01, для газу, які рухасцца, можа складацца з работы выцяснення ЗЛВЬІЦ і тэхнічнай работы ЗЛТЭХ :
•^ВОН = ^-^выц + ^Атэх • (11.1)
Работа ЗЛВЫЦ у сваю чаргу складасцца з работы пашырэння 5Л і работы па псраадолснню сіл інсрцыі і трэння, звязанай з псрамяшчэннем газу па канале, якая называецца работай праштурхоўвання ЗЛ'.
Тэхнічнай работай называсцца работа сілы рэакцыі газу, які рухаецца, у рухомым каналс. Сілы рэакцыі газу на сцснкі канала ўзнікаюць толькі пры цячэнні яго па канале з лінейным або вуглавым паскарэннем. Работа гэтай сілы мае мссца толькі пры псрамяшчэнні канала. Прыкладам тэхнічнай работы з’яўляюцца цягавая работа па псрамяшчэнні лятальнага апарата, работа газавай турбіны, кампрэсара, калі канал з газам (сапло або рабочае кола турбіны ці кампрэсара) перамяшчаецца ў прасторы. Ва ўсіх выпадках работу вонкавых сіл
Рыс. 11.1.
Рыс. 11.2.
над газам лічаць адмоўнай (сцісканне, паскарэннс газу), а работу, якую выконвас газ пры пашырэнні, тармажэнні, — дадатнай. Калі газ рухаецца, то, як было сказана вышэй, акрамя работы пашырэння, ён можа выконваць яшчэ работу праштурхоўвання.
Для атрымання агульнага выразу работы выцяснсння разглсдзім замацаваны канал адвольнага сячэння (рыс. 11.1), па якім газ рухасцца з паскарэннем. Цячэнне аднароднае, усталяванае. Тады
^ВЫЦ = d(pV) = pdV + Vdp ,
(11.2)
дзс псршы складнік — элсмснтарная работа пашырэння 6/1, а другі — элсментарная работа праштурхоўвання 6А'. Пасля інтэгравання (11.2) ад стану 1 да стану 2 атрымасм
^2 Р1
Лыц = $ pdv + f Vdp = A + А' .
Pi
Як вядома, работа пашырэння газу А графічна ў сістэмс каардынат p,V паказвасцца плошчай фігуры /—2—V2 —^і —2 (рыс. 11.2), a работа праштурхоўвання А' — плошчай фігуры 1—2—Р2~Р\—2. Пры гэтым работа, звязаная са змяншэннем ціску, якая ідзс на павелічэннс хуткасці патоку і псраадолснне трэння, лічыцца адмоўнай, а з павышэннем ціску — дадатнай.
11.2. Асноўныя раўнанні цячэння газавага патоку па каналах
Разглсдзім стацыянарнас раўнаннс цячэння газу па каналах перамсннага сячэння. Будзсм лічыць, што пры такім цячэнні мяняюцца характарыстыкі газу ў канале паміж пунктамі прасторы. Высветлім, як трэба змяняць сячэннс канала, каб хуткасць патоку павялічвалася.
Раўнаннс псршага пачатку тэрмадынамікі з’яўлясцца раўнаннсм балансу энсргіі. Калі да газу масай т падвесці бясконца малую колькасць цсплыні 5Q, то частка гэтай цсплыні можа псратварыцца ў работу супраць вонкавых сіл супраціўлення 5Л В0І1 , а астатняя частка пойдзе на змянснне ўласнай энсргіі газу 8Е:
8Q = дЕ + дАвоп
У сваю чаргу змянсннс ўласнай энергіі
8Е = dU + дЕк + дЕр, дзе
2
дЕк = md f = msdh •
(11.3)
(11.4)
(11.5)
3 улікам судачынснняў (11.4) і (11.5) раўнаннс псршага пачатку тэрмадынамікі (11.3) у разгорнутым выглядзе для газу масай т у дыфсрэнцыйнай формс мас выгляд
dQ = dU + md + mgdh + 6ЛВОК . (11.6)
Падставім у (11.6) замсст 5ЛВОН значэнне згодна з выразамі (11.1), (11.2) і атрымасм агульнас раўнанне псршага пачатку тэрмадынамікі ў дэферэнцыйнай форме для газу масай т:
2
<5Q = dU + md ( у + mgdh + d(pV) + 5ЛТЭХ .
Toe ж раўнанне для 1 кг газу
2
8Q = dU + d ) + gdh + d(pV) + <5ЛТЭХ , (11.7)
дзс Q, U, V, Лтэх — адпавсдныя ўдзсльныя велічыні, аднсссныя да 1 кг газу.
