Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
Такую геаметрыю стварылі старажытнагрэчаскія вучоныя Фалёс, Архімёд, Піфагбр і інш. Эўклід (Ш ст. да н. э.) першым сістэматызаваў усе матэматычныя веды таго часу і выклаў у вялікай навуковай працы пад назвай «Пачаткі». На працягу доўгага часу геаметрыю вывучалі па «Пачатках» Эўкліда.
Геаметрыя
Планіметрыя Стэрэаметрыя
Фігуры
Якія не маюць азначэння (пункт, прамая, плоскасць) Якія маюць азначэнне (прамень, адрэзак, вугал,...)
Уласцівасці
Аксіёмы (без доказу) Тэарэмы (доказ)
Задачы
На доказ На вылічэнне На пабудову
Заданні да § 2
Правяраем веды
1. Хто з вучоных апісаў асновы геаметрыі?
2. Якія тры геаметрычныя фігуры не маюць азначэння?
3. Што агульнае паміж аксіёмамі і тэарэмамі і чым яны адрозніваюцца?
4. Якія геаметрычныя фігуры называюцца роўнымі? _
5. Якія тры тыпы геаметрычных задач вы ведаеце?
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
17
Вучымся будаваць чарцёж
1. Адлюструйце прамую а і адзначце на ёй пункты A і В. Як у адносінах да прамой а і да адрэзка АВ можа быць размешчаны трэці пункт? Адзначце пунктамі ўсе магчымыя варыянты.
2. На прамой а адзначце пункты A і В. Паза прамой а па розныя бакі ад яе адзначце пункты С і D такія, каб ні пункт А, ні пункт В не належалі прамой CD. Знайдзіце пункт перасячэння прамой CD і прамой а. Абазначце яго літарай Р. Колькі ўсяго прамых задаюць пары адзначаных пунктаў?
3. На прамой b адзначце пункты Е, G і Н такія, што пункты Е і Н ляжаць па адзін бок ад пункта G, а пункты Н і G — па адзін бок ад пункта Е. Які з пунктаў ляжыць паміж двума іншымі?
4. Адлюструйце прамыя min, якія перасякаюцца ў пункце А. На прамой m адзначце пункт М, на прамой п — пункт N. Правядзіце прамую MN. Колькі ўсяго адрэзкаў атрымалася на рысунку? Якую фігуру ўтвараюць гэтыя адрэзкі? Правядзіце прамую k, якая перасякае тры пабудаваныя прамыя m, п і MN і не праходзіць праз пункты A, М і N. Колькі зараз адрэзкаў вы налічыце на рысунку? На колькі частак дадзеныя чатыры прамыя разбілі плоскасць?
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
1. Перанясіце ў сшытак прасторавыя фігуры, адлюстраваныя на рысунку 23 (нябачныя канты на чарцяжы адлюс
Рыс. 22
18 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
троўваюцца штрыхавымі лініямі). Успомніце, якімі фігурамі з’яўляюцца канты куба, канты прамавугольнага паралелепіпеда, канты трохвугольнай піраміды. Вызначыце колькасць вяршынь, кантаў і граней для кожнай фігуры.
2. Знайдзіце плошчу паверхні куба, калі сума даўжынь усіх яго кантаў роўна 60 см, а плошча квадрата са стараной a знаходзіцца па формуле S = а2.
3. Знайдзіце плошчу паверхні прамавугольнага паралелепіпеда, калі яго даўжыня, шырыня і вышыня адпаведна роўны 3 см, 4 см і 5 см, а плошча прамавугольніка са старанамі a і b знаходзіцца па формуле S ab.
Калі вам нешта незразумела, звярніцеся да паслуг Інтэрнэту, зрабіўшы запыт «прамавугольны паралелепіпед».
Гімнастыка розуму
Вызначыце, якая з фігур В, С rp D роўная фігуры А (рыс. 23).
Рыс. 23
§ 3. Прамая. Прамень. Адрэзак. Ломаная
паўплоскасць паўплоскасць
Рыс. 24
AC В
•••—
3.1. Прамая
Прамая бясконцая (у абодва бакі) і разбівае плоскасць на дзве паўплоскасці (рыс. 24), для якіх прамая з’яўляецца мяжой. Мяжа належыць паўплоскасцям. На рысунку 25 пункт С ляжыць на прамой паміж пунктамі A і В, якія ляжаць па розныя бакі ад пункта С. Пункты С і В ляжаць па адзін бок ад пункта А. 3 трох пунктаў на прамой адзін і толькі адзін пункт ляжыць паміж двума іншымі.
