Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
Вялікі французскі вучоны XVII ст. Блез Паскаль (1623—1662) яшчэ ў дзяцінстве любіў вывучаць геаметрычныя фігуры, адкрываць іх уласцівасці, вымяраць вуглы транспарцірам. Юны даследчык заўважыў, што ў любога трох
180°
Рыс. 219
вугольніка сума вуглоў адна і тая ж — 180°. «Як жа гэта растлумачыць? » — думаў Паскаль. Тады ён адрэзаў у трохвугольніка два вугалкі і прыклаў іх да
Блез Паскаль
трэцяга (рыс. 219). Атрымаўся разгорнуты вугал, які, як вядома, роўны 180°. Гэта было яго першае ўласнае адкрыццё! Далейшы лёс хлопчыка быў прадвызначаны.
Тэарэма. Сума вуглоў трохвугольніка роўна 180°.
Дадзена: ААВС (рыс. 220).
Даказаць: ZA + ZB + ZC=180°.
Доказ. Праз вяршыню В трохвугольніка ABC правядзём прамую КМ, паралельную старане AC. Тады ZKBA = ZA як унутраныя накрыжлеглыя вуглы пры паралельных прамых КМ і
AC і сякучай AB, a АМВС = ZC як унутраныя накрыжлеглыя вуглы пры паралельных прамых KM і AC і сякучай ВС. Паколькі вуглы КВА, ABC і МВС утвараюць разгорнуты вугал, то АКВА + ААВС + АМВС= 180°. Адсюль ZA + ZB + ZC = 180°.
Тэарэма даказана.
Вынікі.
1. Кожны вугал роўнастаронняга трохвугольніка роўны 60° (рыс. 221).
2. Сума вострых вуглоў прамавугольнага трохвугольніка роўна 90° (рыс. 222).
Рыс. 221 Рыс. 222
катэт
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка 111
У прамавугольным трохвугольніку стораны, якія змяшчаюць прамы вугал, называюцца катэтамі, старана, супрацьлеглая прамому вуглу, — гіпатэнузай (гл. рыс. 222).
Правядзём у прамавугольным трохву
Рыс. 223
гольніку ABC вышыню СН да гіпатэнузы АВ (рыс. 223). Паколькі ў трохвугольніку ABC вугал 1 дапаўняе вугал В да 90°, а ў трохвугольніку СНВ вугал 2 таксама дапаўняе вугал В да 90°, to Z1 = Z2.
Даказана ўласцівасць: «Вугал паміж вышынёй прамавугольнага трохеугольніка, праведзенай да гіпатэнузы, і катэтам роўны вуглу паміж іншым катэтам і гіпатэнузай».
А цяпер выканайце Тэст.
Тэст
У трохвугольніку правялі дзве вышыні, ву
гал а роўны 20°. Знайдзіце вуглы [3, у, у, х.
Заданні да § 19
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. У трохвугольніку ABC градусныя меры вуглоў A, В і С адносяцца адпаведна як 5 '■ 7 '■ 3. Знайсці вуглы трохвугольніка (рыс. 224).
в Рашэнне. Няхай АА=5х, АВ = 7х, АС = Зх
7 (х — градусная мера адной часткі). Паколь
кі сума вуглоў трохвугольніка роўна 180°, то
5Х зх 5х+7х + 3х= 180°, 15х=180°, х = —= 12°.
A C 15
Рыс. 224 Тады ZA = 5 • 12° = 60°, ZB = 7 • 12° = 84°, ZC = = 3 12° = 36°.
Адказ: ZA = 60°, ZB = 84°, ZC = 36°.
112 Глава4. Сулла вуглоўтрохвугольніка
Рыс. 225
Задача 2. У трохвугольніку ABC (рыс. 225) вугал В роўны 70°, АК і CM — бісектрысы, О — пункт іх перасячэння. Знайсці вугал АОС паміж бісектрысамі.
Рашэнне. Сума вуглоў A і С трохвугольніка ABC роўна 180° 70° = 110°. Паколькі бісектрыса дзеліць вугал папалам, то
ZOAC + ZOCA = | (ZA + ZC) = | • 110° = 55°.
3 трохвугольніка АОС знаходзім: ZAOC = 180° — 55° = 125°.
Адказ: 125°.
Заўвага. Калі ZB = 3, то, разважаючы аналагічна, атрымаем формулу: ZAOC = 90° + ^. Калі, напрыклад, ZB = 60°, to ZAOC = = 90° + —= 120°.
2
Задача 3. Даказаць, што калі медыяна трохвугольніка роўная палове стараны, да якой яна праведзена, то дадзены трох
вугольнік — прамавугольны.
