Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
196. У ZABC ZA = 40°, ZC = 60°, АК=АВ, СМ = СВ (рыс. 242). Знайдзіце вугал КВМ.
197. Дадзены прамавугольны ZABC,
ZC = 90°, СК — вышыня ZABC, CM — бісектрыса ZACK. Дакажыце, што ZBMC — раўнабедраны.
198. У акружнасці з цэнтрам О праведзены дыяметр АВ і хорда AC. Дакажыце, што ZCAB= ^ZCOB.
199*. У трохвугольніку ABC ZA = 60°, ZC= 70°, вышыні АйГ і CM трохвугольніка перасякаюцца ў пункце Н. Знайдзіце вугал МНК.
200*. У трохвугольніку ABC бісектрыса ВК і вышыня АН перасякаюцца ў пункце О. Вугал АОВ у 2 разы большы за вугал ABC. Знайдзіце вугал ABC.
201*. На аснове AC раўнабедранага ZABC узяты пункт D, і аказалася, што AD = BD, DC = BC. Знайдзіце вуглы ZABC.
202*. Знайдзіце вугал а (рыс. 243) (калі на чарцяжы неабходна вылучыць чатыры або больш вуглоў, то іх адзначаюць адной дугой).
Рыс. 243
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
Ведаем
1. Тэарэму пра суму вуглоў трохвугольніка.
2. Уласцівасць вуглоў роўнастаронняга трохвугольніка.
3. Уласцівасць вострых вуглоў прамавугольнага трохвугольніка.
4. Азначэнне і ўласцівасць знешняга вугла трохвугольніка.
Умеем
1. Адлюстроўваць знешнія вуглы дадзенага трохвугольніка.
2. Даказваць тэарэму пра суму вуглоў трохвугольніка.
3. Даказваць тэарэму пра ўласцівасць знешняга вугла трохвугольніка.
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка 119
Геаметрыя 3D
Задача 1. DABC — правільная трохвугольная піраміда, пункт К — сярэдзіна канта DC, ААКВ = 50°. Знайдзіце ZKAB (рыс. 244).
Рашэнне. Паколькі піраміда правільная, то трохвугольнікі ADC і BDC — роўныя раўнабедраныя, AD = BD, BD = CD, AADC = ABDC. Тады /\ADK = /\BDK па двух старанах i вугле паміж імі. Адсюль АКВК, /ХАКВ — раўнабедраны, 180°50°
АКАВ == 65°.
2
Адказ: 65°.
Задача 2. Зрабіце чарцёж дадзенай піраміды DABC, дадзенай у задачы. 1. Адзначце сярэдзіну М канта AD і знайдзіце вуглы трохвугольніка BMC.
Рэальная геаметрыя
Хакеіст пасылае шайбу з пункта А пад вуглом 20° да правага борта (рыс. 245). Шайба, адбіваючыся ад борта, трапляе ў зону праціўніка і, адбіўшыся другі раз ад борта за варотамі, выходзіць у пункт В пад удар нападаючага. Вызначыце вугал а, калі вядомы закон фізікі: вугал падзення
роўны вуглу адбіцця. 3 гэтага закону вынікае, што вугал паміж траекторыяй пасланай шайбы і бортам роўны вуглу паміж траекторыяй адбітай шайбы і гэтым бортам.
Цікава ведаць. У Рэспубліцы Беларусь вялікая ўвага надаецца папулярызацыі хакея. Пры ўдзеле Прэзідэнцкага спартыўнага клуба праходзіць рэспубліканскі турнір аматарскіх падлеткавых каманд «Залатая шайба», міжнародны Калядны турнір на прыз Прэзідэнта Рэспублікі Беларусь. У рэйтынгу Міжнароднай федэрацыі хакея нацыянальная зборная Беларусі знаходзіцца ў дзясятцы лепшых ка
манд сусвету.
120 Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
§ 21. Суадносіны паміж старанамі і вугламі трохвугольніка
Можна заўважыць, што ў трохвугольніку даўжыні старон звязаны з велічынямі супрацьлеглых вуглоў наступным чынам: большай старане адпавядае большы супрацьлеглы вугал, а меншай старане — меншы. Так, у трохвугольніку ABC став рана AC — большая, старана АВ — сярэдняя, старана ВС — меншая, АВ — большы, AC — сярэдні, A A — меншы (рыс. 246). Гэта A С гіпотэза знаходзіць пацверджанне ў наступ
Рыс. 246 нан тэарэме.
Тэарэма (пра суадносіны паміж старанамі і вугламі ў трохвугольніку).
У трохвугольніку супраць большай стараны ляжыць большы вугал, а супраць большага вугла ляжыць большая старана.
^ Тэарэма складаецца з двух сцверджанняў. X \ Дакажам кожнае з іх.
