Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
Каб даказаць, што дадзеныя тры лікі не могуць быць даўжынямі старон трохвугольніка, дастаткова пераканацца, што большы з гэтых лікаў не меншы за суму двух іншых лікаў. Напрыклад, трохвугольніка 12 са старанамі 21, 12, 35 не існуе, паколькі 35 не выконваецца няроўнасць трохвугольніка: Рыс. 258
35 >12 + 21 (рыс. 258).
Тэст
Дзве стараны трохвугольніка роўны 5 см і 7 см. Ці можа перыметр гэтага трохвугольніка быць роўным 25 см?
Заўвага. 3 няроўнасцей трохвугольніка a (AB + ВС +АС) (рыс. 261, а). Высветліце, ці будзе аналагічнае сцверджанне правільным для чатырохвугольнай піраміды PABCD (рыс. 261, б).
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
Ведаем
1. Тэарэму пра суадносіны паміж старанамі і вугламі трохвугольніка.
2. Суадносіны катэта і гіпатэнузы, перпендыкуляра і нахіленай.
3. Азначэнне адлегласці ад пункта да прамой.
4. У чым заключаецца няроўнасць трохвугольніка.
128 Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
Умеем
1. Па даўжынях старон трохвугольніка вызначаць, які яго вугал з’яўляецца найбольшым, а які — найменшым. Па велічынях вуглоў вызначаць, якая старана трохвугольніка найбольшая, якая — найменшая.
2. Даказваць, што катэт меншы за гіпатэнузу.
3*. Даказваць тэарэму пра суадносіны старон і вуглоў трохвугольніка.
4*.Даказваць тэарэму пра няроўнасць трохвугольніка.
§ 23. Прыметы роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў
Вы ўжо ведаеце тры прыметы роўнасці трохвугольнікаў. Паколькі часта даводзіцца мець справу з прамавугольнымі трохвугольнікамі, то вылучаюць пяць прымет роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў. Сфармулюем і дакажам іх.
Першая прымета (па двух катэтах).
Калі катэты аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя двум катэтам іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
Дадзена: ААВС і AA^Ci, ZC = 0^90°, АС=А1С1, ВС = В1С1 (рыс. 262).
Даказаць: /\АВС = АА^ВуС^.
Доказ. ЛАВС = ЛА^^! па дзвюх старанах і вугле паміж імі.
Другая прымета (па катэце і прылеглым вострым вугл е).
Калі катэт і прылеглы да яго востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэту і прылегламу да яго востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка 129
Рыс. 263
Дадзена: ZABC і /\А1В1С1, ZC = ZC1 = 90°, АС=А1С1, ZA=ZAX (рыс. 263).
Даказаць: /\АВС —/АА^В^С^.
Доказ. ААВС = АА1В1С1 па старане і двух прылеглых да яе вуглах.
Трэцяя прымета (па катэце і процілеглым вострым вугле).
Калі катэт і супрацьлеглы востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэту і супрацьлегламу востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
Рыс. 264
Дадзена: ЛАВС і Z\AXBXCX, ZC = ZC1 = 90°, АС=АХСХ, ZB = ZBX (рыс. 264).
Даказаць: ЛАВС = АА1В1С1.
Доказ. Сума вострых вуглоў прамавугольнага трохвугольніка роўна 90°. 3 таго, што ZB = ZBX, вынікае, што ZA = ZAX. Тады ААВС =/\А1В1С1
па старане і двух прылеглых да яе вуглах.
Чацвёртая прымета (па гіпатэнузе і вострым вугле). Калі гіпатэнуза і востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя гіпатэнузе і востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
Дадзена: ААВС і /ААуВуС^ ZC = ZC1 = 90°, АВ=А1В1, ZA = ZA1 (рыс. 265).
Даказаць: /\АВС = /АА^В^С^
Доказ. Сума вострых вуглоў прамавугольнага трохвугольніка роўна 90°. 3 таго, што ZA = ZA1( вынікае, што ZB — ZB^. Тады △АВС = АА1В1С1 па старане і двух прылеглых да яе вуглах.
130
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка
Пятая прымета (па катэце і гіпатэнузе).
Калі катэт і гіпатэнуза аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэту і гіпатэнузе іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
і AC, а вяршыні Вх
Дадзена: ААВС і АА1В1С1, ZC = ZC1 = 90°, АС=А1С1, АВ=А1В1 (рыс. 266).
Даказаць: ААВС ААХВХСХ.
Д о к а з. Прыкладзём трохвугольнік А1ВХС1 да трохвугольніка ABC так,
каб сумясціліся роўныя катэты А1С1
і В ляжалі па розныя бакі ад прамой AC.
