Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
Па азначэнні бісектрыса вугла дзеліць вугал папалам. У бісектрысы ёсць яшчэ адна важная ўласцівасць.
Тэарэма (пра бісектрысу вугла).
Любы пункт бісектрысы вугла роўнааддалены ад старон вугла. Калі пункт унутры вугла роўнааддалены ад старон вугла, то ён ляжыць на бісектрысе вугла.
У дадзенай тэарэме два сцверджанні: прамое і яму адваротнае. Дакажам кожнае з гэтых сцверджанняў асобна.
Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка 133
1) Дадзена: AD — бісектрыса ABAC, Me AD, MKVAB, MN VAC (рыс. 271). Даказаць: MK = MN.
Доказ. Прамавугольныя трохвугольнікі АКМ і ANM роўныя па гіпатэнузе і вострым вугле (гіпатэнуза AM — агульная,
АКАМ ANAM, паколькі AD — бісектрыса). Катэты MK і MN
роўныя як адпаведныя ў двух роўных трохвугольніках.
Рыс. 272
2) Дадзена: ABAC, MK 1 AB, MN VAC, MK = MN, Me AD (рыс. 272).
Даказаць: прамень AD — бісектрыса вугла ВАС.
Доказ. Прамавугольныя трохвугольнікі АКМ і ANM роўныя па катэце і гіпатэнузе (гіпатэнуза AM — агульная, MK = MN па ўмове). Вуглы KAM і NAM роўныя як
адпаведныя ў двух роўных трохвугольніках, адкуль прамень
AD — бісектрыса ABAC. Тэарэма даказана.
3 даказанай тэарэмы вынікае, што бісектрыса з’яўляецца геаметрычным месцам пунктаў, роўнааддаленых ад старон вугла.
Заданні да § 24
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Рыс. 273
Задача 1. У прамавугольным трохвугольніку ABC AC = 90°, АА = 40° (рыс. 273). На катэце AC узяты пункт К так, што КС = 6 см і АКВС = 25°. Знайсці адлегласць ад пункта К да прамой АВ.
Рашэнне. Шуканая адлегласць роўна даўжыні перпендыкуляра КМ да прамой АВ. Паколькі ААВС = 90°АА = 90°40° = 50°, то ААВК = 50° 25° = 25°. Такім чынам, ВК —
134 Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
бісектрыса вугла ABC. Паколькі любы пункт бісектрысы вугла роўнааддалены ад старон вугла, to KM КС = 6 см.
Адказ: 6 см.
Задача 2 (2і адметны пункт трохвугольніка). Даказаць, што
бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце.
Доказ. Правядзём у ААВС бісектрысы вуглоў A і С. Няхай О — пункт іх перасячэння (рыс. 274). Паколькі пункт О ляжыць на бісектрысе АО вугла А, то ён роўнааддалены ад старон вугла А, гэта значыць роўныя перпендыкуляры ON і ОК да старон вугла А. У сувязі з тым што пункт О ляжыць на бісект
рысе CO вугла С, яна роўнааддалена ад старон вугла С. Тады OK = ОМ = ON. Паколькі перпендыкуляры OK і ОМ роўныя, то пункт О роўнааддалены ад старон вугла В. Пункт, роўнааддалены ад старон вугла, ляжыць на бісектрысе гэтага вугла.
Таму бісектрыса вугла В пройдзе праз пункт О, і, такім чы
Рыс. 275
нам, усе тры бісектрысы перасякуцца ў адным пункце.
Заўвага. Пункт перасячэння бісектрыс трохвугольніка з’яўляецца цэнтрам упісанай у яго акружнасці (рыс. 275), якая датыкаецца да ўсіх трох старон трохвугольніка (мае з кожнай са старон толькі адзін агульны пункт).
в
Задача 3. У трохвугольніку ABC бісектрысы вуглоў A і В перасякаюцца ў пункце К. Праз пункт К праведзены адрэзак NM, паралельны старане AC з канцамі на старанах AB і ВС адпаведна; AN = 6 см, МС = 4 см. Знайсці адрэзак NM.
Рашэнне. Паколькі бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, то СК — бісектрыса вугла С (рыс. 276). Трохвугольнік ANK — раўнабедраны. Сапраўды, ZNAK = ZCAK, таму што АК — бісектрыса, ZCAK = ZAKN як накрыжлеглыя пры паралельных прамых NM і AC і сякучай АК, адкуль ZNAK = ZAKN і трохвугольнік ANK —
Рыс. 276
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка 135
раўнабедраны па прымеце раўнабедранага трохвугольніка. Тады NKAN = 6 см. Аналагічна даказваем, што трохвугольнік КМС — раўнабедраны і KM = МС = 4 см. Шуканы адрэзак NM = NK + КМ = 6 + 4 = 10 (см).