A + 1) У трохвугольніку супраць большай ста
раны ляжыць большы, вугал.
аА—ІААС дадзена: ААВС, АВ>ВС (рыс. 247).
Рыс. 247 Даказацы AC > АА.
Доказ. На большай старане ВА ад вяршыні В адкладзём адрэзак BD, роўны меншай старане ВС, і правядзём адрэзак CD. Атрымаем раўнабедраны ADBC, у якога вуглы пры аснове роўныя, гэта значыць ABDC = ABCD. Але ABDC — знешні для трохвугольніка ADC, і таму ABDC большы за АА. Значыць, і ABCD большы за ZA А паколькі AC большы за ABCD, то AC большы за АА. Сцверджанне даказана.
в 2) У трохвугольніку супраць большага вугла
А\ ляжыць большая старана.
\ Дадзена: ААВС, AC > АА (рыс. 248).
\ Д аказаць: AB > ВС.
AЛ Доказ. Выкарыстаем метад доказу ад адРыс 248 варотнага. Няхай AC > АА, a AB < ВС. Калі
Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка 121
AB < ВС, то па першай частцы тэарэмы ZC < ZA. Атрымалі супярэчнасць з умовай. КаліАВ = ВС, то ЛАВС раўнабедраны, і тады ZAZC. Ізноў атрымалі супярэчнасць. Такім чынам, AB > ВС. Сцверджанне даказана.
A
Рыс. 249
Тэст 1
У ААВС вызначыце найбольшую старану.
Вынік 1.
Катэт прамавугольнага трохвугольніка меншы за гіпатэнузу.
Вынік 1 справядлівы, паколькі катэт ляжыць супраць вострага вугла, а гіпатэнуза — супраць прамога, які большы за востры (рыс. 249).
А цяпер выканайце Тэст 1.
Азначэнне. Калі AC — перпендыкуляр да прамой а, пункт В належыць прамой а і не супадае з пунктам С, то адрэзак АВ называецца нахіленай, праведзенай з пункта А да прамой а (рыс. 250). Пункт В называецца асновай нахіленай. Адрэзак ВС, які злучае аснову нахіленай і аснову перпендыкуляра, называецца праекцыяй нахіленай АВ на прамую а.
Вынік 2.
Калі з аднаго пункта да прамой праведзены перпендыкуляр і нахіленая, то перпендыкуляр і праекцыя нахіленай меншыя за саму нахіленую.
Вынік 2 справядлівы, паколькі ў прамавугольным трохвугольніку катэт меншы за гіпатэнузу.
Азначэнне. Адлегласцю ад пункта да прамой называецца даўжыня перпендыкуляра, апушчанага з пункта на прамую.
122 Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
Калі пункт ляжыць на прамой, то гэта адлегласць роўна нулю.
3 выніка 2 выцякае, што даўжыня перпендыкуляра, апушчанага з дадзенага пункта на прамую, — гэта найкарацейшая адлегласць ад дадзенага пункта да пунктаў прамой.
На рысунку 251, а адлегласць ад пункта М да прамой т роў
ная даўжыні перпендыкуляра МК.
Адлегласць ад вяршыні А трохвугольніка ABC да прамой ВС,
якая змяшчае процілеглую старану, роўная яго вышыні АК трохвугольніка (рыс. 251, б).
У матэматыцы за адлегласць паміж фігурамі прымаецца найменшая адлегласць паміж пунктамі гэтых фігур.
А цяпер выканайце Тэст 2.
Заданні да § 21
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Тэст 2
Знайдзіце адлегласць ад пункта А да прамой а.
Задача 1. Адрэзак AM — перпендыкуляр да прамой а. Пункты В і С ляжаць на прамой a па адзін бок ад пункта М
(рыс. 252). Даказаць, што калі CM < ВМ, mo AC <АВ.
Доказ. Паколькі ААМС — прамавугольны, то ААСМ — востры. Тады сумежны да яго ААСВ — тупы. У трохвугольніку ABC вугал АСВ — найбольшы, таму ААСВ > ААВС. Паколькі ў трохвугольніку супраць большага вугла ляжыць большая старана, to AC <АВ. Што і трэба было даказаць.
Заўвага. Рашыце дадзеную задачу пры ўмове, што пункты В і С ляжаць на прамой а па розныя бакі ад пункта М. Тады будзе даказана ўласцівасць: «Калі нахіленыя праведзены з аднаго пункта да адной прамой, то большай праекцыі адпавядае большая нахіленая, а меншай — менійая».
Глава4. Сума вуглоў трохвугольніка 123
Задача 2. Дадзены. раўнабедраны прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай 12 см. Знайсці адлегласць ад вяршыні прамога вугла да прамой, якая змяшчае гіпатэнузу.
