Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
3 дзвюх апошніх тэарэм вынікае, што на плоскасці праз любы пункт можна правесці прамую, перпендыкулярную дадзенай прамой, і прытым толькі адну.
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
47
Тэарэма (пра дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй). На плоскасці дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой.
* м Дадзена: al.c, bVc (рыс. 93).
a b Даказаць: а || Ь. Доказ. Калі дапусціць, што прамыя a і b
с_ A В перасякаюцца ў некаторым пункце М, то атрымаецца, што праз пункт М праходзяць дзве
Рыс. 93 прамыя а і Ь, перпендыкулярныя трэцяй прамой с, а гэта немагчыма. Такім чынам, пра
мыя a і b ляжаць у адной плоскасці і не перасякаюцца, гэта значыць паралельныя паміж сабой. Тэарэма даказана.
Заданні да § 7
РАШАЕМ САМАСТОЙНА
45.
46.
На рысунку 94 AB ± CD, ZKOB = 48°. Знайдзіце: a) АСОМ; б) AMOD.
Вугал ВАС роўны 40°. 3 пункта А праведзены прамень АК, перпендыкулярны праменю АВ, пункты К і В ляжаць па розныя бакі адносна прамой AC. Знайдзіце, які вугал утварае бісектрыса вугла САК з праменем АВ.
Рыс. 94
47. Прамыя a і b перпендыкулярныя. Праз пункт іх перасячэння праведзена прамая с. Вызначыце лік тупых вуглоў, якія ўтварыліся пры гэтым.
48. На рысунку 95 AB .LAK, Z2 : Z1 = 7 : 9, AM — бісектрыса
вугла ВАК. Знайдзіце вугал MAC.
48 Гпава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
49. Дзве прамавугольныя паштоўкі маюць агульную вяршыню (рыс. 96). Дакажыце, што вуглы 1 і 2 роўныя.
50*. Сума вуглоў AOD і ВОС роўна 180°, ОК — бісектрыса вугла АОС, ОЕ — бісектрыса вугла BOD (рыс. 97). Дакажыце, што OK 1 ОЕ.
Тэарэма, адваротная дадзенай*
Фармулёўка тэарэмы, як правіла, складаецца з дзвюх частак: таго, што дадзена, і таго, што трэба даказаць. Першая частка называецца ўмовай тэарэмы, другая — вывадам. Часта тэарэму фармулююць у форме: «Калі ...(умова тэарэмы), то ...(вывад тэарэмы)». Напрыклад, тэарэму пра ўласцівасць сумежных вуглоў можна сфармуляваць так: «Калі вуглы сумежныя, то іх сума роўна 180°». «Вуглы сумежныя» — гэта ўмова тэарэмы, «сума вуглоў роўна 180°» — вывад.
Калі памяняць умову і вывад тэарэмы месцамі, то атрымаем сцверджанне, адваротнае дадзенаму. Для змешчанай вышэй тэарэмы атрымліваем: «Калі сума двух вуглоў роўна 180°, то гэтыя вуглы сумежныя». Але гэтае сцверджанне няправільнае, паколькі можна прывесці прыклад дзвюх вуглоў, напрыклад, роўных 60° і 120°, сума якіх 180°, але якія не з’яўляюцца сумежнымі. Значыць, прыведзенае сцверджанне не з’яўляецца тэарэмай.
Калі ж правільнае і адваротнае сцверджанне, то яно называецца тэарэмай, адваротнай дадзенай. Напрыклад, вядомая тэарэма: «Калі сума лічбаў ліку дзеліцца на 3, то і лік дзеліцца на 3» — і ёй адваротная: «Калі лік дзеліцца на 3, то і сума лічбаў ліку дзеліцца на 3».
Часам прамую і адваротную тэарэмы аб’ядноўваюць, ужываючы пры гэтым словы «тады і толькі тады». Аб’яднаем дадзеныя вышэй тэарэмы: «Лік дзеліцца на 3 тады і толькі тады, калі сума яго лічбаў дзеліцца на 3».
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
Ведаем
1. Азначэнне перпендыкулярных прамых.
2. Азначэнне перпендыкуляра да прамой.
3. Тэарэму аб прамой, перпендыкулярнай дадзенай.
4. Уласцівасць дзвюх прамых, перпендыкулярных трэцяй.
Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі 49
Умеем
1. Пры дапамозе чарцёжнага трохвугольніка: а) апускаць з пункта, які не ляжыць на прамой, перпендыкуляр на дадзеную прамую; б) з пункта, які ляжыць на прамой, аднаўляць перпендыкуляр дадзенай даўжыні да дадзенай прамой.
