Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
Прамая і яе часткі. Акружнасць. Вугал
Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
Прамая
Праз два пункты
Прамень
м•к
А( пачатак)
Адрэзак
AM В
AM + МВ=АВ
Паралельныя
прамыя
Ломаная
простая ( няпростая) замкнутая (незамкнутая)
Уроўных трохвугольніках супраць роўных старон ляжаць роўныя вуглы і наадварот...
ПРЫМЕТА
(па дзвюх старанах і вуглу паміж імі)
Р ПРЫМЕТА
(па старане і двух прылеглых да яе вуглах)
<г
3 ПРЫМЕТА
(па трох старанах)
Акружнасць і круг
Вугал
вышыня
бісектрыса
медыяна
L Сумежныя
Т2 Вертыкальныя
Перпендыкулярныя прамыя
Z1 +/3 = 180°
Z2 + Z3 = 180°
Z1 = Z2
Раўнабедраны трохвугольнік
ПРЫМЕТЫ
Калі два вуглы роўныя...
Калі вышыня з’яўляецца медыянай... Калі вышыня з’яўляецца бісектрысай, Калі медыяна з’яўляецца бісектрысай
УЛАСЦІВАСЦІ
Вуглы пры аснове роўныя.
Бісектрыса... з’яўляецца вышынёй і медыянай.
Пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка
Любы пункт пасярэдняга...
Калі пункт роўнааддалены...
1ы адметны пункт
1. О роўнааддалена ад A і С
2. О роўнааддалена ад В і С
3. Значыць, О роўнааддалена ад A і В
4. О ляжыць на трэцім пасярэднім перпендыкуляры
База ведаў па главе 1
1. Аксіёма прамой.
2. Прамень.
Дадатковыя прамені.
3. Адрэзак і яго ўласцівасці.
4. Ломаная і яе віды.
5. Паралельныя прамыя.
6. Акружнасць, круг, іх элементы.
7. Вугал і яго ўласцівасці.
8. Бісектрыса вугла.
9. Разгорнуты вугал. Градус. Віды вуглоў.
10. Аксіёма. Тэарэма.
11. Уласцівасць сумежных вуглоў.
12. Уласцівасць вертыкальных вуглоў.
13. Перпендыкулярныя прамыя. Перпендыкуляр да прамой.
14. Тэарэма пра адноўлены перпендыкуляр.
15. Тэарэма пра апуіпчаны перпендыкуляр.
16. Тэарэма пра дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй.
1. Трохвугольнік і яго перыметр.
2. Роўныя трохвугольнікі і ўласцівасць роўных трохвугольнікаў.
3. 1я прымета роўнасці трохвугольнікаў.
4. 2я прымета роўнасці трохвугольнікаў.
5. 3я прымета роўнасці трохвугольнікаў.
База ведаў па главе 2
6. Медыяна, бісектрыса, вышыня трохвугольніка
7. Раўнабедраны трохвугольнік.
8. Уласцівасць вуглоў раўнабедранага трохвугольніка.
9. Уласцівасць бісектрысы раўнабедранага трохвугольніка.
10. Прыметы раўнабедранага трохвугольніка.
11. Роўнастаронні трохвугольнік.
12. Пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка.
ІЗ. Тэарэма пра пасярэдні перпендыкуляр.
14. ГМП.
15. Перасячэнне пасярэдніх перпендыкуляраў да старон трохвугольніка ў адным пункце (1ы адметны пункт).
В. У. Казакоў
ГЕАМЕТРЫЯ
Вучэбны дапаможнік для 7 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання
Дапушчана
Міністэрствам адукацыі Рэспублікі Беларусь
Мінск «Народная асвета» 2017
УДК 514(075.3=161.3)
ББК 22.151я721
K14
Пераклад з рускай мовы К. І.Даніленка
У афармленні вокладкі выкарыстаны фрагмент фрэскі Рафаэля Санці «Афінская школа»
Рэцэнзенты: кафедра метадаў аптымальнага кіравання факультэта прыкладной матэматыкі і інфарматыкі Беларускага дзяржаўнага ўніверсітэта (кандыдат фізікаматэматычных навук дацэнт Л. I. Лаўрыновіч); настаўнік матэматыкі вышэйшай кваліфікацыйнай катэгорыі дзяржаўнай установы адукацыі «Нясвіжская гімназія» П. М. Раманчук
ISBN 9789850328205
© КазакоўВ. У., 2017
© Даніленка К. I., пераклад на беларускую мову,2017
© Афармленне. УП «Народная асвета», 2017
УВОДЗІНЫ
Геаметрыя ўзнікла ў глыбокай старажытнасці і лічыцца адной з першых навук. З’яўленне геаметрычных ведаў звязана з практычнай дзейнасцю людзей. У перакладзе са старажытнагрэчаскай мовы «геаметрыя» абазначае «вымярэнне зямлі». Некаторыя геаметрычныя факты сустракаюцца ўжо ў вавілонскіх клінапісных таблічках і егіпецкіх папірусах (3е тысячагоддзе да н. э.). Старажытныя грэкі надавалі вялікую ўвагу вывучэнню геаметрыі. Імёны такіх вучоных, як Эўклід, Архімед, Піфагор назаўсёды ўвайшлі ў гісторыю чалавечага мыслення. На акадэміі старажытнагрэчаскага філосафа Платона быў выбіты надпіс: «Ды не ўвойдзе сюды той, хто не ведае геаметрыі». Адукаваны чалавек абавязаны быў ведаць геа
Статуя ў гонар Эўкліда ў Музеі натуральнай гісторыі Оксфардскага ўніверсітэта (Англія)
метрыю.
