Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
Азначэнне. Дзве прамыя называюцца паралельнымі, калі яны ляжаць у адной плоскасці і не перасякаюцца.
м
а~~л—^
А В
Рыс. 160
Рыс. 161
Рыс. 162
Прамені і адрэзкі называюцца паралельнымі, калі яны ляжаць на паралельных прамых. Калі прамыя a і b паралельныя, гэта значыць а \\Ь (рыс. 160), то паралельныя адрэзкі AB і МК, адрэзак МК і прамая а, прамені AB і КМ.
Вы ўжо ведаеце тэарэму пра паралельныя прамыя на плоскасці: «Дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой». Іншымі словамі, калі al.c, bLc, to a || b (рыс. 161). Дадзеная тэарэма дазваляе вырашыць дзве важныя практычныя задачы.
Першая задача заключаецца ў правядзенні некалькіх паралельных прамых.
Няхай дадзена прамая а (рыс. 162). Пры дапамозе чарцёжнага трохвугольніка будуюць прамую Ь, перпендыкулярную прамой а. Затым ссоўваюць трохвугольнік уздоўж прамой a і будуюць іншую перпендыкулярную прамую с,
затым — трэцюю прамую d і г. д. Паколькі прамыя Ь, с, d перпендыкулярныя адной прамой а, то з вышэйназванай тэарэмы вынікае, што b \\ с, с || d, b || d.
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 87
К'
Рыс. 163 а
Другая задача — правядзенне прамой, якая паралельная дадзенай і праходзіць праз пункт, што не ляжыць на дадзенай прамой.
Па рысунку 163 растлумачце працэс правядзення прамой с, якая паралельная прамой а і праходзіць праз пункт К.
3 пабудовы вынікае: паколькі a ± b і с ± d, то а || с. Рашэнне другой задачы даказвае тэарэму пра існаванне прамой, паралельнай дадзенай, якая сцвярджае:
Праз пункт, што не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці прамую, паралельную дадзенай.
15.2. Накрыжлеглыя, адпаведныя і аднастароннія вуглы
Пры перасячэнні дзвюх прамых a і b трэцяй прамой с, якая называецца сякучай, утвараецца 8 вуглоў (рыс. 164).
Некаторыя пары гэтых вуглоў маюць спецыяльныя назвы: Z3 і Z5, Z4 і Z6 — унутраныя накрыжлеглыя вуглы; Z2 і Z8, Z1 і Z7 — знешнія накрыжлеглыя вуглы; Z2 і Z6, Z3 і Z7, Z1 і Z5, Z4 і Z8 — адпаведныя вуглы; Z3 і Z6, Z4 і Z5 — унутраныя аднастароннія вуглы; Z2 і Z7, Z1 і Z8 — знешнія аднастароннія вуглы.
На рысунку 165 адзначаны вуглы 1 і 2. Яны з’яўляюцца ўнутранымі накрыжлеглымі вугламі пры прамых ВС і AD і сякучай BD. У гэтым лёгка пераканацца, прадоўжыўшы адрэзкі ВС, AD і BD. Адкажыце: якімі па ўзаемным размяшчэнні з’яўляюцца ЛАВС і ZBAD адносна прамых ВС і AD і сякучай АВ?
88 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
А цяпер выканайце Тэст 1.
Тэст 1
Сярод вуглоў 1, 2, 3 і 4 назавіце накрыжлеглыя, адпаведныя і аднастароннія вуглы.
15.3. Прыметы паралельнасці прамых
3 названымі парамі вуглоў злучаны наступныя прыметы паралельнасці прамых.
Тэарэма (першая прымета паралельнасці прамых).
Калі пры перасячэнні дзвюх прамых сякучай унутраныя накрыжлеглыя вуглы роўныя, то прамыя паралельныя.
Рыс. 166
Дадзена: a і b — дадзеныя прамыя, АВ — сякучая, Z1=Z2 (рыс. 166).
Даказаць: а || Ь.
Доказ. 3 сярэдзіны М адрэзка АВ апусцім перпендыкуляр МК на прамую b і прадоўжым яго да перасячэння з прамой а ў пункце N. Трохвугольнікі ВКМ і ANM роўныя па ста
ране і двух прылеглых да яе вуглах (АМ = МВ, Z1 = Z2 па
ўмове, ZBMK = ZAMN як вертыкальныя). 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што ZANM = ZBKM = 90°. Тады прамыя a і b перпендыкулярныя прамой NK. А паколькі дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой, то а || b.
Тэарэма даказана.
Тэарэма (другая прымета паралельнасці прамых).