Звычайна змянснне вонкавай патэнцыяльнай энергіі невялікае ў параўнанні з іншымі складнікамі. Таму можна меркаваць, што gdh ~ ~ 0. Пры цячэнні газу па нсрухомым канале 5ЛТЭХ = 0. 3 улікам сказанага раўнаннс (11.7) прымс выгляд
2
8Q = did + d ) + d^pV).
(11.8)
Пры нсрухомым газе dtp1 /2) = 0, <5Л'ТЭХ = Vdp = 0 . Тады адзіным відам работы для нсрухомага газу з’яўлясцца работа пашырэння 5Л = = pdV. Раўнаннс (11.8) можна запісаць
6Q = dU + pdV.
(11.9)
Формулы (11.7), (11.8) і (11.9) у інтэгральнай формс адпавсдна маюць наступны выгляд: 2 2
Q = U2U[ + у у + g(h2 ~ + p2V2 p\V{ + Лтэх ;
Q = U2 t/j + у ~ + p2V2 pxVx ;
Q = U2Ui+ f pdV = \U + A.
h
У тэрмадынаміцы, акрамя ўнутранай энергіі U, шырока выкарыстоўвасцца яшчэ адна функцыя газу — энтальпія Н:
Н = U + pV. (11.10)
Дыфсрэнцыял выразу (11.10)
dH = dU + pdV + Vdp. (11.11)
У выніку формулы (5.54 а) дыфсрэнцыял энтальпіі dH для ідэальнага газу можна запісаць у наступным выглядзе:
dH = ~ C„dT = т —Ц- dT .
М Р у 1 М
(11.11 а)
Выкарыстоўваючы судачынснне (11.11), можна запісаць раўнанне псршага пачатку тэрмадынамікі праз энтальпію:
для т = 1 кг рухомага патоку газу ў нсрухомым каналс з формулы (11.8)
dQ = dH + d
(11.12)
для т = 1 кг нсрухомага газу з выразу (11.9)
8Q = dH — Vdp.
(11.13)
Раўнаннс энсргіі (11.12) мас выгляд для адыябатнага цячэння га-
завага патоку:
dH + = 0
(11.14)
і для ідэальнага газу з улікам формулы (11.11 а)
2 2
Р2 У1
2
+ ~5(Г2 TO = Q.
у — 1 М ' L 17
(11.14 а)
3 формулы (11.14) вынікас, што пры адыябатным цячэнні газу па каналах і пры адсутнасці тэхнічнай работы павелічэнне хуткасці {du > 0) суправаджаецца памяншэннсм яго энтальпіі {dH < 0) і, такім чынам, тэмпературы {dT < 0). Тармажэннс газу {du < 0) прыводзіць да павелічэння энтальпіі {dH > 0) і росту тэмпературы {dT > 0).
Супастаўляючы раўнанні (11.12) і (11.13), атрымлівасм раўнанне Бсрнулі ў дыферэнцыйнай форме для сціскаемай вадкасці (газу):
2
= -Wp
або
2
Vdp + d = 0 .
(11.15)
3 раўнання (11.15) вынікае, што хуткасць газу павялічваецца {du > 0) толькі пры паніжэнні ціску {dp < 0). Наадварот, тармажэнне газу {du < 0) пры адсутнасці трэння прыводзіць да павышэння ціску {dp > 0).
Pyx газавага патоку можа быць стацыянарным і нестацыянарным. Стацыянарным называсцца такі рух газавага патоку, калі яго хуткасць
у якім-небудзь пункце дадзснага сячэння застаецца нязмсннай у часе. Інакш кажучы, пры праходжанні газам розных сячэнняў S канала мае мссца закон захавання масы, Разглсдзім рыс. 11.1, на якім паказана стацыянарнас цячэннс патоку газу. Для кожнага сячэння ціск р, тэмпсратура Т, шчыльнасць р і хуткасць v лічацца пастаяннымі ў любым пункце.
Пры нсўсталяваным руху газу ў ім дзсйнічаюць сілы вязкасці, якія ў выніку ўнутранага трэння тармозяць часцінкі, што рухаюцца хутка, і паскараюць тыя, што рухаюцца павольна.
Для стацыянарнага рэжыму цячэння газу справядлівас раўнаннс нсразрыўнасці для сціскальнай вадкасці
mi = m2 = Ріі’1^1 = Р2^2
або
m = р uS = = const , (11.16)
дзс р — шчыльнасць газу; 5 — плошча папярочнага сячэння канала; V — удзельны аб’ём: V = 1/р.