Рыс. 25
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 19
Рыс. 26
Калі на плоскасці адзначыць два пункты A і В, то праз іх заўсёды можна правесці прамую АВ (рыс. 26, а). Праз адзін пункт можна правесці бясконца шмат прамых (рыс. 26, б), праз тры пункты не заўсёды можна правесці прамую (рыс. 26, в). Праз два пункты можна правесці бясконца шмат акружнасцей (рыс. 26, г), а прамую — толькі адну!
Аксіёма прамой. Праз любыя два пункты плоскасці можна правесці прамую, і прытым толькі адну.
3 аксіёмы вынікае, што калі дзве прамыя (а і Ь) маюць агульны пункт (М), то гэта адзіны агульны пункт (рыс. 27). Калі дапусціць, што існуе яшчэ адзін агульны пункт (К), то тады праз два пункты {М і К) пройдуць дзве прамыя, што па аксіёме прамой немагчыма.
Рыс. 27
Азначэнне. Дзве прамыя называюцца перасякальнымі, калі яны маюць агульны пункт.
Азначэнне. Дзве прамыя называюцца паралельнымі, калі яны ляжаць у адной плоскасці і не перасякаюцца.
Калі прамыя a і b паралельныя, то адрэзкі, якія адлюстроўваюць гэтыя прамыя, ніколі не перасякуцца, колькі б іх ні прадаўжалі (рыс. 28).
Рыс. 28
20 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
3.2. Прамень
Азначэнне. Праменем называецца частка прамой, абмежаваная адным пунктам.
Пункт, які абмяжоўвае прамень, належыць праменю і называецца пачаткам праменя. Прамень бясконцы (у адзін бок). Ен абазначаецца адной малой літарай або дзвюма вялікімі літарамі, дзе першай заўсёды запісваецца папрамень в чатак праменя. Пры гэтым другі пункт можа . а быць не адзначаны на прамені. Ён паказвае
А напрамак праменя, напрыклад як пункт В на
Рыс. 29 прамені АВ (рыс. 29).
Азначэнне. Два прамені называюцца дадатковымі (процілеглымі), калі яны маюць агульны пачатак і ляжаць на адной прамой.
дадатковыя прамені
М О К
Рыс. 30
якой ляжыць
На рысунку 30 адлюстраваны дадатковыя прамені ОМ і ОК. Яны дадаюць адзін аднаго да прамой. Каб пабудаваць прамень, дадатковы дадзенаму, дастаткова прадоўжыць дадзены прамень за яго пачатак уздоўж прамой, на дадзены прамень. Любы пункт на прамой раз
бівае яе на два дадатковыя прамені.
3.3. Адрэзак
Азначэнне. Адрэзкам называецца частка прамой, абмежаваная двума пунктамі.
Пункты, якія абмяжоўваюць адрэзак, належаць адрэзку і называюцца канцамі адрэзка, астатнія пункты адрэзка — яго ўнутранымі пунктамі. На рысунку 31 адлюстраваны адрэзак АВ з канцамі A і В. Пункт М — унутраны пункт адрэзка АВ. А м в Калі канцы адрэзка ляжаць у розных паў
— •• плоскасцях адносна прамой, то гэты адрэзак
Рыс. 31 перасякае прамую, а калі ляжаць у адной паў
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 21
плоскасці, то не перасякае. На рысунку 32 канцы адрэзка АВ ляжаць у розных паўплоскасцях адносна прамой а, і ён перасякае прамую а. Канцы ж адрэзка CD ляжаць у адной паўплоскасці, і ён не перасякае прамую а.
Калі пры накладанні адрэзкаў іх канцы супадуць, то па аксіёме прамой гэтыя адрэзкі супадуць усімі сваімі пунктамі.
Рыс. 32
Азначэнне. Два адрэзкі называюцца роўнымі, калі іх можна сумясціць накладаннем.
Важнай характарыстыкай адрэзка з’яўляецца яго даўжыня. Уласцівасці даўжыні адрэзка: кожны адрэзак мае даўжыню, выражаную дадатным лікам; роўным адрэзкам адпавядаюць роўныя даўжыні, большаму адрэзку — большая даўжыня. I наадварот.
Аксіёма вымярэння адрэзкаў. Калі на адрэзку ўзяць пункт, то ён разаб’е дадзены адрэзак на два адрэзкі, сума даўжынь якіх роўная даўжыні дадзенага адрэзка.