Калі пры перасячэнні дзвюх прамых сякучай адпаведныя вуглы роўныя, то прамыя паралельныя.
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 89
Дадзена: Z1 = Z2 (рыс. 167).
3; Даказаць: а || Ь.
Доказ. Вуглы 1 і 3 роўныя як вертыкальныя. ь >2 А паколькі вуглы 1 і 2 роўныя па ўмове, то
вуглы 2 і 3 роўныя паміж сабой. Але вуглы 2 Рыс. 167 . о
13 — унутраныя накрыжлеглыя пры прамых a і & і сякучай с. А мы ведаем, што калі ўнутраныя накрыжлеглыя вуглы роўныя, то прамыя паралельныя. Значыць, а || Ь. Тэарэма даказана.
Тэарэма (трэцяя прымета паралельнасці прамых). Калі пры перасячэнні дзвюх прамых сякучай сума ўнутраных аднастаронніх вуглоў роўна 180°, то прамыя паралельныя.
с Дадзена: Zl + Z2 = 180° (рыс. 168).
а Даказаць: а || Ь.
1 Доказ. Вуглы 1 і 3 — сумежныя, таму іх сума ь лі роўна 180°. А паколькі сума вуглоў 1 і 2 роў
Рыс 168 На 1$0° па Ўмове’ то вуглы 2 і 3 роўныя паміж сабой. Але вуглы 2 і 3 — унутраныя накрыжлеглыя пры прамых а і & і сякучай с. А мы ведаем, што калі ўнутраныя накрыжлеглыя вуглы роўныя, то прамыя паралельныя. Значыць, а || Ь. Тэарэма даказана.
Сфармулюйце і дакажыце аналагічныя прыметы для знешніх накрыжлеглых і знешніх аднастаронніх вуглоў.
А цяпер выканайце Тэст 2.
Тэст 2
Колькі градусаў павінен складаць вугал а, каб прамыя a і b былі паралельныя?
90 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
Заданні да § 15
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. Даказаць, што калі адрэзкі AD і ВС перасякаюцца і пунктам перасячэння дзеляцца папалам, то прамыя AB і CD паралельныя.
с Доказ. Няхай О — пункт перасячэння адz/ Q х рэзкаў AD і ВС (рыс. 169). Трохвугольнікі
( 1 АОВ і DOC роўныя па дзвюх старанах і вуг
ле паміж імі (ZAOB = ZDOC як вертыкальВ Рыс. 169 D ныя, BO = ОС, AO = OD па ўмове). 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што ZBAO = ZCDO. Паколькі гэтыя вуглы — накрыжлеглыя пры прамых АВ і CD і сякучай ВС, to AB || CD па прымеце паралельнасці
прамых.
Задача 2. На бісектрысе вугла ВАС узяты пункт К, а на старане AC — пункт D, ZBAK = 26°, ZADK = 128°. Даказаць, што адрэзак KD паралельны праменю АВ.
С Доказ. Паколькі АйГ — бісектрыса вугла ВАС к (рыс. 170), to ZBAC = 2 АВАК=22Ь° = Ь2°.
12^ Вуглы ADK і ВАС — унутраныя аднастароннія пры прамых KD і ВА і сякучай AC. А паколь_ _WA КІ ZABK + ZBAC= 128°+ 52° = 180°, toKD\\AB BA
Рыс. 170 па прымеце паралельнасці прамых.
Задача 3. Бісектры.са ВС вугла ABD адсякае на прамой а адрэзак AC, роўны. адрэзку АВ. Даказаць, што прамыя a і b паралельныя (рыс. 171).
, Доказ. Паколькі ВС — бісектрыса вугла ABD,
і / 1 з Z^ то Zl = Z2. Паколькі ABAC раўнабедраны / (АВ=АС па ўмове), to Z1 = Z3 як вуглы пры
Ж2 аснове раўнабедранага трохвугольніка. Тады
’ в' D Z2 = Z3. Але вуглы 2 і 3 з’яўляюцца накрыжРыс. 171 леглымі пры прамых а і & і сякучай ВС. А калі накрыжлеглыя вуглы роўныя, то прамыя паралельныя. Такім чынам, а || Ь.
Гпава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 91
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
128. Сярод вуглоў 1, 2, 3, 4 і 5 вызначыце накрыжлеглыя, адпаведныя і аднастароннія вуглы (рыс. 172).
129. Высветліце, якія з паказаных прамых паралельныя і чаму (рыс. 173—175).
130. У чатырохвугольніку ABCD AB = CD, AABD = ACDB. Дакажыце, што ВС IIAD.
