Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
53. 3 дроту зроблены раўнабедраны трохвугольнік з бакавой стараной, роўнай 14 дм, і асновай, роўнай 8 дм. Дрот разагнулі і зрабілі з яго роўнастаронні трохвугольнік. Знайдзіце даўжыні старон гэтага трохвугольніка.
54. На рысунку 107 чатырохвугольнік ABCD з’яўляецца аб’яднаннем раўнабедранага трохвугольніка ABD і роўнастаронняга трохвугольніка BCD. Унутры трохвугольнікаў запісаны іх перыметры. Знайдзіце для кожнага выпадку перыметр чатырохвугольніка ABCD.
55. Перыметр раўнабедранага трохвугольніка роўны 40 см, аснова трохвугольніка ў 2 разы меншая за бакавую старану. Знайдзіце аснову трохвугольніка.
56. Бакавая старана раўнабедранага трохвугольніка на 4 см большая за яго аснову. Перыметр трохвугольніка роўны 56 см. Знайдзіце бакавую старану трохвугольніка.
56 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
57. Перыметр трохвугольніка роўны 90 см. Адна са старон трохвугольніка на 2 см меншая за другую старану і ў 2 разы меншая за трэцюю. Знайдзіце стораны трохвугольніка.
58. На старане AD квадрата ABCD пабудаваны роўнастаронні трохвугольнік ADK, дзе пункт К ляжыць унутры квадрата. Знайдзіце адносіну перыметра квадрата да перыметра многавугольніка ABCDK.
59. Перыметр трохвугольнага ўчастка роўны 36 м. Стораны ўчастка адносяцца як 2 : 3 : 4. Знайдзіце даўжыню кожнай стараны ўчастка.
60. Дадзены роўнастаронні трохвугольнік ABC. На старане АВ адзначана яго сярэдзіна М. На адрэзку MB адзначана яго сярэдзіна К. Знайдзіце перыметр трохвугольніка ABC, калі МК = 12 см.
61. У прамавугольнай сістэме каардынат адзначаны пункты А(4; 4), В(4; 0), С(3; 0), пункт 0(0; 0) — пачатак каардынат. Класіфікуйце трохвугольнікі ABO, АОС і ABC адносна старон і адносна вуглоў.
62*. Дакажыце, што калі кожную старану трохвугольніка павялічыць у 3 разы, то і яго перыметр павялічыцца таксама ў 3 разы, а калі павялічыць у k разоў, то і перыметр павялічыцца ў k разоў.
§ 9. Першая і другая прыметы роўнасці трохвугольнікаў
Пры высвятленні, ці роўныя трохвугольнікі, няма неабходнасці выяўляць роўнасць усіх іх адпаведных элементаў шляхам накладання або вымярэння. Наступныя дзве тэарэмы гарантуюць роўнасць трохвугольнікаў пры роўнасці некаторых старон і вуглоў.
Тэарэма (першая прымета роўнасці трохвугольнікаў). Калі дзве стараны і вугал паміж імі аднаго трохвугольніка адпаведна роўныя дзвюм старанам і вуглу паміж імі другога трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
Гпава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 57
в Дадзена: AB =АХВХ, AC =АХСХ, ZA = ZAX ZA (рыс. 108).
\ Даказаць: △ ABC = AA^Cp
___________\ Доказ. Накладзём трохвугольнік ABC на трохА П С вугольнік АХВХСХ так, каб супалі роўныя вуглы A
в і An прамень АВ супаў з праменем АХВХ, а пра
1 мень AC супаў з праменем А1С1. Паколькі адрэзX \ кі АВ і АХВХ роўныя, то яны супадуць пры на\ кладанні, і вяршыня В супадзе з вяршыняй В} . /\ ц \ Аналагічна супадуць роўныя адрэзкі AC і АД,
А сі вяршыня С супадзе з вяршыняй С? Трохвуголь
Рыс. 108 нікі супадуць цалкам, бо супадуць іх вяршыні. Такім чынам, ААВС = AA^jCj Тэарэма даказана. Гавораць, што дзве стараны і вугал паміж імі задаюць
трохвугольнік адназначна.
Тэарэма (другая прымета роўнасці трохвугольнікаў). Калі старана і два прылеглыя да яе вуглы аднаго трохвугольніка адпаведна роўныя старане і двум прылеглым да яе вуглам другога трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
в Дадзена: AC =АХСХ, ZA = ZAX, ZC = ZCX Z/A (рыс. 109).
\ Даказаць: ААВС = ZAXBXCX.
