Алгебра
Выдавец: Народная асвета
Памер: 317с.
Мінск 2017
Гімнастыка розуму
Вызначыце візуальна, гэта значыць на вока, на якім з рысункаў адлюстраваны паралельныя адрэзкі (рыс. 185). Праверце ваш адказ лінейкай.
Рыс. 185
§ 16. Аксіёма паралельных прамых
Вы ўжо ведаеце, што на плоскасці праз пункт, які не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці прамую, паралельную дадзенай (гл. § 15). 3 пятага пастулата Эўкліда (пастулат — аксіяматычнае дапушчэнне) вынікае, што такая пра
мая — адзіная.
М. I. Лабачэўскі
На працягу двух тысячагоддзяў вакол сцверджання пра адзінасць паралельнай прамой разыгрывалася захапляльная і драматычная гісторыя! 3 часоў Старажытнай Грэцыі матэматыкі спрачаліся пра тое, можна даказаць пяты пастулат Эўкліда ці не. Гэта значыць тэарэма гэта ці аксіёма? Урэшце рэшт працы рускага матэматыка М. I. Лабачэўскага (1792—1856) дазволілі высветліць, што даказаць пяты пастулат нельга. Таму гэта сцверджанне з’яўляецца аксіёмай.
Аксіёма паралельных прамых. Праз пункт, які не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці толькі адну прамую, паралельную дадзенай.
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 95
b ——^^^ Калі прамая b праходзіць праз пункт М і паралельная прамой а (рыс. 186), то любая іна шая прамая, якая праходзіць праз пункт М,
Рыс. 186 будзе перасякацца з прамой а ў некаторым пункце, няхай і досыць аддаленым.
Пошукі доказу пятага пастулата Эўкліда прывялі да развіцця матэматыкі і фізікі, да перагляду навуковых уяўленняў пра геаметрыю Сусвету. Вырашаючы праблему пятага пастулата, Лабачэўскі стварыў новую геаметрыю, з новымі аксіёмамі, тэарэмамі, якая адрозніваецца ад геаметрыі Эўкліда і зараз так і называецца — геаметрыя Лабачэўскага.
Вы ўжо ведаеце, што на плоскасці дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя паміж сабой. А калі дзве прамыя паралельныя трэцяй прамой, то што можна сказаць пра першыя дзве прамыя? На гэта пытанне адказвае наступная тэарэма.
Тэарэма (пра дзве прамыя, паралельныя трэцяй).
На плоскасці дзве прамыя, паралельныя трэцяй, паралельныя паміж сабой.
ь _ м Дадзена: a || с, b || с (рыс. 187). а Даказаць: а || Ь.
Доказ. Дапусцім, што прамыя a і b не паралельныя і перасякаюцца ў некаторым пункРыс. 187 це №. тадЬІ праз пункт М будуць праходзіць дзве прамыя а і Ь, паралельныя трэцяй прамой с. А гэта су
пярэчыць аксіёме паралельных прамых. Значыць, наша здагадка няправільная, і а || &. Тэарэма даказана.
Метад доказу «ад адваротнага»
Пры доказе тэарэмы пра дзве прамыя, паралельныя трэцяй, мы ўжылі метад доказу ад адваротнага (гэта значыць «ад процілеглага»). Сутнасць яго ў наступным. Сцверджанне любой тэарэмы падзяляецца на ўмову — тое, што ў тэарэме дадзена, і вывад — тое, што трэба даказаць. У даказанай вы
96 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
шэй тэарэме ўмова — «Кожная з дзвюх прамых паралельная некаторай трэцяй прамой», а вывад: «Гэтыя дзве прамыя паралельныя паміж сабой».
Выкарыстоўваючы метад ад адваротнага, мяркуюць, што з дадзенай умовы тэарэмы вынікае сцверджанне, процілеглае (адваротнае) вываду тэарэмы. Калі пры зробленым дапушчэнні шляхам лагічных разважанняў прыходзяць да якоганебудзь сцверджання, якое супярэчыць аксіёмам ці раней даказаным тэарэмам, то зробленае дапушчэнне лічыцца няправільным, a правільным — яму процілеглае.