Трохвугольнік А1В1С1 зойме становішча трохвугольннка АВ2С. Паколькі ZB2CB — разгорнуты і АВ2=АВ, то трохвугольнік ВэДВ — раўнабедраны, катэт AC — яго вышыня. Па ўласцівасці раўнабедранага трохвугольніка вышыня, праведзеная да асновы, будзе і медыянай. Тады В2С = СВ і трохвугольнікі ABC іАВ2С роўныя па двух катэтах. Адсюль ААВС = ЛА1В1С1.
Заданні да § 23
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. На рысунку 267 ZB = ZD = 90°, BC=AD. Даказаць роўнасць трохеугольнікаў: a) ААВС і АА DC; б) AAOR і ACOD.
Рыс. 267
Доказ. а) Разгледзім прамавугольныя трохвугольнікі ABC iADC. У іх гіпатэнуза AC — агульная, катэты AD і ВС роўныя па ўмове. Тады ААВС = AADC па катэце і гіпатэнузе. б) 3 роўнасці трохвугольнікаў ABC і ADC
вынікае роўнасць старон AB і CD (даказана ў пункце а). Тады ААОВ = ACOD па катэце (AB = CD) і супрацьлеглым вострым вугле (ZAOB = ZCOD як вертыкальныя).
Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка 131
в Задача 2. Дадзены трохвугольнік ABC, АК і ACM — яго вышыні, праведзеныя да бакавых старон, О — пункт іх перасячэння (рыс. 268). Даказаць, што калі трохвугольнікі АОМ і СОК роўныя, то трохвугольнік ABC — раўнабедраны.
А с Доказ. Паколькі ААОМ = АСОК як вертыкаль
ныя, то АМАО = АКСО (сума вострых вуглоў прамавугольнага трохвугольніка 90°). 3 роўнасці трохвугольнікаў АОМ і СОК вынікае роўнасць гіпатэнуз AO і CO. Трохвугольнік АОС — раўнабедраны, ZOAC = АОСА як вуглы пры аснове раўнабедранага трохвугольніка. Тады ABAC = АВСА як складзеныя з роўных вуглоў. Трохвугольнік ABC раўнабедраны па прымеце раўнабедранага трохвугольніка. Што і трэба было даказаць.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
220. Вызначыце, па якой прымеце роўныя прамавугольныя трохвугольнікі (рыс. 269).
221. Дакажыце, што: а) у раўнабедраным трохвугольніку вышыні, праведзеныя да бакавых старон, роўныя паміж сабой; б) калі ў трохвугольніку роўныя дзве вышыні, то ён раўнабедраны.
222. Дакажыце, што вяршыні A і С трохвугольніка ABC роўнааддаленыя ад прамой, якая праходзіць праз медыяну ВМ.
223. На старанах вугла А ўзяты пункты М і К так, што AM = = АК =12 см. Адлегласць ад пункта М да прамой АК роўна 8 см. Знайдзіце адлегласць ад пункта К да прамой AM.
132 Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка
224. Дакажыце, што роўныя хорды адной акружнасці знаходзяцца на аднолькавай адлегласці ад яе цэнтра. Сфармулюйце адваротнае сцверджанне і дакажыце яго.
225. Дадзены вугал ВАС. На старане AC узяты пункт Е. Праз пункт Е праведзена прамая, перпендыкулярная бісектрысе вугла ВАС, якая перасякае прамень АВ у пункце F, а бісектрысу — у пункце G. Знайдзіце перыметр трохвугольніка AFE, калі АЕ = 12 cm, a FG4 см.
226. Вышыні востравугольнага трохвугольніка ABC, праведзеныя з вяршынь A і С, перасякаюцца ў пункце Н. Дакажыце, што калі AH = СН, то трохвугольнік
ABC раўнабедраны. f1
Аг /
227*. У аснове прамавугольнага паралелепіпеда П ляжыць квадрат ABCD з плошчай 36 cm2 X \ (рыс. 270). Перыметр трохвугольніка DDrC В}\ . Nc роўны 24 см. Дыяганаль A^D грані AA^^D а^ роўна 10 см. Знайдзіце плошчу паверхні па Рьіс 270 ралелепіпеда.
228*. Адзначце на каардынатнай плоскасці пункты А(4; 4), В(2; 8), С(6; 2) і дакажыце, што трохвугольнік ABC — раўнабедраны і прамавугольны.
229*. У востравугольным трохвугольніку ABC вышыні BN і СК перасякаюцца ў пункце Н. Знайдзіце вугал С трохвугольніка ABC, калі СН =АВ.
§ 24. Уласцівасць пунктаў бісектрысы вугла
КНІГІ ОНЛАЙН