। р\ Доказ. Накладзём трохвугольнік ABC на трохА с вугольнік АХВХСХ так, каб супалі роўныя сто
вх раны AC і AjCj, вугал А супаў з роўным вуглом Ах, а вугал С — з роўным вуглом Сх. Тады \ прамень АВ супадзе з праменем АХВХ, праZJ________।_______д\ мень СВ — з праменем СХВХ, а вяршыня В супаА1________С1 дзе з вяршыняй Вх (пункт В будзе належаць і
РЫС. 109 А •
прамон і прамон і таму супадзе з пунктам іх перасячэння Вх). Трохвугольнікі супадуць цалкам, паколькі супадуць іх вяршыні. Такім чынам, /\АВС = ААХВХСХ. Тэарэма даказана.
Гавораць, што старана і два прылеглыя да яе вуглы зада
юць трохвугольнік адназначна.
58 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
А цяпер выканайце Тэст 1 і Тэст 2.
Тэст 1
Які вугал трохвугольнікаМАУ роўны вуглу В трохвугольніка ABC? Растлумачце адказ.
Тэст 2
Якая старана трохвугольніка MNK роўная старане АВ трохвугольніка ABC? Растлумачце
Заданні да § 9
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. Адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў іх сярэдзінах. Даказаць, што адлегласці паміж пунктамі A і С, В і D роўныя.
с в Доказ. Няхай О — пункт перасячэння ад
/ / о^ рэзкаў AB і CD (рыс. 110). Разгледзім /ХАОС ў / і /\BOD. У іх АО = ОВ, CO = OD па ўмове, А D ААОС = ABOD як вертыкальныя. Трохвугольні
Рыс no Ri Р°ЎНЫЯ па Дзвюх старанах і вугле паміж імі, гэта значыць па 1й прымеце роўнасці трохвугольнікаў. Стораны AC і BD роўныя, бо ў роўных трохвугольніках супраць роўных вуглоў ляжаць роўныя стораны.
Магчыма кароткае афармленне рашэння задачы.
Дадзена: АО = ОВ, COOD. Даказаць: AC = BD.
Доказ.
1) /ААОС і ABOD:
AOOB, COOD па ўмове, ААОС = ABOD як вертыкальныя, /\AOC = /\BOD па 1й прымеце. 2) AC = BD.
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 59
Задача 2. Дадзена простая замкнутая ломаная ABCD, у якой АВ =AD = 6 cm, CD = 4 см і прамень AC з’яўляецца бісектрысай вугла BAD. Знайсці даўжыню ломанай ABCD.
В
Рыс. 111
Рашэнне. У трохвугольнікаў ABC і ADC старана AC — агульная (рыс. Ill), AB=AD па ўмове, ABAC = ADAC, паколькі AC — бісектрыса вугла BAD. Гэтыя трохвугольнікі роўныя па 1й прымеце роўнасці трохвугольнікаў. Адсюль ВС = CD як адпаведныя стораны ў двух роўных трохвугольніках. Даўжыня ломанай ABCD: AB + BC + CD+AD = 6+ 4 +4 +6 = 20 (см). Адказ: 20 см.
Задача 3. На старанах вугла В адкладзены адрэзкі: ВА = ВС, КА = МС (рыс. 112). Даказаць, што АА = АС.
С Д о к аз. Разгледзім трохвугольнікі ABM і СВК.
У іх АВ — агульны, AB = СВ па ўмове, MB = КВ, О в паколькі МВ = СВ CM, КВ=АВАК (калі ад роўных адрэзкаў адняць роўныя, атрыА маем роўныя адрэзкі). Трохвугольнікі АВМ і
Рыс 112 СВК роўныя па дзвюх старанах і вугле паміж імі. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што A A = AC (у роўных трохвугольніках супраць роўных старон ляжаць роўныя вуглы).
Задача 4. На рысунку 113 ABAD = ACDA, ACAD = ABDA. Даказаць роўнасць трохвугольнікаў АОВ і DOC.
Рыс. 113
Доказ. Паколькі AABD = ADCA па 2й прымеце роўнасці трохвугольнікаў (старана AD — агульная, вуглы пры старане AD адпаведна роўныя па ўмове), to AB = DC, АВ = АС. Паколькі АВАО = ABAD ACAD, ACDO = AC DA ABDA, to ABAO = ACDO (калі ад роўных вуглоў адняць роўныя, атрымаем роўныя вуглы). Тады ААОВ = ADOC па 2й прымеце роўнасці трохвугольнікаў.
60 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
63. Дакажыце, што: a) AAOC = ADOB; б) ААВМ = АСВМ; в) AACB = AACD; г) &ABC=AADC (рыс. 114).
64. На рысунку 115 AC DB, ACAD = ABDA. в с Дакажыце, што: 0
a) AB = AC; б) ABAC = ACDB.