На вокладцы вучэбнага дапаможніка выкарыстаны фрагмент карціны вялікага італьянскага мастака эпохі Адраджэння Рафаэля Санці «Афінская школа» (акадэмія Платона), дзе паказаны Эўклід і яго вучні, якія рашаюць геаметрычную за
дачу.
Сёння, як і ў часы Эўкліда, геаметрыя — запатрабаваная навука. Ва ўніверсітэтах усяго свету вывучаюць начартальную, аналітычную і камп’ютарную геаметрыю. Геаметрыя шырока выкарыстоўваецца ў інжынернай справе, архітэктуры, жывапісе, у вытворчасці і ў практычнай дзейнасці чалавека.
Вывучэнне геаметрыі развівае ўменне чалавека разважаць лагічна, абгрунтоўваць свой пункт гледжання.
А зараз пра тое, што вывучае геаметрыя. Свет вакол нас складаецца з прадметаў, якія характарызуюцца некаторымі ўласцівасцямі: колерам, шчыльнасцю, складам рэчыва і г. д. 3 усіх уласцівасцей матэматыкаў цікавіць толькі форма, памеры і размяшчэнне прадметаў адносна адзін аднаго. Таму прадметы ў геаметрыі называюцца фігурамі, а сама геаметрыя займаецца вывучэннем уласцівасцей гэтых фігур.
4 Уводзіны
Геаметрычныя фігуры — гэта ідэалізаваныя мадэлі навакольных прадметаў. На рысунку вы бачыце будынак Нацыянальнай бібліятэкі, яго геаметрычную мадэль, а далей — разгортку паверхні гэтай фігуры, што складаецца з трохвугольнікаў і квадратаў.
Геаметрычныя фігуры могуць быць плоскімі і характарызавацца, напрыклад, шырынёй і даўжынёй, як прамавугольнік. А могуць быць прасторавымі і характарызавацца яшчэ і вышынёй, як паралелепіпед. Частку прасторы, абмежаваную з усіх бакоў, называюць геаметрычным целам.
Геаметрычныя целы маюць паверхню — гэта мяжа (абалонка) цела. Так, паверхня куба складаецца з шасці квадратаў, паверхняй шара з’яўляецца сфера. Некаторыя паверхні з’яўляюцца плоскімі, як шыба, іншыя — крывымі, як паверхня кубка. Пры перасячэнні дзвюх паверхняў утвараюцца лініі. Вы бачыце гэтыя лініі на кантах куба і піраміды.
Калі шар перасячы плоскасцю, то на яго паверхні атрымаем замкнутую крывую лінію — акружнасць. На глобусе гэта, напрыклад, лінія экватара. Пры перасячэнні дзвюх ліній атрымліваюцца пункты. У куба ці піраміды — гэта вяршыні, дзе сыходзяцца канты.
Уводзіны 5
Геаметрычныя фігуры, такія як пункт, прамая і плоскасць, — гэта ўяўныя, ці так званыя абстрактныя паняцці. Рэальны пункт, адзначаны на паперы, заўсёды мае памеры, няхай і малыя. А вось матэматычны пункт памераў не мае, гэта ўяўны пункт. Матэматычная прамая не мае таўшчыні і бясконцая ў абодва бакі. Плоскасць таксама не мае таўшчыні і бясконцая ва ўсе бакі. Прамая лінія атрымліваецца пры перасячэнні дзвюх плоскасцей. Прамую нельга адлюстраваць на лісце паперы цалкам, а толькі якуюнебудзь яе частку ў выглядзе адрэзка.
Лічыцца, што прамая, плоскасць, любая лінія, паверхня, геаметрычнае цела складаюцца з пунктаў. I наогул, усякую геаметрычную фігуру мы ўяўляем сабе складзенай з пунктаў.
