Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
ныя па трох старанах (старана BD — агульная, AB = CD і AD = CB па ўмове). 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што AABD = ACDB. Тады /\BOD — раўнабедраны (па прымеце раўнабедранага трохвугольніка), адкуль BO = DO.
109. Дадзены адрэзак АВ. Па адзін бок ад прамой АВ узяты пункты М і К такія, што AM = ВК, АК = ВМ. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў АМВ і ВКА.
110. Дакажыце, што калі ў акружнасці з цэнтрам О правесці дзве роўныя хорды МК і NE, то вуглы MOK і NOE будуць роўныя. Сфармулюйце і дакажыце адваротнае сцверджанне.
111. У чатырохвугольніка ABCD AB = CD, ВС = =AD, ABAD + ABCD =168°. Знайдзіце ABCD.
112. На рысунку 150 BKBM, КЕ = МЕ. Дака * жыце, што АВВС.
113. Дадзена акружнасць з цэнтрам у пункце О, AB і ВС — дзве роўныя хорды акружнасці. /£ \ Пункты Е і F — сярэдзіны дадзеных хорд, A <
ОЕ = 6 дм, EF = 5 дм. Знайдзіце перыметр Рыс. 150 трохвугольніка EOF.
114. Дакажыце, што калі ў трохвугольнікаў ABC і АХВХСХ AB =AlB1, ВС = В1С1 і медыяна AM роўная медыяне А^М^ то такія трохвугольнікі роўныя паміж сабой.
115. Трохвугольнікі ABC 1А1В1С1 — раўнабедраныя з агульнай асновай АВ, дзе пункты С і Сг ляжаць па розныя бакі ад прамой AB і AC фАСх. Дакажыце, што ССХ ААВ.
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 79
116*. Папяровы квадрат ABCD склалі па дыяганалі AC. Растлумачце, чаму пры гэтым супадуць вяршыні BID.
117*. Трохвугольнікі АОС і DOB роўныя і 4___________Р АО^ОВ (рыс. 151). Пункт М — сярэ
дзіна адрэзка ВС. Дакажыце, што трох \ /
вугольнік AMD— раўнабедраны. с м в
118*. Ці абавязкова роўныя два чатырохву Рыс. 151 гольнікі, калі стораны аднаго адпаведна роўныя старанам іншага? Сфармулюйце якуюнебудзь прымету роўнасці чатырохвугольнікаў.
§ 14. Пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка
Азначэнне. Пасярэднім перпендыкулярам да адрэзка называецца прамая, якая з’яўляецца перпендыкулярнай гэтаму адрэзку і праходзіць праз яго caps дзіну.
с
X D
пасярэдні
Прамая CD — пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка АВ, гэта значыць CD ААВ і АМ = МВ (рыс. 152).
тіерпендыкуляр
Рыс. 152
т
Тэарэма (пра пасярэдні перпендыкуляр).
Любы пункт пасярэдняга перпендыкуляра да адрэзка роўнааддалены ад канцоў гэтага адрэзка. Калі пункт роўнааддалены ад канцоў адрэзка, то ён ляжыць на пасярэднім перпендыкуляры да гэтага адрэзка.
У дадзенай тэарэме два сцверджанні: прамое і яму адваротнае. Дакажам кожнае з гэтых сцверджанняў асобна.
1) Дадзена: т — пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка AB, К & т (рыс. 153).
Даказаць: КА = КВ.
Рыс. 153
80 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
<т
।
Рыс. 154
Доказ. Па азначэнні пасярэдняга перпендыкуляра KM 1AB, AMMB. Тады ў трохвугольніку АКВ вышыня КМ з’яўляецца медыянай. Па прымеце раўнабедранага трохвугольніка ААКВ — раўнабедраны, таму КА = КВ.
2 ) Дадзена: КАКВ (рыс. 154).
Даказаць: К& т, дзе т — пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка АВ.
Доказ. Правядзём у раўнабедраным ААКВ вышыню КМ, якая па ўласцівасці раўнабедранага трохвугольніка будзе і медыянай. Атрымаем КМ ±АВ, АМ = МВ. Прамая т, што праходзіць
праз вышыню КМ, — пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка АВ. Тэарэма даказана.
Геаметрычным месцам пунктаў плоскасці (або прасторы) называецца мноства ўсіх пунктаў плоскасці (або прасторы), якія валодаюць агульнай уласцівасцю.
3 даказанай тэарэмы вынікае, што пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка — гэта геаметрычнае месца пунктаў плоскасці, роўнааддаленых ад канцоў адрэзка.
