Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
95*. У трохвугольніку MNK праведзена бісектрыса ME. Вядома, што ZMKN + ZNME = ZMNK + ZKME, КЕ = 4 см, MN = 9 см. Знайдзіце перыметр трохвугольніка MNK.
96*. Трохвугольнік ABC — роўнастаронні (рыс. 134, а, б). Дакажыце, што трохвугольнік MNK роўнастаронні, калі: a) МВ = 2АМ, NC = 2BN, АК = 2КС; б) АМ=АВ, CN=AC, ВК = ВС.
Рыс. 134
97*. У раўнабедраным трохвугольніку ABC праведзены бісектрысы АК і CM да бакавых старон. Бісектрысы перасякаюцца ў пункце О. Дакажыце, што ZAOM = ZCOK.
98*. Адзін пралёт моста ўяўляе сабой аб’яднанне сямі роўных раўнабедраных трохвугольнікаў, звараных з металічных бэлек (рыс. 135). Перыметр аднаго такога трохвугольніка роўны 11 м. На ўвесь пралёт пайшло 59 м металічных бэлек. Вызначыце даўжыню асновы аднаго
Рыс. 135
Глава 2. Прыллеты роўнасці трохвугольнікаў 71
раўнабедранага трохвугольніка і даўжыню (па нізе) усяго пралёта.
99*. Дадзены чатырохвугольнік ABCD. Адрэзкі AC і BD перасякаюцца ў пункце О. Перыметры трохвугольнікаў ABC і BAD роўныя, перыметры трохвугольнікаў CDB і DCА роўныя. Дакажыце, што трохвугольнік АОВ — раўнабедраны.
ПАДВОДЗІМ
ВЫНІКІ
Ведаем
1. Азначэнні вышыні, медыяны і бісектрысы трохвугольніка.
2. Азначэнне раўнабедранага трохвугольніка, назвы яго старон і вуглоў.
3. Уласцівасць вуглоў раўнабедранага трохвугольніка.
4. Уласцівасць бісектрысы раўнабедранага трохвугольніка, праведзенай да асновы.
5. Прымету раўнабедранага трохвугольніка, звязаную з вугламі.
Умеем
1. Даказваць тэарэму пра ўласцівасць вуглоў раўнабедранага трохвугольніка.
2. Даказваць тэарэму пра ўласцівасць бісектрысы раўнабедранага трохвугольніка.
3* . Даказваць прымету раўнабедранага трохвугольніка, звязаную з вугламі.
§ 12. Прыметы раўнабедранага
трохвугольніка
Вы ўжо ведаеце адну прымету раўнабедранага трохвугольніка: «Калі ў трохвугольніку два вуглы роўныя, то трохвугольнік раўнабедраны». Дакажам яшчэ тры прыметы раўнабедранага трохвугольніка, звязаныя з яго вышынёй, медыянай і бісектрысай.
Тэарэма. Калі ў трохвугольніку вышыня з’яўляецца медыянай, то трохвугольнік раўнабедраны.
72 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
Дадзена: ВН — вышыня і медыяна ЛАВС (рыс. 136).
Даказаць: АВ = ВС.
Доказ. Разгледзім ZABH і АСВН. У іх старана ВН — агульная, ZAHB = ZCHB = 90° (паколькі ВН — вышыня), AH = СН (паколькі ВН — мес дыяна). Трохвугольнікі ABH і СВН роўныя па дзвюх старанах і вугле паміж імі. 3 роўнасці
Рыс. 136 трохвугольнікаў вынікае роўнасць адпаведных старон AB і ВС. Тэарэма даказана.
Тэарэма. Калі ў трохвугольніку вышыня з’яўляецца бісектрысай, то трохвугольнік раўнабедраны.
в
A Н С
Рыс. 137
Дадзена: ВН — вышыня і бісектрыса ААВС (рыс. 137).
Даказаць: АВВС.
Доказ. Разгледзім ААВН і /АСВН. Старана ВН — агульная, ZAHB = ZCHB = 90° (паколькі ВН — вышыня), ZABH = ZCBH (паколькі ВН — бісектрыса па ўмове). Трохвугольнікі ABH і СВН роўныя па старане і двух прылеглых да яе вуглах. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае роўнасць адпаведных старон AB і ВС. Тэарэма даказана.
Тэарэма. Калі ў трохвугольніку медыяна з’яўляецца бісектрысай, то трохвугольнік раўнабедраны.
Дадзена: ВМ — медыяна і бісектрыса ААВС. Даказаць: АВ = ВС (рыс. 138).