Пры р = const атрымасм для ідэальнага газу з выразу (11.16) раўнаннс нсразрыўнасці струмсню: uS = const.
Дапусцім, што газ цячэ ў каналс дастаткова хутка, г. зн. бсз цсплаабмсну са сцснкамі канала. У гэтым выпадку працэс будзс адыябатны. Тады да атрыманых формул нсабходна далучыць раўнанні адыябаты:
pV? = const; (11.17)
TH7-1 = const;
T r = const . P7~x
Вывучэнне працэсаў pyxy газаў па каналах мас вялікае практычнае значэннс. Гэтыя працэсы ажыццяўляюцца ў многіх цсплавых машынах, апаратах і прыборах. Прыкладам такога руху з’яўляецца цячэннс газу па трубаправодах, па трактах рэактыўнага рухавіка, кампрэсара ці турбіны. У рэактыўным рухавіку энсргія, якая падводзіцца да рабочага цсла, псратварасцца ў кінстычную энсргію газавага патоку, што выкідваецца з рухавіка. Тэорыя цячэння газавага патоку з’яўляецца асновай для разліку газавых турбін, кампрэсараў, рэактыўных рухавікоў, энергстычных установак і г. д.
11.3. Выцяканне газаў з соплаў. Крытычная хуткасць
Каналы, у якіх адбывасцца павслічэннс газавага патоку, называюцца сопламі. У соплах унутраная энсргія псратвараецца ў кінстычную, г. зн. хуткасць узрастас (dv > 0), ціск, унутраная энсргія, тэмпсратура і энтальпія памяншаюцца (dp < 0, dU < 0, dT < 0, dH < 0).
Форма профілю сапла залсжыць ад рэжыму цячэння газавага патоку. Вызначым залсжнасць плошчы папярочнага сячэння канала ад ліку Маха. Лікам Маха называсцца стасунак хуткасці патоку v да мясцовай хуткасці гуку с у ім:
М = -. (11.18)
с
Лік Маха М з’яўлясцца мсркай сціскальнасці павстра і характарыстыкай хуткасці. Пры дагукавым рэжымс цячэння (М < 1) хуткасць газавага патоку мсншая за мясцовую хуткасць гуку ф < с), а пры звышгукавым рэжымс цячэння (М >1) — болыпая за мясцовую хуткасць гуку (u > с). Пры хуткасцях цячэння патоку газу, якія адпавядаюць лікам М ~ 0,3—0,5, сціскальнасць газу практычна нс праяўлясцца. Пры большых хуткасцях сціскальнасць газу становіцца прыкметнай; адбывасцца якаснас змянснне стану газавага патоку.
Для вызначэння залсжнасці 5 ад М прадыфсрэнцусм нспарыўнасці (11.16):
mdV = Sdv + vdS.
Падзелім пачлснна формулу (11.19) на (11.16), атрымаем
dS _ dV _ dt^ S'~ V v ’
Прадыфсрэнцуем пачлснна раўнанне адыябаты (11.17):
dp + dV = 0.
Адкуль
dV =
V y p •
3 раўнання Бернулі (11.15) вынікае, што
раўнаннс
(11.19)
(11.20)
(11.21)
dv Vdp
v ~ 2
v v
(11.22)
Падставім значэнні dVlV i dvlv з выразаў (11.21) i (11.22) y правую частку раўнання (11.20) i выкарыстасм выразы (3.49) і (11.18). Атрымасм:
dS _ урУ v2 dp _
$ " yv2 Р
= 1 М2 dp
уМ2 Р
с2 у2 dp _ yv2 Р
(11.23)
3 формулы (11.23) вынікас, што характар змянсння профілю сапла залсжыць ад знака вслічыні 1—М2 . Пры дагукавым цячэнні газу па канале v < с, М < 1 і, такім чынам, dS < 0. Гэта значыць, што сапло мас форму канала, які звужаецца (дагукавос сапло). У выпадку звышгукавога цячэння газу v > с, М > 1, а пры Др < 0 вслічыня dS > 0. Іншымі словамі, сапло мас форму канала, які пашырасцца (звышгукавос сапло). 3 раўнання (11.23) вынікас, што на ўваходзс ў звышгукавос сапло хуткасць газу павінна быць роўнай хуткасці гуку. Таму для псратварэння дагукавога патоку (u < с) у звышгукавы (р > с) нсабходна выкарыстоўваць камбінаванае сапло (сапло Лаваля). На рыс. 11.3 паказаны схемы дагукавога (а), звышгукавога (б) і сапло Лаваля (е). Сапло Лаваля скла-
КНІГІ ОНЛАЙН