Адказ: 10 см.
Заўвага. Рашыўшы задачу 3, мы даказалі, што калі NM\\AC і адрэзак NM праходзіць праз пункт перасячэння бісектрыс, то перыметр ANBM роўны AB + ВС.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
230.
Знайдзіце адрэзак або вугал, адзначаныя пытальнікам (рыс. 277).
Рыс. 277
231. Пункт К знаходзіцца на роўнай адлегласці ад старон вугла ВАС, роўнага 52°. Знайдзіце вугал АКВ.
232. Дадзены трохвугольнік ABC, у якога AC = ВС. На яго старане AC узяты пункт М, роўнааддалены ад прамых AB і ВС, і ААВМ = 35°. Знайдзіце вугал С.
233. У прамавугольным трохвугольніку ABC з вяршыні прамога вугла С праведзена бісектрыса СЕ. 3 пункта Е на стораны СА і СВ апушчаны адпаведна перпендыкуляры EK і ЕМ. Знайдзіце перыметр чатырохвугольніка КСМЕ, калі ЕК = 7,5 см.
234. Дакажыце, што адлегласці ад сярэдзіны асновы раўнабедранага трохвугольніка да прамых, якія праходзяць праз бакавыя стораны, роўныя паміж сабой.
235. У трохвугольніку ABC бісектрысы АК і CM перасякаюцца ў пункце О так, што AO = CO. Дакажыце, што прамыя BO і AC перпендыкулярныя.
136 Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка
236*. У трохвугольніку ABC бісектрысы, праведзеныя з вяршынь В і С, і медыяна, праведзеная з вяршыні А, перасякаюцца ў пункце 0. Вугал ВОС роўны 130°. Знайдзіце вугал ВАС.
237*. Дадзены вугал ВАС, АК — яго бісектрыса. Пункт М ляжыць унутры вугла ВАК. Дакажыце, што адлегласць ад пункта М да прамой АВ меншая за адлегласць ад пункта М да прамой AC.
ПАДВОДЗІМ ВЫНІКІ
Ведаем
1. Пяць прымет роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў.
2. Тэарэму пра бісектрысу вугла.
Умеем
1. Даказваць прыметы роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў.
2. Даказваць тэарэму пра бісектрысу вугла.
§ 25. Уласцівасць катэта прамавугольнага трохвугольніка, які ляжыць супраць вугла ў 30°
Тэарэма (пра катэт, які ляжыць супраць вугла ў 30°). Катэт прамавугольнага трохвугольніка, які ляжыць супраць вугла ў 30°, роўны палове гіпатэнузы.
Дадзена: ААВС, AC = 90°, ZA = 30° (рыс. 278). Даказаць: ВС ^АВ.
Доказ. На прамені ВС адкладзём адрэзак СВХ, роўны адрэзку ВС. Паколькі ААВХС = ААВС па двух катэтах (катэт AC — агульны), то АВ^АС = = ABAC = 30°, АВАВ^ЫЎ. Але АВ = АВ1 = 60°. Вядома (задача № 89), што калі ў трохвуголь
Рыс. 278
Глава 4. Сума вуглоў трохвугольніка 137
ніку ўсе вуглы роўныя, то ён роўнастаронні. Адсюль ААВВХ — роўнастаронні, АВВВ^ ВС = ^ ^^ = ^АВ. Тэарэма даказана.
Правільнае і сцверджанне, адваротнае дадзенаму. Дакажам яго.
Тэарэма. Калі ў прамавугольным трохвугольніку катэт роўны палове гіпатэнузы, то гэты катэт ляжыць супраць вугла ў 30°.
па 60°, а яго
Доказ. Няхай у трохвугольніку ABC ZC = 90°, AB = с, ВС = ^ (рыс. 279). Дакажам, што ZBAC = = 30°. Прадоўжым катэт ВС на яго даўжыню: СВХ = ВС. 3 роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў АСВХ іАСВ (па двух катэтах) вынікае, што АВХ АВ = ВВХ = с. Значыць, трохвугольнік АВВХ — роўнастаронні, усе яго вуглы роўны вышыня AC з’яўляецца і бісектрысай. Таму
ZBAC = 30°. Што і трэба было даказаць.
Заданні да § 25
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. У прамавугольным трохвугольніку ABC, у якога ZC90°, ZA=3Q°, праведзена вышыня CD. Знайсці адрэзак AD, калі BD = 8 см.
Рашэнне. Паколькі вугал А і вугал BCD
8 d дапаўняюць вугал В да 90°, to ZBCD = ZA = 30°
А (рыс. 280). У прамавугольным трохвугольніку
' CDB катэт BD ляжыць супраць вугла ў 30°.