65. Дадзена простая замкнутая ломаная ABCD, А
ВС =AD = 10 дм, ААСВ = ACAD, АВ = 8 дм. Рыс. 11.
Знайдзіце даўжыню ломанай ABCD.
66. Дакажыце, што: a) AABC = AADC; б) AAOB = ACOD (дзе АО = СО); в) ЛАВМ = ЛСВМ; г) ЛАВМ = ЛАСК; ЛКВО = = АМСО (рыс. 116).
67. Дадзены чатырохвугольнік ABCD, у якога АВ = 9 см, AD=12 cm, AABD ACDB, AADB = ACBD. Знайдзіце neрыметр гэтага чатырохвугольніка.
68. Дадзены адрэзак AD. У адной паўплоскасці адносна прамой AD ляжаць пункты В і С такія, што ABAD = AC DA, ABAC = ACDB. Знайдзіце даўжыні адрэзкаў AC і CD, калі AB = 5 cm, BD = 6 cm.
69. AB i CD — дыяметры адной акружнасці з цэнтрам О. Дакажыце, што: а) хорда AC роўная хордзе BD; б) AADC = = ABCD.
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 61
70. На рысунку 117 ZBAC = ZNKM, ZAMN =
= ZKCB, АМ = КС. Дакажыце, што: а) ЛАВС = AKNM; б) AN = КВ.
71*. Роўныя адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў пункце О так, што OD = OB. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў ABC і CDA.
N
В Рыс. 117
72*. На старанах вугла А адкладзены роўныя адрэзкі AB і AC. На адрэзку АВ узяты пункт М, на адрэзку AC — пункт К так, што ZABK = ZACM. Адрэзкі ВК і CM перасякаюцца ў пункце О. Дакажыце, што АМОВ = ЛКОС.
73*. Пакажыце пры дапамозе прыкладу, што калі ў ZABC і /\А1В1С1 АВ—А1В1, АС=А1С1 і ZB = ZBY, то гэтыя трохвугольнікі не абавязкова роўныя.
74*. На каардынатнай плоскасці пабудуйце NAOB і АА^ОВ^ дзе А(5; 1), В(2; 6), АД5; 1), В^2; 6). Дакажыце, што ААОВ = ЛА1ОВ1.
Ведаем
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
1. Як знайсці перыметр трохвугольніка, многавугольніка.
2. Якія трохвугольнікі называюцца роўнымі.
3. Першую і другую прыметы роўнасці трохвугольнікаў.
Умеем
1. Даказваць першую і другую прыметы роўнасці трохвугольнікаў.
2. Будаваць чарцёж трохвугольніка па дадзеных памерах яго старон і вуглоў пры дапамозе лінейкі і транспарціра.
§ 10. Вышыня, медыяна і бісектрыса трохвугольніка
У трохвугольніка, акрамя трох старон, трох вяршынь і трох вуглоў, маюцца і іншыя элементы — вышыня, медыяна і бісектрыса.
62 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
Азначэнне. Вышынёй трохвугольніка (рыс. 118, а) называецца перпендыкуляр, апушчаны з вяршыні трохвугольніка на процілеглую старану або на яе прадаўжэнне (адрэзак ВН).
Азначэнне. Медыянай трохвугольніка (рыс. 118, б) называ
ецца адрэзак, які злучае вяршыню трохвуголь
ніка з сярэдзінай процілеглай зак ВМ). стараны (адрэ
Азначэнне. Бісектрысай трохвугольніка (рыс. 118, в) называецца адрэзак бісектрысы вугла трохвугольніка, які злучае вяршыню трохвугольніка з пунктам перасячэння бісектрысы з процілеглай стараной (адрэзак ВК).
в
ч вышыня бісектрыса Д / медыяна
A НКМ
Рыс. 119
У роўных трохвугольніках роўныя адпаведныя вышыні, медыяны і бісектрысы (дакажыце самастойна).
Калі трохвугольнік не раўнабедраны, то вышыня, медыяна і бісектрыса, праведзеныя з адной вяршыні трохвугольніка, не супадаюць (рыс. 119).
А цяпер выканайце Тэст 1 (гл. с. 63).
Паколькі ў трохвугольніка тры вяршыні, то ў яго і тры вышыні, тры медыяны, тры бісектрысы. Пазней мы дакажам, што вышыні трохвугольніка (або іх прадаўжэнні) перасякаюцца ў адным пункце. Гэта ж датычыцца медыян трохвугольніка (рыс. 120) і яго бісектрыс (рыс. 121).
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 63
КНІГІ ОНЛАЙН