Калі на прамой адзначыць пункт, то ён разаб’е прамую на дзве паўпрамыя (на два прамені). Калі на плоскасці правесці прамую, то яна разаб’е плоскасць на дзве паўплоскасці. Плоскасць, размешчаная ў прасторы, разбівае яе на дзве паўпрасторы.
паўпрамая
паўпрамая
паўплоскасць
паўплоскасць
Для даследавання рэальных аб’ектаў разглядаюць іх матэматычныя мадэлі. Так, мадэллю слупа можа быць адрэзак. Мадэллю бочкі можа быць цыліндр, а мадэллю зямнога шара — геаметрычны шар.
I цяпер некалькі слоў пра тое, як арганізаваны дапаможнік. Матэрыял у ім складаецца з 5 глаў. Кожная глава па
6 Уводзіны
дзелена на параграфы. У параграфе сфармуляваны і даказаны ўласцівасці геаметрычных фігур. У канцы параграфа дадзены заданні, якія ўключаюць у сябе:
а) ключавыя задачы параграфа з рашэннямі;
б) задачы для самастойнага рашэння, дзе знакам (*) адзначаны задачы павышанай цяжкасці.
Іншыя заданні да параграфа прызначаны для раскрыцця творчых здольнасцей навучэнцаў. У гэтых заданнях неабходна перакласці якуюнебудзь праблему на мову матэматыкі і рашыць яе (рубрыка «Мадэляванне»), прымяніць геаметрычныя веды ў практычнай дзейнасці (рубрыка «Рэальная геаметрыя»), азнаёміцца з геаметрычным матэрыялам, які будзе вывучацца пазней (рубрыка «Геаметрыя 3D).
У кожнай главе маюцца заданні для работы з Інтэрнэтам. Прывядзём прыклад такога задання.
Пры дапамозе Інтэрнэту высветліце, ці жылі ў адзін перыяд два вялікія старажытнагрэчаскія вучоныя: Эўклід і Архімед. Чым знакаміты кожны з іх? У якіх гарадах яны жылі і якім краінам належаць гэтыя гарады сёння?
На форзацах у пачатку і ў канцы вучэбнага дапаможніка прыводзіцца вучэбны матэрыял у кароткай форме.
Мы спадзяемся, што навучэнцам будзе цікава вывучаць геаметрыю ў 7м класе, і жадаем поспеху ў спасціжэнні адной з самых прыгожых навук!
Пачатковыя паняцці геаметрыі
У гэтай главе вы даведаецеся:
Чым займаецца геаметрыя.
У чым адрозненне круга ад акружнасці. Якія вуглы называюцца сумежнымі. Якая фігура называецца перпендыкулярам.
8 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
§ 1. Паўтарэнне геаметрычнага ллатэрыялу 5—6га класаў
Вам ужо вядомыя такія геаметрычныя фігуры, як прамая, прамень, адрэзак, акружнасць, вугал, а таксама паралельныя і перпендыкулярныя прамыя. Успомнім раней атрыманыя звесткі пра гэтыя фігуры.
1.1. Прамая, прамень, адрэзак
a —••
А прамая В
b
••
А прамень в
т
А адрэзак В
Рыс. 1
Прамую можна ўявіць як туга нацягнутую нітку, бясконцую ў абодва бакі. Прамая адлюстроўваецца адрэзкам, які можа быць прадоўжаны ў абодва бакі.
Прамень і адрэзак — гэта часткі прамой. Прамень можна ўявіць як прамень ад ліхтарыка, а адрэзак — як аловак. Прамень складаецца з пункта прамой (пачатак праменя) і ўсіх
яе пунктаў, якія ляжаць па адзін бок ад дадзенага пункта. Адрэзак складаецца з двух пунктаў прамой {канцоў адрэзка) і ўсіх яе пунктаў, якія ляжаць паміж двума дадзенымі пунктамі.
На рысунку 1 паказаны прамая АВ (або ВА, або а), прамень АВ (або Ь), адрэзак АВ (або ВА, або т). Пры называнні ці sanice праменя дзвюма літарамі на першым месцы ставіцца па
чатак праменя.
1.2. Вымярэнне адрэзкаў
Для параўнання адрэзкаў іх можна накласці адзін на адзін. Калі адрэзкі супадуць сваімі канцамі, то яны роўныя, калі не — то адрэзак, які ляжыць унутры іншага адрэзка, будзе меншым. На рысунку 2 адрэзак АВ меншы за адрэзак CD, гэта значыць AB < CD. Роўныя адрэзкі на чарцяжы часам абазначаюць роўнай колькасцю рысачак на іх.
КНІГІ ОНЛАЙН
