Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
18*. Дыяметр кола веласіпеда роўны 64 см. Даўжыня акружнасці С знаходзіцца па формуле С = 2nR, дзе л = 3,1415..., R — радыус. Веласіпедыст праехаў на веласіпедзе 100 м. Колькі поўных абаротаў зрабіла кожнае кола веласіпеда? Пры рашэнні выкарыстайце калькулятар.
19*. На адрэзку АВ узяты пункт С, AC6 см. Вядома, што адрэзкі AB і СВ з’яўляюцца дыяметрамі акружнасцей. Знайдзіце адлегласць паміж цэнтрамі гэтых акружнасцей.
Рэальная геаметрыя
На любой шыне ад аўтамабіля ёсць маркіроўка, якая паказвае на яе памеры, напрыклад 195/55 R16 (рыс. 54). Лік 195 азначае шырыню шыны ў мм. У дадзеным выпадку шырыня шыны роўна 195 мм, або 19,5 см.
Другі лік 55 азначае вышыню шыны або вышыню яе профілю, выражаную ў працэнтах ад яе шырыні. У нашым выпадку гэта 55 % ад 195 мм, гэта значыць прыкладна 107 мм, або 10,7 см.
I нарэшце, надпіс R16 абазначае ўнутраны дыяметр шыны, выражаны ў цалях. Паколькі 1 цаля = 2,54 см, то для нашай шыны атрымаем 16 • 2,54 см ~ 40,64 см.
32
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
Рыс. 54
Задача. На шыне Artmotion Spike, вырабленай на «Белшыне», стаіць маркіроўка 185/60 R15. Вызначыце шырыню шыны, вышыню профілю, унутраны дыяметр і прыкладную агульную вышыню кола, гэта значыць яго вонкавы дыяметр у сантыметрах.
Цікава ведаць. Кампанія «Белшына» выпускае шыны для легкавых і грузавых аўтамабіляў. На аўтобусах і тралейбусах Беларусі шыны маюць надпіс BELSHINA. На кар’ерных самазвалах БелАЗ таксама ўстаноўлены шыны гэтай беларускай кампаніі. Вышыня такой шыны дасягае 3 м 75 см. Самазвал БелАЗ серыі 75710 з’яўляецца самым вялікім у свеце і занесены ў кнігу рэкордаў Гінеса.
Геаметрыя 3D
Калі круг вярцець каля свайго дыяметра, атрымаем геаметрычнае цела, якое вы добра ведаеце, — шар (рыс. 55). Ён таксама мае цэнтр, радыус, дыяметр. Паверхня шара называецца сферай. Сфера — гэта абалон
Рыс. 55
ка шара. Адлегласць ад цэнтра шара да любога пункта сферы роўная радыусу шара. Дыяметр шара роўны двум радыусам.
Калі правесці плоскасць, якая перасякае шар, то ў сячэнні атрымаем круг. Калі сечная плоскасць будзе праходзіць праз цэнтр шара, радыус R атрыманага круга будзе роўны радыусу шара.
Задача. Сума адлегласцей ад цэнтра шара да трох пунктаў на
яго паверхні роўна 24 см. Знайдзіце дыяметр шара.
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 33
§ 5. Вугал. Віды вуглоў
Азначэнні. Вугал — гэта геаметрычная фігура, утвораная двума праменямі, якія выходзяць з аднаго пункта, і часткай плоскасці, якую яны абмяжоўваюць.
Два вуглы называюцца роўнымі, калі іх можна сумясціць накладаннем.
Бісектрысай вугла называецца прамень, які выходзіць з вяршыні вугла і дзеліць яго на два роўныя вуглы.
Азначэнне. Разгорнутым называецца вугал, стораны якога з’яўляюцца дадатковымі праменямі.
На рысунку 56 прамень АК — бісектрыса вугла ВАС, ZBAK = ZCAK.
На рысунку 57 вугал ABC — разгорнуты, прамені BA і ВС — дадатковыя. Іншая (незафарбаваная) паўплоскасць адносна прамой AC таксама задае разгорнуты вугал ABC (рыс. 57).
Вуглы вымяраюцца ў градусах, мінутах,
секундах.
Разгорнуты вугал роўны 180°; — частка 180 разгорнутага вугла называецца градусам і абазначаецца 1°; — частка аднаго градуса назы60 , 1
ваецца мінутай і абазначаецца 1 ; — частка мінуты называецца секундай і абазначаецца 1".
Рыс. 56
Разгорнуты. вугал 180°
ABC Рыс. 57
Вугал, роўны 5 градусаў 20 мі
Тэст 1
Знайдзіце суму і рознасць вуглоў a і Р, калі а = 62°50,30", р = 12°20/40".