2. Даказваць тэарэму пра дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй.
Геаметрыя 3D
Няхай у прасторы прамая п перасякае плоскасць а у пункце В (рыс. 98). Калі прамая п перпендыкулярная любой прамой плоскасці, якая праходзіць праз пункт В, то яна называецца прамой, перпенды
кулярнай плоскасці. Пішуць n ± а. Адрэзак АВ называецца перпен
дыкулярам да плоскасці a.
Рыс. 98
Каб прамая п была перпендыкулярная плоскасці а, дастаткова, каб яна была перпендыкулярная якімнебудзь дзвюм прамым плоскасці, што праходзяць праз пункт В. Напрыклад, прамым а і Ь.
Задача. Пакажыце ў абсталяванні, якое навокал вас, перпендыкуляры да якіхнебудзь плос
касцей.
Мадэляванне
а) Перагніце прамавугольны ліст паперы так, каб супалі ніжнія краі ліста. Выпрастайце ліст (рыс. 99). Растлумачце, чаму лінія перагібу перпендыкулярная краю ліста.
б) На лісце паперы адлюстравана прамая а і пункт А (рыс. 100). Выкарыстоўваючы толькі перагі
нанне паперы і аловак, правядзіце з пункта перпендыкуляр да прамой.
Прапануецца наступнае рашэнне: 1) перагінаем ліст па прамой a так, каб пункт А быў бачны; 2) праколваем абедзве складзеныя часткі праз пункт А і атрымліваем на іншай частцы ліста пункт В, 3) выпрастаем ліст; 4) складваем ліст па прамой, якая праходзіць праз пунк
ты A і В.
Растлумачце, чаму АВ ± а.
Прапануйце свой спосаб, звязаны з пунктам а).
Рыс. 100
50 Глава 1. Пачатковыя паняцці геаметрыі
ЗАПАМІНАЕМ
1. Сума сумежных вуглоў роўна 180°.
2. Вертыкальныя вуглы роўныя.
3. На плоскасці дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой.
4. На плоскасці праз любы пункт можна правесці прамую, перпендыкулярную дадзенай прамой, і прытым толькі адну.
Правяраем сябе
Тэст 1
Тэст 2
Выпішыце ўсе пары сумежных вуглоў, усе пары вертыкальных вуглоў, адлюстраваныя на рысунку.
ZNOK у 3 разы меншы за ZM0N. Знайдзіце вугал паміж бісектрысай вугла MON і праменем ОК.
Тэст 3
Для вуглоў 1, 2, 3 і 4 сума нейкіх двух з іх на 100° большая за суму двух астатніх. Знайдзіце вуглы 1, 2, 3 і 4.
Дадатковыя матэрыялы да главы можна знайсці на сайце: http://evedy.adu.by, курс «Матэматыка» — «Матэматыка. 7 клас», модуль «Пачатковыя паняцці геаметрыі».
Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
У гэтай главе вы даведаецеся:
Як вызначыць, ці роўныя два трохвугольнікі.
Што такое медыяна трохвугольніка.
Якая прамая называецца пасярэднім перпендыкулярам.
52 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
§ 8. Трохвугольнікі
8.1. Трохвугольнік
Рыс. 101
Калі на плоскасці адзначыць тры пункты А, В і С, якія не ляжаць на адной прамой, і злучыць іх адрэзкамі, то атрымаем трохвугольнік ABC. Можна сказаць, што трохвугольнік — гэта трохзвённая замкнутая ломаная. Абазначаюць: ААВС, дзе АВ,
ВС і AC — стораны, пункты A, В і С — вяршыні, АА, AB і AC — вуглы трохвугольніка (рыс. 101). Каб знайсці перыметр трохвугольніка, трэба скласці даўжыні яго старон: РАВС = =АВ + ВС +АС. Трохвугольнікам таксама лічаць і частку плоскасці, абмежаваную ломанай ABC.
Азначэнне. Трохвугольнікам называецца трохзвённая замкнутая ломаная разам з часткай плоскасці, якую яна абмяжоўвае.
Рыс. 102
Калі злучыць канцамі тры драўляныя планкі, то атрымаецца трохвугольнік, які нельга дэфармаваць — ён будзе захоўваць сваю форму. Тады як чатырохвугольнік можа змяняць сваю форму (рыс. 102). Гэта ўласцівасць «устойлівасці» трохвугольніка шырока выкарыстоўваецца ў тэхніцы, вытворчасці, будаўніцтве.