Доказ. Няхай CM — медыяна ЛАВС і
CM ~ —АВ (рыс. 226). Дакажам, што ZACB =
. а 3 2
\ „ =90°. Абазначым ZA = a, ZB = Q. Паколь
A 1 м 1 в кі медыяна дзеліць старану папалам, то
D AM = MB = ±АВ. Тады СМ = АМ = МВ. Па
Рыс. 226 2
колькі ЛАМС — раўнабедраны, to ZA =
= ZACM = а як вуглы пры аснове раўнабедранага трохвугольніка. Аналагічна /\СМВ — раўнабедраны і ZB = ZBCM = 0. Сума вуглоў трохвугольніка ABC, з аднаго боку, роўна 2a + 23, з іншага — роўна 180°. Адсюль 2a+ 23=180°, 2(a + P) = 180°, a + 3 = 90°. Тады ZACB = a + 3 = 90°, таму ZACB = 90°.
Заўвага. Вугал, вяршыня якога ляжыць на акружнасці, а стораны перасякаюць акружнасць, называецца ўпісаным. На рысунку 227 гэта вугал АСВ. 3 задачы 3 вынікае ўласцівасць: «Упісаны вугал, які абапіраецца на дыяметр, — прамы». Дакажыце гэту ўласцівасць самастойна.
Рыс. 227
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка 113
Задача 4. Даказаць, што ў прамавугольным трохвугольніку медыяна, праведзеная да гіпатэнузы, роўная палове гіпатэнузы. в Д оказ. Няхай у трохвугольніку ABC (рыс. 228) / ^ ZC = 90°, ZA = a, ZB = р. Правядзём адрэзак CM так, што ZACM = а, і дакажам, што CM — ме
А і“ ..Жс дыяна і што CM = ^АВ. Вугал В дапаўняе вуРыс. 228 гал А да 90°, a ZBCM дапаўняе ZACM да 90°. Паколькі ZACM = ZA = a, to ZBCM=$. Трохвугольнікі АМС і BMC — раўнабедраныя па прымеце раўнабедранага трохвугольніка. Тады AM = МС і MB = МС. Адсюль CM — медыяна і CM = ^АВ.
ю
Рыс. 229
Знайдзіце вугал
ці старану, якія абазначаны пытальні
кам (рыс. 230).
173.
174. Вуглы трохвугольніка адносяцца як 1 : 3 : 5. Знайдзіце большы вугал трохвугольніка.
175. На рысунку 231 а || Ь. Знайдзіце вуглы a, Р і у. У адказе запішыце значэнне 2a Р+у.
Рыс. 231
V 5.3ак. 212.
114 Гпава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
176. Адзін з вуглоў трохвугольніка на 70° меншы за другі і на 40° большы за трэці вугал. Знайдзіце найменшы вугал трохвугольніка.
177. Дакажыце, што бісектрысы ўнутраных аднастаронніх вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай узаемна перпендыкулярныя.
178. Вышыня прамавугольнага трохвугольніка ABC, праведзеная да гіпатэнузы, дзеліць прамы вугал С у адносіне 4:5. Знайдзіце вострыя вуглы трохвугольніка ABC.
179. У раўнабедранага трохвугольніка адна са старон роўна 8 см і адзін з вуглоў роўны 60°. Знайдзіце перыметр трохвугольніка.
180. Дадзены куб ABCDA1B1C1D1 (рыс. 232). Знайдзіце вуглы ўсіх трохвугольнікаў, якія з’яўляюцца гранямі піраміды D}A1C1D.
181. Трохвугольнік ABC — раўнабедраны, AB = ВС. На прамені АВ адкладзены адрэзак BD за пункт В такі, што BD = AB. Дакажыце, што трохвугольнік ACD — прамавугольны.
182. Трохвугольнік ABC — раўнабедраны, AB = ВС, АК — бісектрыса, АК = ВК. Знайдзіце вуглы трохвугольніка ABC.
183. У чатырохвугольніку ABCD AD = BC. Знайдзіце вугал BAD (рыс. 233).
Рыс. 233
184. Тры бісектрысы трохвугольніка ABC перасякаюцца ў пункце О. Вугал ОАС роўны 32°. Знайдзіце вугал ВОС.
185. У востравугольным трохвугольніку ABC вышыні АК і CM перасякаюцца ў пункце Н. Дакажыце, што: a) ZBAK = = ZBCM; б) ZB = ZCHK, в) ZAHC + ZB = 180°.
186*. У трохвугольніку ABC медыяна ВК роўная адрэзку АК, ZCBK = 24°. Знайдзіце ZA.
187*. Вугал паміж хордай А_В і дыяметрам AC роўны 64°. Знайдзіце вугал паміж хордай ВС і гэтым дыяметрам.
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка 115
188*. Знайдзіце, чаму роўна сума Z1+Z2+ + Z3 + Z4 + Z5 + Z6 (рыс. 234).
189*. Унутры квадрата ABCD узяты пункт К так, што трохвугольнік AKD роўнастаронні. Знайдзіце вуглы трохвугольніка ВКС.
190*. У прамавугольным трохвугольніку з вяр
шыні прамога вугла праведзены вышыня, бісектрыса і медыяна. Дакажыце, што бісектрыса дзеліць папалам вугал паміж вышынёй і медыянай.