Заданні да § 14
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. У чатырохвугольніку ABCD AB = ВС, AD = DC
(рыс. 155). Даказаць, што AC VBD.
Рыс. 155
Доказ. 1ы спосаб. 3 роўнасці трохвугольнікаў ABD і CBD па трох старанах вынікае, што AABD = ACBD. У раўнабедраным трохвугольніку ABC бісектрыса ВМ з’яўляецца і вышынёй. Таму AC ± BD.
2і спосаб. Пункты BID роўнааддалены ад канцоў адрэзка AC, таму яны ляжаць на пасярэднім перпендыкуляры да адрэзка AC. Паколькі праз два пункты праходзіць адзіная прамая,
to BD — пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка AC. Адсюль
AC1BD іАМ = МС.
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
81
Задача 2 (1ы адметны пункт трохвугольніка). Даказаць, што
пасярэднія перпендыкуляры да старон трохвугольніка пера
сякаюцца ў адным пункце.
Доказ. Няхай два пасярэднія перпендыкуляры да старон AC і AJ3 перасякаюцца ў пункце О (рыс. 156). Пункт 0 ляжыць на пасярэднім перпендыкуляры ОМ, таму ОА = ОС. Пункт 0 ляжыць на пасярэднім перпендыкуляры ОК, таму ОА = ОВ. Адсюль ОВ = ОС. Паколькі пункт О роўнааддалены ад канцоў
Рыс 156 адрэзка ВС, то ён ляжыць на пасярэднім перпендыкуляры да адрэзка ВС. Такім чынам, трэці пасярэдні перпендыкуляр пройдзе праз пункт О, і ўсе тры пасярэднія перпендыкуляры да старон трохвугольніка
перасякуцца ў адным пункце.
Заўвагі. 1. Калі ножку цыркуля паставіць у пункт О і пабудаваць акружнасць радыусам ОА, то яна пройдзе праз усе вяршыні трохвугольніка з прычыны таго, што ОА = ОВ = ОС. Такая акружнасць называецца апісанай каля трохвугольніка. У дадзенай задачы мы даказалі, што цэнтр акружнасці, апісанай каля трохвугольніка, ляжыць у пункце перасячэння пасярэдніх перпендыкуляраў да яго старон.
2. Пункт перасячэння пасярэдніх перпендыкуляраў да старон трохвугольніка — гэта яшчэ адзін адметны пункт трохвугольніка, акрамя ўжо вядомых вам пунктаў перасячэння бісектрыс, медыян, вышынь.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
119. Пункт М ляжыць на пасярэднім перпендыкуляры да адрэзка AB, AM + MB =15 м. Знайдзіце даўжыню адрэзка МА.
120. Прамая а перпендыкулярная адрэзку АВ і праходзіць праз яго сярэдзіну К. Пункт М належыць прамой а, ZAMB = 84°. Знайдзіце АВМК.
121. Пасярэдні перпендыкуляр да стараны AC трохвугольніка ABC перасякае старану ВС у пункце К. Знайдзіце перы• ’ метр трохвугольніка АВК, калі АВ = 5 см, ВС = 7 см.
4.3ак. 212.
82
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
122. Пункты М 1 К ляжаць на пасярэднім перпендыкуляры да адрэзка АВ па розныя бакі ад прамой AB, МА16 см, КВ = 12 см. Знайдзіце перыметр чатырохвугольніка АМВК.
123. Дакажыце, што пасярэдні перпендыкуляр да хорды акружнасці праходзіць праз цэнтр акружнасці.
124. Пасярэднія перпендыкуляры KL і MN да бакавых старон ВС і АВ раўнабедранага трохвугольніка ABC перасякаюцца ў пункце О (рыс. 157). Дакажыце, што: a) MN = KL; б) МО = КО.
Рыс. 157
125. Дзве акружнасці рознага радыуса з цэнтрамі ў пунктах Ох і О2 перасякаюцца ў пунктах A і В. Дакажыце, што лінія цэнтраў ОХО2 перпендыкулярная агульнай хордзе АВ гэтых акружнасцей.
126*. Знайдзіце геаметрычнае месца вяршынь раўнабедраных трохвугольнікаў з дадзенай асновай.
127*. Па адзін бок ад прамой а размешчаны пункты A 1 В. На прамой а знайдзіце пункт М такі, каб адлегласці ад пункта М да пунктаў A і В былі роўныя.
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
Ведаем
1. Прыметы раўнабедранага трохвугольніка.
2. Тэарэму пра пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка.
3. Адметныя пункты трохвугольніка.