А цяпер выканайце Тэст 1.
Тэст 1
Колькі ўсяго трохвугольнікаў можна назваць на рысунку?
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 53
8.2. Роўныя трохвуголычікі
Роўныя трохвугольнікі можна сумясціць накладаннем так, што адпаведна супадуць усе тры стараны і ўсе тры вуглы (рыс. 103). У трохвугольніках, якія супалі, гэта значыць у роўных трохвугольніках, супраць роўных старон ляжаць роўныя вуглы, а супраць роўных вуглоў — роўныя стораны. Калі ААВС AA^^j^ і АВ =А1В1, то ZC = ZCX, а калі ZB = ZBX, to AC =A1C1.
Для сумяшчэння роўных адрэзкаў дастаткова супадзення іх канцоў, а для сумяшчэння роўных трохвугольнікаў — супадзення іх вяршынь.
Рыс. 103
А цяпер выканайце Тэст 2.
Тэст 2
Якія трохвугольнікі, на ваш погляд, можна сумясціць накладаннем?
№1
№2
8.3. Віды трохвугольнікаў
Калі ў трохвугольніка ўсе тры стараны рознай даўжыні, то такі трохвугольнік называецца рознастароннім.
Трохвугольнік, у якога дзве стараны роўныя, называецца раўнабедраным. Яго роўныя стораны называюцца бакавымі старанамі, трэцяя старана — асновай, вяршы
~ вяршыня
ня, супрацьлеглая аснове, — вяршыняй рауна /
бедранага трохвугольніка (рыс. 104). в/
Калі ў трохвугольніка роўныя ўсе тры стараны, то ён называецца роўнастароннім $ Д (рыс. 105). Роўнастаронні трохвугольнік з’яў ^ " "%
ляецца таксама і раўнабедраным, дзе любую па / ру старон можна прыняць за бакавыя стораны.
Па велічыні вуглоў трохвугольнікі падзяля аснова юцца на востравугольныя (усе вуглы вострыя), Рыс. 104
54 Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў
роўнастаронні
Рыс. 105
востравугольны
тупавугольны
прамавугольны
Рыс. 106
тупавугольныя (ёсць тупы вугал) і прамавугольныя (ёсць прамы вугал) (рыс. 106).
А цяпер выканайце Тэст 3.
Падвядзём вынікі.
Трохвугольнікам называец
Тэст 3
Ці з’яўляецца ААВС раўнабедраным, калі РАВС = 31 см, АВ = 12 см, ВС = 7 см?
ца трохзвённая замкнутая ло
маная разам з часткай плоска \
сці, якую яна абмяжоўвае.
Перыметрам трохвугольніка (многавугольніка) называецца сума даўжынь яго старон.
Роўнымі трохеугольнікамі назыеаюцца трохвугольнікі, якія можна сумясціць накладаннем.
Раўнабедраным трохвугольнікам называецца трохвугольнік, у якога дзве стараны роўныя.
Роўнастароннім трохвугольнікам называецца трохвугольнік, у якога ўсё стораны роўныя.
Уласцівасць роўных трохвугольнікаў. У роўных трохвугольніках супраць роўных старон ляжаць роўныя вуглы, а супраць роўных вуглоў — роўныя стораны.
Заўвага. Называючы або запісваючы роўныя трохвугольнікі, імкнуцца захоўваць паслядоўнасць адпаведных вяршынь. У многіх выпадках гэта зручна. Аднак рабіць так неабавязкова. Абодва запісы: ААВС = = AKNM і ABAC = AKNM — правільныя. Часам адпаведныя вяршыні роўных трохвугольнікаў абазначаюць аднымі і тымі ж літарамі, дадаючы да літар аднаго з трохвугольнікаў індэкс: ААВС = АА.^^^ Пры такім запісе маюць на ўвазе, што адпаведнымі з’яўляюцца вяршыні A і А1; В і Вг, С і Ср
Глава 2. Прыметы роўнасці трохвугольнікаў 55
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
51. Трохвугольнікі ABC і MNK можна сумясціць накладаннем. Пры гэтым супадуць ZA і АК, AB і AM. Калі АВ = = 5 см, ВС = 6 cm, AC =7 см, то чаму роўныя даўжыні старон MN, NK і МК трохвугольніка MNK?
52. Трохвугольнікі ABC і KED роўныя, прычым ABED, ACKD, АА=60°, ZB = 90°, ZC = 30° см. Вызначыце градусныя меры вуглоў К, Е і D трохвугольніка KED.
КНІГІ ОНЛАЙН