131. Дакажыце, што а\\Ь, калі: a) Z1 = 87°, Z2 = 93°; б) Z1 = = 116°, Z2 = 64°; в) Zl + Z2 = 180° (рыс. 176—178).
132. Бісектрыса CM трохвугольніка ABC дзеліць старану АВ папалам, ABAC = 73°, ADKC = 107° (рыс. 179). Дакажыце, што ED || АВ.
133. У трохвугольніку ABC праведзена бісектрыса AM, да якой праведзены пасярэдні перпендыкуляр, што перасякае прамую АВ у пункце Е. Дакажыце, што ЕМ || AC.
134. 3 пунктаў A і В прамой а ў адну паўплоскасць праведзены прамені АК і ВМ так, што вугал КАВ складае 20 % вугла MBA, а вугал MBA складае — разгорнутага вугла.
6
Ці перасякаюцца прамыя АК і ВМ?
92 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
135. На рысунку 180 АК — бісектрыса вугла ВАС. Дакажыце, што DK || AC, калі: a) ABDK=M°, АКАС = 27°, б) ABDK = = 2АКАС.
136*. Дакажыце, што прамыя AB і CD, размешчаныя на каардынатнай плоскасці, паралельныя, калі А(6; 0), В(0; 4), С(6; 0), Р(0; 4).
137*. Паралелаграмам называецца чатырохвугольнік, у якога процілеглыя стораны паралельныя. Дакажыце, што калі ў чатырохвугольніку процілеглыя стораны роўныя, то гэты чатырохвугольнік — паралелаграм (рыс. 181).
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
Рыс. 180
Рыс. 181
Ведаем
1. Азначэнне паралельных прамых.
2. Тэарэму пра дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй.
3. Назвы некаторых пар вуглоў, якія ўтвараюцца пры перасячэнні дзвюх прамых сякучай.
4. Прыметы паралельнасці прамых.
Умеем
1. Праводзіць пры дапамозе чарцёжнага трохвугольніка паралельныя прамыя.
2. Праводзіць пры дапамозе чарцёжнага трохвугольніка прамую, якая паралельная дадзенай прамой і праходзіць праз пункт, што не ляжыць на дадзенай прамой.
3. Вызначаць на рысунку пары накрыжлеглых, адпаведных і аднастаронніх вуглоў.
4. Даказваць прыметы паралельнасці прамых.
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 93
Геаметрыя 3D
1. У куба адрэзалі вугал (рыс. 182). Колькі ўсяго вяршынь, кантаў і граней у атрыманага шматгранніка? Калі В — колькасць вяршынь, Г — колькасць граней, Р — колькасць кантаў, то чаму будзе роўны лік В + Г Р? Знакамітая формула вялікага матэматыка Леанарда Эйлера (XVII ст.) сцвярджае, што для любога шматгранніка В + Г Р = 2. Праверце гэту формулу для паралелепіпеда,
Рыс. 182
для трохвугольнай і чатырохвугольнай пірамід.
2. Вызначыце, колькі ў адлюстраванага шматгранніка пар паралельных кантаў, дзе кожная пара паралельных кантаў належыць якойнебудзь адной грані.
3*. Нарысуйце разгортку гэтага шматгранніка.
Мадэляванне
Каманда «Дзесяць градусаў лева руля» на караблі азначае паварот судна на 10° улева ад курсу.
а) Якую каманду павінен даць камандзір карабля «Б» (рыс. 183) рулявому, каб караблі «А» і «Б» ішлі паралельнымі курсамі?
б) Калі камандзір карабля «А» дасць каманду «пяць градусаў лева руля», то якую каманду пасля гэтага павінен даць камандзір карабля «Б», каб караблі ішлі паралельнымі курсамі?
Рыс. 183
Рэальная геаметрыя
На рысунку 184 адлюстраваны электронны вугламер — прылада для нанясення паралельных ліній на рэйцы ці дошцы. Прыбор складаецца з дзвюх частак, змацаваных шрубай. Адна частка нерухомая, яна прыціскаецца да дошкі, а іншая паварочваецца на неабходны вугал, градусная мера якога адлюстроўваецца на экране вугламера. Заціснуўшы шрубу, замацоўваюць патрэбны вугал. Ссунуўшы нерухомую частку вугламера ўздоўж дошкі, наносяць новую лінію разметкі. Так атрымліваюць паралельныя лініі, па якіх затым распілоўва
юць дошку.
Растлумачце, згодна з якой тэарэмай лініі, што атрымліваюцца, будуць паралельнымі.
94 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
КНІГІ ОНЛАЙН