Умеем
1. Даказваць тэарэму: «Калі ў трохвугольніку вышыня з’яўляецца медыянай, то трохвугольнік раўнабедраны».
2. Даказваць тэарэму: «Калі ў трохвугольніку вышыня з’яўляецца бісектрысай, то трохвугольнік раўнабедраны».
3*.Даказваць тэарэму: «Калі ў трохвугольніку медыяна з’яўляецца бісектрысай, то трохвугольнік раўнабедраны».
4*.Даказваць тэарэму пра пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка.
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 83
Геаметрыя 3D
Са шчыльнай паперы зрабіце разгортку:
а) трохвугольнай піраміды, у аснове якой ляжыць роўнастаронні трохвугольнік са стараной 10 см, а ўсе бакавыя грані — раўнабедраныя трохвугольнікі з бакавой стараной, роўнай 13 см (рыс. 158, а);
б) чатырохвугольнай піраміды, у аснове якой квадрат са стараной 12 см, а ўсе бакавыя грані — раўнабедраныя трохвугольнікі з бакавой стараной, роўнай 9 см (рыс. 158, б).
Склейце піраміды па дадзеных разгортках, злучыўшы разам вяршыні раўнабедраных трохвугольнікаў.
Мадэляванне
Маша вучыцца ў будаўнічым каледжы. На практычных занятках ёй даручылі прасвідраваць адтуліну ў цэнтры металічнага круга. Каб знайсці цэнтр круга, дзяўчына начарціла хорду, затым пры дапамозе рулеткі адзначыла яе сярэдзіну і, выкарыстоўваючы вугольнік, пабудавала перпендыкуляр да гэтай хорды з асновай у сярэдзіне хорды (рыс. 159). Дапамажыце дзяўчыне працягнуць дзеянні і знайсці цэнтр круга.
Складзіце матэматычную мадэль задання, якая тлумачыць дзеянні Машы і даказвае правільнасць выбранага алгарытму.
Рыс. 159
ЗАПАМІНАЕМ
1. Тры прыметы роўнасці трохвугольнікаў:
1) Па дзвюх старанах і вугле паміж імі.
2) Па старане і двух прылеглых да яе вуглах.
3) Па трох старанах.
2. Вуглы пры аснове раўнабедранага трохвугольніка роўныя.
3. Бісектрыса раўнабедранага трохвугольніка, праведзеная з вяршыні да асновы, з’яўляецца яго вышынёй і медыянай.
84 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
4. Калі два вуглы трохвугольніка роўныя, то трохвугольнік раўнабедраны (прымета раўнабедранага трохвугольніка).
5. Калі вышыня трохвугольніка з’яўляецца яго медыянай ці бісектрысай або медыяна з’яўляецца яго бісектрысай, то трохвугольнік раўнабедраны (прыметы раўнабедранага трохвугольніка).
6. Любы пункт пасярэдняга перпендыкуляра да адрэзка роўнааддалены ад канцоў гэтага адрэзка. Калі пункт роўнааддалены ад канцоў адрэзка, то ён ляжыць на пасярэднім перпендыкуляры да гэтага адрэзка.
7. Усе тры пасярэднія перпендыкуляры да старон трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце (1ы адметны пункт трохвугольніка).
Правяраем сябе
Тэст 1
Тэст 2
Па рысунку дакажыце, што: a)AC = BD,AD = BC, б) ACAD = ZDBC.
Тэст 3
Вядома, што ZAZC, АМ = СК, BD.LAC.
Дакажыце, што: а) ЛАВМ = ЛСВК; б) &MBD = /\KBD.
Па рысунку дакажыце, што:
a) AC 1BD,
б) BO = OD.
В
Дадатковыя матэрыялы да главы можна знайсці на сайце: http://evedy.adu.by, курс «Матэматыка» — «Матэматыка. 7 клас», модуль «Прыметы роўнасці трохвугольнікаў».
Паралельнасць прамых на плоскасці
У гэтай главе вы даведаецеся:
Якія прыметы і ўласцівасці паралельных прамых.
У чым заключаецца аксіёма паралельных прамых.
Хто такі М. I. Лабачэўскі.
86 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
§15.
Прыметы паралельнасці прамых
15.1. Дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй
Паралельнасць прамых — адно з асноўных паняццяў геаметрыі. Паралельнасць часта сустракаецца ў жыцці. Паглядзеўшы навокал, можна пераканацца, што мы жывём у свеце паралельных ліній. Гэта краі парты, слупы наўсцяж дарогі, палоскі «зебры» на пешаходным пераходзе.
КНІГІ ОНЛАЙН