Доказ. Прадоўжым медыяну ВМ на яе даўжыню за пункт М. Атрымаем МВХ = ВМ. Трохвугольнікі АМВХ і СМВ роўныя па дзвюх старанах і вугле паміж імі (MBr = ВМ па пабудове; АМ = МС, паколькі ВМ — медыяна; ZAMB1 = ZCMB як вертыкальныя). 3 роўнасці
Рыс. 138
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 73
гэтых трохвугольнікаў вынікае, штоАВг = ВС і ААВ^М = ZCBM. Але ZCBM = ZABM, паколькі ВМ — бісектрыса па ўмове. Тады ААВ^В = ZABB1 і ZABBY — раўнабедраны па прымеце раўнабедранага трохвугольніка. Такім чынам, AB=ABr. A паколькі АВХ = ВС, to AB = ВС. Тэарэма даказана.
Заўвага. Прыём прадаўжэння медыяны часта выкарыстоўваецца пры рашэнні геаметрычных задач.
Заданні да § 12
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. У трохеугольніку ABC з перыметрам 54 см медыяна АК перпендыкулярная старане ВС, а вышыня ВМ складае роўныя вуглы са старанамі BA і ВС. Знайсці стораны трохвугольніка ABC.
Рашэнне. Паколькі медыяна АК з’яўляецца і вышынёй, то ZABC — раўнабедраны з асновай ВС і АВАС. Паколькі вышыня ВМ з’яўляецца і бісектрысай, то ZABC — раўнабедраны з асновай AC і AB = ВС. Тады ЛАВС — роўнастаронні, АВ = ВС =АС = ^ = 18 (см).
Адказ: 18 см.
Задача 2. Бісектрыса АК трохвугольніка ABC дзеліць старану ВС папалам. Перыметр трохеугольніка ABC роўны 36 см, перыметр трохвугольніка АКС роўны 30 см. Знайсці даўжыню бісектрысы АК.
Рашэнне. 3 умовы вынікае, што бісектрыса АК з’яўляецца і медыянай ZABC (рыс. 139). Тады ZABC — раўнабедраны па прымеце раўнабедранага трохвугольніка і АВ =АС. Па; ' колькі ВК = СК, то сума адрэзкаў AC і СК роў
А С ная паўперыметру ЛАВС, гэта значыць 18 см.
Рыс. 139 Па ўмове перыметр /\АКС роўны 30 см, таму
А# = 3018 = 12 (см).
Адказ: 12 см.
74 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
100. Знайдзіце старану ці вугал, абазначаныя пытальнікам
(рыс. 140). Растлумачце свой адказ.
Рыс. 140
101. У трохвугольніку ABC вышыня ВК дзеліць старану AC папалам, бісектрыса AM перпендыкулярная старане ВС. Знайдзіце перыметр трохвугольнікаABC, калі ВМ = 2,4 см.
102. Перпендыкулярныя адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў пункце О так, што CO = OD, AC =12 cm, BD = 9 cm. Знайдзіце перыметр чатырохвугольніка ACBD.
103. У трохвугольніку ABC праведзена медыяна AM (рыс. 141). На старане AC узяты пункт К. Прамыя ВК і AM перпендыкулярныя, і прамая ВК дзеліць медыяну AM папалам. Дакажыце, што ВС = 2АВ.
в
A К С
Рыс. 141
104. У трохвугольніку ABC бісектрыса АК перпендыкулярная медыяне ВМ. Знайдзіце перыметр трохвугольніка ABC, калі АВ = 6 см, ВС = 8 см.
105. Дакажыце, што прамая, якая перасякае бісектрысу вугла і перпендыкулярная гэтай бісектрысе, адсякае на старанах вугла роўныя адрэзкі.
106*. У трохвугольніку ABC з перыметрам 24 см праведзена медыяна СК, роўная 8 см, АКСВ = АКСА. Знайдзіце перыметр трохвугольніка КАС.
107*. Бісектрыса СК трохвугольніка ABC праходзіць праз сярэдзіну медыяны ВМ. Перыметр трохвугольніка ABC роўны 36 cm, AM = 8 см. Знайдзіце даўжыню стараны АВ.
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 75
Геаметрыя 3D
У правільнай трохвугольнай піраміды DABC у аснове ляжыць роўнастаронні трохвугольнік ABC, а бакавыя грані ABB, ADC, BDC — роўныя раўнабедраныя трохвугольнікі з агульнай вяршыняй D (рыс. 142).
У правільнай чатырохвугольнай піраміды ў аснове ляжыць квадрат MNKE, а бакавыя грані МРЕ, MPN, NPK, ЕРК — роўныя раўнабедраныя
трохвугольнікі з агульнай вяршыняй Р (рыс. 143).
Задача. Маецца кавалак дроту даўжынёй 2 м 30 см. Ці хопіць яго, каб вырабіць каркас: а) правільнай трохвугольнай піраміды з кантам асновы 30 см і бакавым кантам 40 см; б) чатырохвугольнай піраміды, у якой усе канты роўныя па 30 см?
