Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
Знайсці пункт — гэта значыць пабудаваць яго пры дапамозе цыркуля і лінейкі. Калі перамяшчаць некаторы пункт па прамой а (становішчы Кг, К2, К3), то адлегласці ад гэтага пункта да пунктаў A і В будуць мяняцца. Калі гэтыя адлегласці стануць роўнымі, пункт на прамой будзе роўнааддалены ад канцоў адрэзка АВ. Значыць, ён будзе ляжаць на пасярэднім перпендыкуляры да адрэзка АВ. Гэта і ёсць ідэя пабудовы: трэба пабудаваць пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка АВ і знайсці пункт яго перасячэння з прамой а.
Рыс. 293
Глава 5. Задачы на пабудову 149
Каб пабудаваць пасярэдні перпендыкуляр, трэба пабудаваць дзве перасякальныя акружнасці роўных радыусаў з цэнтрамі ў пунктах A і В (рыс. 293, б). Затым правесці прамую MN праз пункты перасячэння гэтых акружнасцей (ніжэй мы абгрунтуем гэту пабудову). У перасячэнні пасярэдняга перпендыкуляра MN да адрэзка АВ і прамой а атрымаем шуканы пункт К.
Разгледжаная задача можа мець і практычны сэнс. Дапусцім, ёсць два населеныя пункты і шаша побач з імі. На шашы трэба знайсці месца для прыпынку, каб шлях для жыхароў абодвух населеных пунктаў да прыпынку быў аднолькавым. Усе пабудовы будуць зроблены на карце населенага пункта.
Пры рашэнні задач на пабудову лінейка лічыцца аднабаковай і без дзяленняў. Пры дапамозе такой лінейкі нельга пабудаваць дзве паралельныя прамыя, правёўшы лініі па краях лінейкі, нельга вымяраць і адкладаць адрэзкі, нельга будаваць перпендыкуляры, выкарыстоўваючы прамавугольную форму лінейкі. Разгледзім, якія аперацыі можна выконваць лінейкай, а якія цыркулем.
Аперацыі лінейкі
Пры дапамозе лінейкі можна правесці (пабудаваць):
а) адвольную прамую;
б) прамую, якая праходзіць праз два пункты (рыс. 294).
Аперацыі цыркуля
Пры дапамозе цыркуля можна:
а) пабудаваць адвольную акружнасць і акружнасць (дугу акружнасці) з дадзеным цэнтрам і радыусам, роўным дадзенаму адрэзку (рыс. 295);
б) адкласці адрэзак, роўны дадзенаму адрэзку, на некаторай прамой.
Рыс. 294
Рыс. 295
150 /лаеа5. Задачы на пабудову
b
Адкладанне адрэзка
Для адкладання адрэзка, роўнага дадзенаму адрэзку a (рыс. 296, а) на прамой I (рыс. 296, б), неабходна: 1) адзначыць на прамой I пункт М', 2) радыусам, роўным а, правесці дугу акружнасці з цэнтрам у пункце М (зрабіць засечку на прамой I).
У перасячэнні дугі і прамой I атрымаем пункт К і адрэзак МК, роўны а.
Аперацыя адкладання адрэзка на прамой дазваляе пабудаваць суму і рознасць двух адрэзкаў (рыс. 297): у першым выпадку на адвольнай прамой адкладаюць паслядоўна два адрэзкі, у другім — на большым адрэзку ад любога яго канца адкладаюць меншы адрэзак.
У далейшым пры рашэнні задач на пабудову мы не будзем апісваць працэдуру адкладання адрэзка на прамой, лічачы яе элементарнай аперацыяй.
Пералічым 5 асноўных задач на пабудову, да якіх зводзяцца іншыя задачы. Рашаючы складаныя задачы, будзем спасылацца на гэтыя асноўныя, не апісваючы тую частку рашэння, што звязана з адной з асноўных задач.
Задача I. Пабудова трохвугольніка па трох старанах.
Задача II. Пабудова вугла, роўнага дадзенаму.
Задача III. Пабудова бісектрысы вугла.
Задача IV. Пабудова сярэдзіны адрэзка.
Задача V. Пабудова прамой, перпендыкулярнай дадзенай.
У некаторым сэнсе «лінейка» і «цыркуль» — гэта два ідэальныя робаты, якія могуць выконваць пэўны набор аперацый. I наша задача — скласці алгарытм з паслядоўнасці такіх аперацый — каманд для гэтых робатаў, што прывядзе да
Глава 5. Задачы на пабудову 151
пабудовы неабходнай фігуры. Фактычна трэба напісаць праграму для «цыркуля» і «лінейкі».
Заўвага. У трохвугольніку ABC стораны, супрацьлеглыя вуглам A, В і С, будзем адпаведна абазначаць a, b і с, a самі гэтыя вуглы — a, Р і у (рыс. 298). Медыяны, праведзеныя да старон а, b і с, — та, ть і тс, вышыні — ha, hb і hc, бісектрысы — Іа, Іь і Іс.
Заданні да § 27
Перанясіце ў сшытак пункты A, В, С, М, N, К і выканайце заданні 1—5 (рыс. 299).
1. Пры дапамозе лінейкі пабудуйце прамую AN, прамень ВА, адрэзак CM.
2. На прамой AN пры дапамозе цыркуля адкладзіце адрэзак AQ, роўны адрэзку CM; на прамені ВА ад яго вяршыні адкладзіце адрэзак BE, роўны патроенаму адрэзку ВС.
3. Пры дапамозе цыркуля пабудуйце акружнасць з цэнтрам у пункце М і радыусам, роўным адрэзку ВС.
4. Знайдзіце пункты L і Т перасячэння пабудаванай акружнасці і прамой AN.
5. Знайдзіце пункты D і F перасячэння пабудаванай акружнасці з акружнасцю з цэнтрам у пункце К і радыусам, роўным адрэзку ВС; пабудуйце пункт G перасячэння хорды DF і адрэзка МК.
в. к
,с
м*
A.
Рыс. 299 * N'
. 152 Глава 5. Задачы на пабудову
§ 28. Пабудова трохвугольніка па трох старанах.
Пабудова вугла, роўнага дадзенаму
Задача I. Пабудаваць трохвугольнік са старанамі a, b і с.
Рашэнне. Няхай дадзены адрэзкі a, b і с. На адвольнай прамой адкладаем адрэзак АВ = с (рыс. 300). Будуем акружнасць з цэнтрам у пун
кце А радыусам Ь. Будуем акружнасць з цэнтрам у пункце В радыусам а. Знаходзім пункт С перасячэння гэтых акружнасцей. Правядзём адрэзкі AC і ВС. Трохвугольнік ABC — шуканы, паколькі ў яго ВС = a, AC = b, АВ = с па пабудове.
Задача мае рашэнне, калі для дадзеных адрэзкаў a, b і с выконваецца няроўнасць трохвугольніка: a
КНІГІ ОНЛАЙН