Рыс. 253
Рашэнне. Няхай у ААВС АСВС, ZC = 90°, АВ = 12 см (рыс. 253). Па ўласцівасці раўнабедранага трохвугольніка ZA = ZB = 45°. Правядзём вышыню СК. Даўжыня адрэзка СК —^ шуканая адлегласць. У раўнабедраным трохвугольніку АСВ вышыня СК, апушчаная на аснову АВ, будзе медыянай і бісектрысай. Таму АК = КВ =
= |АВ = 6 см, ZACK = ^ZACB = 45°. У прамавугольным ААСК ZACK = ZCAK = 45°. Таму ZACK — раўнабедраны і СК=АК = = 6 см. Адказ: 6 см.
Заўвага. У далейшым будзем карыстацца тым, што вышыня раўнабедранага прамавугольнага трохвугольніка, праведзеная да гіпатэнузы, роўная палове гіпатэнузы.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
203. Запішыце стораны і вуглы трохвугольніка ABC, разме
шчаныя па ўзрастанні (рыс. 254).
204.
У ZABC, дзе AB < ВС < AC, адзін з вуглоў у 2 разы меншы за другі і ў 3 разы меншы за трэці. Знайдзіце ZA.
205. Дакажыце, што для нахіленых, праведзеных з аднаго пункта да адной прамой, справядліва: а) роўным нахіленым, праведзеным з аднаго пункта да адной прамой, адпавядаюць роўныя праекцыі; б) большай нахіленай адпавядае большая праекцыя.
124 Глава 4. Сулла вуглоў трохвугольніка
206. Трохвугольнік ABC — роўнастаронні, М — унутраны пункт адрэзка ВС. Дакажыце, што AM <АВ.
207. У трохвугольніку MNK медыянаМЕ роўна 12 cm, ANME = = АКМЕ. Знайдзіце адлегласць ад пункта М да прамой KN.
208*. Дакажыце, што сума вышынь трохвугольніка меншая за яго перыметр.
209*. У трохвугольніку ABC (AB < ВС) ВН — вышыня, ВМ — медыяна. Дакажыце, што:
a) ZABH < АСВН; б) ZABM > АСВМ.
210*. Дакажыце, што калі з адной вяршыні нераўнабедранага трохвугольніка правесці вышыню, медыяну і бісектрысу, то бісектрыса будзе ляжаць паміж вышынёй і медыянай.
§ 22. Няроўнасць трохвугольніка
В Вопыт нам падказвае, што шлях з пункта
А ў пункт С па прамой AC карацейшы, чым па ломанай ABC (рыс. 255), г. зн. АС<АВ + ВС. Дакажам гэта.
Рыс. 255
Тэарэма (пра няроўнасць трохвугольніка).
Любая старана трохвугольніка меншая за суму дзвюх іншых яго старон.
Дадзена: ЛАВС (рыс. 256).
Даказаць: AC < AB + ВС, AB < AC + ВС, ВС<АВ+АС.
Д оказ. Няхай AC — найбольшая старана ЛАВС. Правядзём вышыню ВН. 3 прамавугольнага ААНВ вынікае АН <АВ (катэт меншы за гі
патэнузу). Аналагічна з /\СНВ НС < ВС. Склаўшы няроўнасці, атрымаем AH + НС < AB + ВС. Адкуль AC < AB + ВС. Дзве іншыя няроўнасці АВ<АС + ВС і ВС<АС+АВ справядлівыя, паколькі AC — найбольшая старана трохвугольніка. Тэарэма
даказана.
Глава 4. Сулла вуглоўтрохвугольніка 125
Для старон a, b і с трохвугольніка можна запісаць няроўнасці: a < b + с, с < a + b, b < а + с. Кожная з трох дадзеных няроўнасцей называецца няроўнасцю трохвугольніка.
Вынік 1.
Калі для пунктаў A, В і С правільна, што AB AC + ВС, то гэтыя пункты ляжаць на адной прамой. Пры гэтым пункт С ляжыць паміж пунктамі A і В.
Дакажыце вынік 1 самастойна, выкарыстоўваючы метад доказу ад адваротнага.
Вынік 2.
Даўжыня адрэзка, які злучае канцы незамкнутай ломанай, меншая за даўжыню ломанай.
На рысунку 257 адлюстравана незамкнутая ломаная ABCDE. Дакажам, што АЕ < AB + ВС + + CD + DE. Злучым пункт А з пунктамі С і D адрэзкамі. Па няроўнасці трохвугольніка AC < AB + ВС і AD < AC + CD. Значыць, AD < AB + + ВС + CD. Паколькі па няроўнасці трохвугольніка АЕ < AD + DE, то АЕ < AB + ВС + CD + DE.
КНІГІ ОНЛАЙН