Рыс. 142
§ 13. Трэцяя прымета роўнасці трохвугольнікаў
Вам ужо вядомыя дзве прыметы роўнасці трохвугольнікаў. Разгледзім яшчэ адну.
Тэарэма (трэцяя прымета роўнасці трохвугольнікаў).
Калі тры стараны аднаго трохвугольніка адпаведна роўныя тром старанам другога трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
Дадзена: АВ =А1В1, ВС = В1С1, АС=А1С1 (рыс. 144). Даказаць: ААВС = АА1В1С1.
76 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
Доказ. Прыкладзём трохвугольнік А1В1С1 да трохвугольніка ABC так, каб у іх сумясціліся роўныя стораны Aj^ і AC, а вяршыні Вх і В апынуліся ў розных паўплоскасцях адносна прамой AC. Трохвугольнік А1В1СІ зойме становішча трохвугольніка АВ2С. Правядзём адрэзак ВВ2. Паколькі АВ2АВ і В2СВС, то трохвугольнікі АВВ2 і СВВ2 — раўнабедраныя. Адкуль Z1 = Z2 і Z3 = Z4 (як вуглы пры аснове раўнабедранага трохвугольніка). Тады ZABC = ААВ2С і трохвугольнікі ABC і АВ2С роўныя па дзвюх старанах і вугле паміж імі. Такім чынам, /\АВС = ЛА1В1С1. Тэарэма даказана.
Заўвага. Каб адрэзак ВВ2 праходзіў унутры трохвугольніка ABC, патрэбна прыкладаць трохвугольнікі большай стараной.
Гавораць, што тры стараны задаюць трохвугольнік адна
значна.
Такім чынам, цяпер вы ведаеце тры прыметы роўнасці
трохвугольнікаў. Можна сфармуляваць і іншыя прыметы роўнасці трохвугольнікаў, у якіх непазбежна будзе прысутнічаць
адпаведная роўнасць якіхнебудзь трох элементаў двух трох
вугольнікаў. Аднак не любыя тры элементы задаюць трохву
гольнік. Так, напрыклад, калі тры ніка адпаведна роўныя тром вуглам другога трохвугольніка, to TaKia трохвугольнікі не абавязкова роўныя. Тое ж датычыцца трохвугольнікаў, у якіх адпаведна роўныя дзве стараны і вугал, процілеглы адной з гэтых старон.
На рысунку 145, а, б вы бачыце пары такіх няроўных трохвугольнікаў.
А цяпер выканайце Тэст.
вуглы аднаго трохвуголь
Тэст
Які вугал AMNK роўны вуглу С ААВС? Растлумач
Рыс. 145
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 77
Заданні да § 13
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. У простай замкнутай ломанай ABCD AB=AD,
ВС = DC. Даказаць, што AB = AD і прамень AC — бісектрыса
вугла BAD.
Доказ. Правядзём адрэзак AC (рыс. 146). Трохвугольнікі ABC і ADC роўныя па 3й прымеце роўнасці трохвугольнікаў (AB =AD і ВС = DC па ўмове, старана AC — агульная). Таму AB = AD і ABAC = ADAC як адпаведныя ў двух роўных трохвугольніках і прамень AC — бісектрыса вугла BAD.
Задача 2. Даказаць роўнасць трохеугольнікаў па дзвюх ста
ранах і медыяне паміж імі.
Д оказ. Няхай AB =А1В1, ВС = В1С1, ВМ = В1М1, дзе ВМ і ВДД — медыяны (рыс. 147). Даказаць, што ААВС = ААДЗДД.
Прадоўжым у кожным трохвугольніку дадзеную медыяну на яе даўжыню так, што MDBM, M1Dl = B1M1. Паколькі AAMD = A\CMB па 1й прымеце роўнасці трохвугольнікаў (AM = = МС, AAMD = АСМВ як вертыкальныя, ВМ = = MD па пабудове), to ADBC. Аналагічна AA1M1D1 = АС1М1В1, адкульА1В1 =В1С1. Паўмове ВСМВДу, такім чынам, ADA1D1 і AABD = = ААДЗДД па трох старанах. Тады ААВМ = = АА1В1М1 і ААВМ = АМ^В^М^ па 1й прыме
це роўнасці трохвугольнікаў. Адсюль AM =ArMlf АСА1С1
(паколькі ВМ і ВДД — медыяны) і ААВС = ААДВДД па трох
старанах.
Задача 3. Два роўныя адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў пункце О і AD = BC. Даказаць, што BO = DO.
Доказ. Злучым пункты BID адрэзкам (рыс. 148). Трохвугольнікі ABD і CDB роў
Рыс. 148
78 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
КНІГІ ОНЛАЙН