нут і 35 секунд, запісваецца так: 5°20'35".
Замест «градусная мера вугла роўна 20°» часта гавораць «вугал роўны 20°», замест «знайсці градусную меру вугла» гавораць «знайсці вугал».
А цяпер выканайце Тэст 1.
2.3ак. 212.
34 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
Азначэнне. Вугал, роўны 90°, называецца прамым; вугал, меншы за 90°, — вострым; вугал, большы за 90°, але меншы за 180°, — тупым; вугал, роўны 360°, называецца поўным (яго стораны супадаюць).
На рысунку 58 паслядоўна адлюстраваны: востры вугал, роўны 60°; прамы вугал, роўны 90°; тупы вугал, роўны 120°; вугал, роўны 270°; поўны вугал, роўны 360°.
Градусная мера вугла з’яўляецца яго важнай характарыстыкай. Уласцівасці градуснай меры вугла: любы вугал мае градусную меру, выражаную некаторым дадатным лікам; роўным вуглам адпавядаюць роўныя градусныя меры, а большаму вуглу — большая градусная мера. I наадварот.
Аксіёма вымярэння вуглоў. Калі ўнутры вугла з яго вяршыні правесці прамень, то ён разаб’е дадзены вугал на два вуглы, сума градусных мер якіх роўная градуснай меры дадзенага вугла.
Аксіёма адкладвання вуглоў. Ад любога праменя ў дадзеную паўплоскасць можна адкласці вугал дадзенай градуснай меры, і прытым толькі адзін.
На рысунку 59 прамень AD праходзіць унутры вугла ВАС. Па аксіёме вымярэння вуглоў ABAD + ACAD = ABAC. Напрыклад, калі з вяршыні разгорнутага вуглаАОВ (рыс. 60) правесці прамень ОС, які складзе са стараной ОВ
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
35
вугал 50°, то са стараной ОА прамень ОС складзе 180° 50° = 130°.
Два прамені з агульным пачаткам задаюць на плоскасці два вуглы. У далейшым будзем разглядаць меншы з гэтых двух вуглоў (калі яны неразгорнутыя). Такі вугал меншы за 180°.
А цяпер выканайце Тэст 2.
Рыс. 60
Тэст 2
Колькі вострых, тупых, прамых і разгорнутых вуглоў можна налічыць на рысунку?
Заданні да § 5
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. Унутры вугла ВАС, роўнага 114°, з яго еяршыні праведзены прамень АЕ. Вугал ВАЕ ў 2 разы большы за вугал ЕАС. Знайсці велічыню вугла ВАЕ.
Рашэнне. Няхай ZEAC = x. Тады ZBAE = = 2х (рыс. 61). Па аксіёме вымярэння вуглоў ZBAE + ZEAC = ZBAC. Тады х + 2х=114°, Зх = 114°, х^ = 38°, ZBAE = 2 • 38° = 76°. Адказ: 76°.
Заўвагі. 1. Магчымы іншы спосаб запісу рашэння, калі побач з літарай х пішуць знак градуса: ZMAC = х°, ZBAM = 2х°. Тады ва ўраўненні знак градуса пісаць не трэба: х + 2х = 114.
2. У далейшым пры рашэнні задач мы не будзем спасылацца на аксіёму вымярэння вуглоў.
Задача 2. Унутры вугла праведзены прамені BD і BF (рыс. 62). Знайсці велічыню вугла DBF, калі: a) ZABC = 109°, ZABF = 95°, ZCBD = 54°; б) ZABC = ex, ZABF = £, ZCBD = у.
36 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
A D Рашэнне. a)AFBC = ААВС AABF = 109°95° =
/ = 14°, ADBF = ACBDAFBC = 64°14° = 40°.
F б) Калі скласці вуглы ABF і CBD, то атрымаем В С вугал ABC плюс вугал DBF. Адсюль ADBF =
Рыс. 62 = AABF + ACBD ZABC = р + у а.
Адказ: а) 40°; б) Р + уа.
в к
D Задача 3*. Прамень AD дзеліць вугал ВАС на а два вуглы BAD і CAD. Даказаць, што вугал па
між бісектрысамі АК і АЕ вуглоў BAD і CAD < ₽ роўны палове вугла ВАС (рыс. 63/
А Рыс 63 ° Доказ Паколькі АК і АЕ — бісектрысы, то
ZBAK = ADAK = a і ZCAE = ZDAE = ^. Тады
ZBAC = 2а + 2р = 2(а + р), ZKAE = а + ft. Такім чынам, ZKAE = = ^АВАС. Што і трэба было даказаць.
Заўвага. У дадзенай задачы мы даказалі ўласцівасць: «Калі ўнутры вугла з яго вяршыні правесці прамень, то вугал паміж бісектры.самі атрыманых вуглоў роўны палове дадзенага вугла».