А ТамУ CB = 2BD=16 см. У трохвугольніку ABC катэт ВС ляжыць супраць вугла ў 30°. Таму АВ = 2ВС = 32 см. Адсюль AD=ABBD = 32 8 = 24 (см).
Адказ: 24 см.
Заўвага. Мы даказалі, што BC = 2BD, AB = 2BC = ABD, AD=AB BD = 3BD, г. зн. у прамавугольным трохвугольніку з вуглом 30° вышыня дзеліць гіпатэнузу ў адносіне 1:3.
138 Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка
Задача 2. Дадзены прамавугольны трохвугольнік з вуглом 15°. Вышыня, праведзеная на гіпатэнузу, роўна 2 см. Знайсці гі
патэнузу.
С Рашэнне. Няхай у трохвугольніку ABC /'2'4^ ZACB = 90°, ZB = 15°, СН = 2 см — вышыня Я\, 15° ( в (рыс. 281). Трэба знайсці АВ. Правядзём н м медыяну CM трохвугольніка ABC.
Рыс. 281 Паколькі ў прамавугольным трохвугольніку медыяна, праведзеная да гіпатэнузы, роўная палове гіпатэнузы, то СМ = МВ. Трохвугольнік СМВ — раўнабедраны, ZMCB = ZCBM =15°, ZAMC — яго знешні вугал. Па ўласцівасці знешняга вугла ZAMC = ZMCB +ZMBC = 15°+15° = 30°. У прамавугольным трохвугольніку СНМ катэт СН ляжыць супраць вугла ў 30°, таму ён роўны палове гіпатэнузы CM. Адсюль CM = 2СН = 4 cm, AB = 2СМ = 8 см.
Адказ: 8 см.
РАШАЕМ САМАСТОЙНА
238. Знайдзіце адрэзак або вугал, абазначаныя пытальнікам (рыс. 282). Растлумачце свой адказ.
Рыс. 282
239. У прамавугольным трохвугольніку ABC ZC = 90°, ZB = = 60°, AB + ВС= 111 см. Знайдзіце AB.
24G У трохвугольніку ABC праведзена бісектрыса ВК. Сума адлегласцей ад пункта К да прамых BA і ВС роўна 19 см, ZC = 30°. Знайдзіце КС.
241. У прамавугольным трохвугольніку ABC да гіпатэнузы АВ праведзена медыяна CM. Знайдзіце вугал паміж прамымі CM і АВ, калі ВС = 7,5 см, АВ = 15 см.
Глава 4. Сума вуглоўтрохвугольніка 139
242. У раўнабедраным трохвугольніку ABC (AB = ВС) АВ = = 120°, вышыня АН роўная 16 см. Знайдзіце аснову AC.
243. У трохвугольніку ABC праведзена вышыня ВН, медыяна ВМ, ВМ=^АС, ZA = 60°, НМ = 24 см. Знайдзіце НС. 2
244. Сума двух вуглоў трохвугольніка роўная трэцяму, а два меншыя вуглы адносяцца як 1:2. Большая старана роўна 48 см. Знайдзіце адрэзкі, на якія вышыня, апушчаная з вяршыні найбольшага вугла трохвугольніка, дзеліць процілеглую старану.
245*. На рысунку адлюстраваны зялёны газон, які мае форму прамавугольніка (рыс. 283). Дарожка AC утварае ву
гал 30° са староной DC, дарожка DO праходзіць праз сярэдзіну дарожкі AC. Дарожка DK перпендыкулярная дарожцы AC. Адлегласць КО роўна 8 м. Знайдзіце даўжыню дэкаратыўнага плота, які агароджвае трохвугольны ўчастак AOD.
Рыс. 283
§ 26. Адлегласць паміж паралельнымі прамымі
Азначэнне. Адлегласцю паміж паралельнымі прамымі называецца адлегласць ад пункта, узятага на адной з гэтых прамых, да другой прамой.
Калі а || b іАВ ± Ь, то адлегласць паміж прамымі a і b роўная
даўжыні перпендыкуляра АВ (рыс. 284). Гэта адлегласць будзе найменшай з усіх адлегласцей ад пункта А да а a пунктаў прамой Ь. Наступная тэарэма гарантуе, што адлегласці ад усіх пунктаў адной з паралельных прамых да другон прамон роуныя па в між сабой. рЬІС 284
140 Глава4. Сума вуглоўтрохвугольніка
Тэарэма (пра адлегласць паміж паралельнымі прамымі).
Усе пункты кожнай з дзвюх паралельных прамых роўнааддаленыя ад іншай прамой.
Д ад зена: а\\ b, Ае a, С & a, AB ± b, CD ± Ь. Даказаць: AB = CD (рыс. 285).
КНІГІ ОНЛАЙН