Аксіёма адкладвання адрэзкаў. На любым прамені ад яго вяршыні можна адкласці адрэзак дадзенай даўжыні, і прытым толькі адзін.
На рысунку 33 пункт С ляжыць на адрэз ^ ^ *в ку АВ. Па аксіёме вымярэння адрэзкаў выні33
кае, што AC + СВ =АВ.
Сярэдзінай адрэзка называецца пункт, які
дзеліць адрэзак на два роўныя адрэзкі. На ры £—н—^—^—*F сунку 34 пункт М — сярэдзіна адрэзка EF, рьіс 34 г. зн. EM = MF.
Азначэнне. Адлегласцю паміж двума пунктамі называецца даўжыня адрэзка, які злучае гэтыя пункты.
22 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаллетрыі
._________________
К Рыс. 35
На рысунку 35 адлегласць паміж пунктамі К і N роўная даўжыні адрэзка KN.
А цяпер выканайце Тэст 1.
Тэст 1
Раскажыце пра ўзаемнае размяшчэнне прамой а і пунктаў, праменяў і адрэзкаў, адлюстраваных на рысунку.
3.4. Ломаная
Рыс. 36
На рысунку 36 адрэзкі AB, ВС, CD, DE і EF паслядоўна злучаны сваімі канцамі: адрэзак ВС злучаны з адрэзкам АВ, адрэзак CD злучаны з адрэзкам ВС і гэтак далей. Атрыманая фігура ўяўляе сабой ломаную ABCDEF. Паказаныя адрэзкі называюцца звёнамі ломанай, а пункты A, В, С, D, Е і F — вяршынямі ломанай.
Азначэнне. Ломанай называецца геаметрычная фігура, утвораная адрэзкамі, паслядоўна злучанымі сваімі канцамі, у якой ніякія два суседнія звёны не ляжаць на адной прамой. Даўжынёй ломанай называецца сума даўжынь яе звёнаў.
Азначэнне. Ломаная называецца замкнутай, калі пачатак яе першага звяна супадае з канцом апошняга. У адваротным выпадку яна называецца незамкнўтай. Ломаная называецца простай, калі яна не мае самаперасячэнняў і ніякія два яе звёны, акрамя суседніх, не маюць агульных пунктаў. У адваротным выпадку яна называецца няпростай (рыс. 37).
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 23
простая незамкнутая ломаная
простая замкнутая ломаная
не ломаная
няпростая незамкнутая ломаная
Рыс. 37
Простая замкнутая ломаная на плоскасці называецца мно
гавугольнікам. Звёны гэтай ломанай называюцца старанамі гэтага многавугольніка, а вяршыні — вяршынямі многаву
гольніка. Перыметрам многавугольніка называецца сума даў
жынь яго старон. Частка плоскасці, абмежаваная многавугольнікам, называецца плоскім многавугольнікам. Слова «плоскі» ўжываць не будзем. Адрэзак, што злучае вяршыні многавугольніка, якія не належаць адной старане, называецца яго дыяганаллю. Калі ў многавугольніка тры стараны, то ў яго тры вяршыні і тры вуглы, і ён называецца трохвугольнікам, калі чатыры стараны, — чатырохвугольнікам, калі пяць, — пяцівугольнікам і гэтак далей.
На рысунку 38 адлюстраваны чатырохвугольнік ABCD са старанамі AB, ВС, CD і AD. У яго чатыры вуглы: ZA, /В, AC, /.Di. дзве дыяганалі: AC і BD. Перыметр гэтага чатырохвугольніка: PASCD = AB + ВС + CD +AD.
Пры запісе многавугольніка яго вяршыні запісваюцца паслядоўна, пачынаючы з любой вяршыні і ў любым напрамку. Напрыклад, CBAD — гэта той жа чатырохвугольнік ABCD.
Самыя вядомыя вам чатырохвугольнікі — гэта прамавугольнік і квадрат. У прамавугольніка ўсе вуглы прамыя, а процілеглыя стораны роўныя. Квадрат — гэта прамавугольнік, у якога ўсе стораны роўныя. На рысунку 39 ABCD —
Рыс. 39
24 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
прамавугольнік, MNPK — квадрат. Пазней мы дадзім азначэнне прамавугольніка і квадрата і разгледзім іх уласцівасці падрабязна. А пакуль будзем карыстацца названымі ўяўленнямі.
КНІГІ ОНЛАЙН