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
20. На рысунку 64 адлюстраваны вуглы, роўныя 50°, 80°, 90°, 120°, 180°. Назавіце гэтыя вуглы.
Рыс. 64
21. Дадзены вуглы: 1°, 80°52', 100°, 90°, 45°, 99°, 179°, 89°, 180°. Вызначыце, колькі сярод іх: а) вострых вуглоў; б) тупых вуглоў.
22. Вядома, што ABAC = 68°, AM — бісектрыса вугла ВАС, АК — бісектрыса вугла MAC. Знайдзіце градусную меру вугла ВАК.
23. Унутры прамога вугла KMN праведзены прамені МА і MB, АКМВ = 72°, AAMN = 48°. Знайдзіце ААМВ.
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 37
24. На рысунку 65 роўныя вуглы абазначаны дугамі, квадрацікам — прамы вугал. Знайдзіце вугал, абазначаны пытальнікам.
а) б) в) г)
Рыс. 65
25. Вугал ВАС роўны 130°. Прамень АК праходзіць ўнутры вугла ВАС так, што вугал ВАК на 30° меншы за^угал САК. Знайдзіце вугал ВАК.
26. Вугал NAK роўны 48°. Прамень АВ дзеліць вугал NAK на два вуглы, прычым ANAB : АКАВ = 3 : 5. Знайдзіце вугал паміж бісектрысай вугла КАВ і праменем AN.
27. 3 пункта С, узятага на прамой АВ, у адну паўплоскасць праведзены прамені CD і СЕ так, што ZACE = 156°, a ZDCB — прамы. Знайдзіце вугал DCE.
28*. Вызначыце, які вугал утвараюць гадзіннікавая і мінутная стрэлкі ў 10 г 10 мін (рыс. 66).
29*. Унутры вугла АОВ размешчаны вугал COD (рыс. 67). Знайдзіце вугал паміж бісектрысамі OK і ОМ вуглоў АОС і BOD, калі: a) ААОВ= 160°, ZCOB = 40°; б) ААОВ = a, ACOD = р.
Рыс. 66
Рыс. 67
38 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
Пры дапамозе Інтэрнэту высветліце, як перакладаецца слова «градус» і што яшчэ, акрамя вуглоў, вымяраюць у градусах.
Мадэляванне
Сектар для кідання молата складаецца з круглай пляцоўкі, абнесенай металічнай сеткай, у якой ёсць свабодны ад сеткі сектар, праз які вылятае спартыўная прылада (рыс. 68). Цэнтральны вугал гэтага сектара складае 12,5 % ад поўнага вугла. Знайдзіце вугал АОВ.
Рыс. 68
Цікава ведаць. Двухразовы чэмпіён свету беларускі кідальнік молата Іван Ціхан выйграў сярэбраны медаль на алімпійскіх гульнях у РыадэЖанэйра ў 2016 г.
Геаметрыя 3D
У прасторы пры перасячэнні дзвюх плоскасцей утвараюцца двухгранныя вуглы. Дзве паўплоскасці з агульнай мяжой з’яўляюцца гранямі такога двухграннага вугла, а іх мяжа — яго кантам. Вымяра
ецца двухгранны вугал велічынёй лінейнага вугла, утворанага двума
праменямі, праведзенымі ў кожнай з паўплоскасцей з пункта на канце двухграннага вугла перпендыкулярна гэтаму канту. На рысунку 69 Z.ABC — лінейны вугал адлюстраванага двухграннага вугла.
Задача. Знайдзіце велічыню двухграннага вугла, калі яго лінейны вугал складае 70 % прамога вугла.
Рыс. 69
Рэальная геаметрыя
Майстру неабходна змераць вуглы паміж сценамі ў студыі пры дапамозе электроннага вугламера. Студыя мае форму пяцівугольніка. У майстра пасля вымярэння атрымаліся вуглы, роўныя 90°, 135°, 108°, 117°, 90°.
Перанясіце план студыі, адлюстраваны на рысунку, у сшытак і вызначыце пры дапамозе транспарціра ўсе вуглы паміж суседнімі сценамі
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
39
студыі. Запішыце, чаму роўныя вуглы A, В, С, D і Е. Высветліце, ці не памыліўся майстар пры вымярэннях, калі вядома, што сума вуглоў любога пяцівугольніка роўна 540°.
§ 6. Сумежныя вуглы. Вертыкальныя вуглы
Азначэнне. Два вуглы называюцца сумежнымі, калі ў іх адна старана агульная, а дзве іншыя з’яўляюцца дадатковымі праменямі.
КНІГІ ОНЛАЙН