191*, Дакажыце, што: а) сума вуглоў чатырохвугольніка ABCD роўна 360° (рыс. 235, а); б) AB.LBC (рыс. 235, б); в) Z4 = = Zl + Z2 + Z3 (рыс. 235, e); г) Zl + Z2 = Z3 + Z4 (рыс. 235, г).
Рэальная геаметрыя
Яхта выйшла ў мора курсам, які склаў з лініяй берага 45° (рыс. 236). Прайшоўшы 4 км, яна павярнула на 80° улева і прайшла яшчэ 4 км. Пасля гэтага яхта накіравалася ў пункт свайго выхаду. Вызначыце вугал, які склаў курс яхты, што ішла да берага, з лініяй берага.
Пры дапамозе Інтэрнэту высветліце іншыя біяграфічныя факты з жыцця і навуковай дзейнасці вучонага Блеза Паскаля.
Рыс. 236
§ 20. Знешні вугал трохвугольніка
Вуглы трохвугольніка яшчэ называюцца яго ўнутранымі вугламі. Акрамя ўнутраных вуглоў, у трохвугольніка ёсць і знешнія вуглы.
Азначэнне. Знешнім вуглом трохвугольніка называецца вугал, сумежны з яго ўнутраным вуглом.
116 Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
Рыс. 237
На рысунку 237, а вуглы ВСК, АВМ, CAN — знешнія, паколькі кожны з іх з’яўляецца сумежным з адным з унутраных вуглоў трохвугольніка. Пры кожнай вяршыні трохвугольніка адзін вугал унутраны і два знешнія. На рысунку 237, б вугал 1 — унутраны, вуглы 2 і 3 — роўныя знешнія вуглы. Вугал 4 не з’яўляецца знешнім, таму што ён не з’яўляецца сумежным з унутраным
вуглом 1.
Тэарэма. Знешні вугал трохвугольніка роўны суме двух унутраных вуглоў, не сумежных з ім.
В Дадзена: ЛАВС, Z4 — знешні (рыс. 238).
Даказаць: Z4 = Zl + Z2.
/ Доказ. Паколькі сума вуглоў трохвугольні
А 3 с к ка роўна 180°, to Zl + Z2 + Z3 = 180°. 3 пры
Рыс. 238 чыны таго што сума сумежных вуглоў роўна 180°, to Z3 + Z4 = 180°. Тады Zl+Z2+X3=
= Z3 + Z4. Адняўшы ад абедзвюх частак роўнасці Z3, атрымаем Zl + Z2 = Z4. Тэарэма даказана.
Вынік.
Знешні вугал трохвугольніка большы за любы ўнутраны вугал, не сумежны з ім.
А цяпер выканайце Тэст.
Заданні да § 20
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Тэст
Знайдзіце ZBCK двума спосабамі.
Задача 1. Даказаць, што бісектрыса знешняга вугла пры вяршыні раўнабедранага трохвугольніка паралельная аснове.
Глава4. Сума вуглоў трохвугольніка 117
Рыс. 239
Доказ. Няхай у ААВС АВ = ВС, ВМ — бісектрыса знешняга вугла КВС, Z1=Z2= = ^ZKBC (рыс. 239). Па ўласцівасці знешняга вугла трохвугольніка ZKBC = Z3 + Z4. Паколькі ЛАВС — раўнабедраны, to Z3 = Z4 = = ^ZKBC. Таму Z2 = Z4. Паколькі ўнутра
ныя накрыжлеглыя вуглы 2 і 4 роўныя (пры прамых ВМ і AC і сякучай ВС), то прамыя ВМ і AC паралельныя.
Рыс. 240
Задача 2. Даказаць, што сума вуглоў A, В, С, D і Е «зорачкі» роўна 180° (рыс. 240).
Рашэнне. Разгледзім ААМК. Сума яго вуглоў роўна 180°. Вугал АМЕ — знешні для /\ЕМС, таму ZAME = ZC + ZE. Аналагічна вугал АКВ — знешні для AKBD, таму ZAKBZB + ZD. Паколькі ZA+ ZAMK + + ZAKM = 180°, to ZA + (ZC + ZE) + (ZB + ZD) = = 180°.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
192. Знайдзіце вугал, абазначаны пытальнікам (рыс. 241).
193. Знайдзіце вугал пры аснове раўнабедранага трохвугольніка, калі знешні вугал пры яго вяршыні роўны: а) 110°; б) 73°; в) а.
194. Вуглы трохвугольніка адносяцца як 2 : 3 ■' 4. Знайдзіце адносіну адпаведных знешніх вуглоў трохвугольніка, узятых па адным пры кожнай вяршыні.
118 Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
В
Рыс. 242
195. Сума знешняга вугла пры вяршыні раўнабедранага трохвугольніка і ўнутранага вугла пры аснове роўна 216°. Знайдзіце вуглы трохвугольніка.
КНІГІ ОНЛАЙН