У доказе нашай тэарэмы мы выказалі здагадку, што гэтыя дзве прамыя не паралельныя, а перасякаюцца ў некаторым пункце. I прыйшлі да высновы, што тады парушаецца аксіёма паралельных прамых. Такім чынам, наша дапушчэнне пра перасячэнне прамых няправільнае, а правільнае яму процілеглае: прамыя не перасякаюцца, гэта значыць паралельныя.
Метадам ад адваротнага раней была даказана тэарэма пра дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй.
Дадзены метад з’яўляецца вельмі магутным лагічным інструментам доказу. Прычым не толькі ў геаметрыі, але і ў любой аргументаванай спрэчцы.
Выкарыстоўваючы аксіёму паралельных прамых і метад ад адваротнага, дакажыце самастойна наступную тэарэму.
Тэарэма. Калі на плоскасці прамая перасякае адну з дзвюх паралельных прамых, то яна перасякае і другую прамую.
Пры дапамозе Інтэрнэту высветліце, ці маглі сустракацца вялікі пісьменнік Леў Талсты і вялікі матэматык Мікалай Лабачэўскі. Калі так, то дзе была найвялікая верагоднасць іх сустрэчы?
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 97
^ 'ІіМІ Заданні да § 16
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
\ / Задача 1. На рысунку 188 Z1 = Z2, Z3 = Z4. Даказаць, што a || с.
Доказ. Паколькі накрыжлеглыя вуглы 1 і 2 роўныя, то а || & па прымеце паралельнасці прасД"'" х мых. Паколькі адпаведныя вуглы 3 і 4 роўныя,
то па прымеце паралельнасці прамых с || &. Калі а || b і с || b, то а || с па тэарэме пра дзве прамыя, паралельныя трэцяй.
Задача 2. Даказаць, што калі сума ўнутраных аднастаронніх вуглоў пры дзвюх дадзеных прамых і сякучай меншая за 180°, то гэтыя прамыя перасякаюцца.
ь Ів
Доказ. Няхай a і b — дадзеныя прамыя, АВ — іх сякучая, сума вуглоў 1 і 2 меншая за 180° (рыс. 189). Адкладзём ад праменя АВ вугал 3,
які ў суме з вуглом 1 дае 180°. Атрымаем прамую с, якая паралельная прамой а па прымеце паралельнасці прамых. Калі выказаць здагадку, што прамыя a і b не перасякаюцца, а,
значыць, паралельныя, то праз пункт А будуць праходзіць дзве прамыя b і с, якія паралельныя прамой а. Гэта супярэчыць аксіёме паралельных прамых. Такім чынам, прамыя a ib перасякаюцца.
РАШАЕМ
САМАСТОЙНА
138. На рысунку 190 Z1 = 52°, Z2 = 52°, Z3 = = 122°, Z4 = 58°. Дакажыце, што а || с.
139. Сярод прамых a, b, с і d, якія ляжаць у ь—V адной плоскасці, вызначыце пары пара с 4\/ лельных прамых, калі вядома, што a Lb, /\
с Lb, aLd.
98 ГлаваЗ. Паралельнасць прамых на плоскасці
140. Высветліце, ці перасякуцца пры прадаўжэнні адрэзкі МК і ВС (рыс. 191).
141. На рысунку 192 ABCD — прамавугольнік, MNPK — квадрат. Дакажыце, што NP || AD, AB || РК.
142. Вызначыце ўсе пары паралельных прамых (рыс. 193).
143. На рысунку 194 ABAC = 28°, AACD = 28°, ADFC = 35°, ZEFC=15°, ZFDC= 130°. Дакажыце, што AB || FE.
144*. Калі дзве паралельныя прамыя перасячы дзвюма іншымі перпендыкулярнымі ім паралельнымі прамымі, атрымаем прамавугольнік. Колькі ўсяго прамавугольнікаў можна налічыць у прамавугольнай табліцы, у якой 2 радкі і 3 слупкі?
§ 17. Уласцівасці паралельных прамых
Вы ведаеце, што калі дзве прамыя перасечаны сякучай і накрыжлеглыя вуглы роўныя, то прамыя паралельныя. Гэта прымета паралельнасці прамых. Адваротнае сцверджанне гучыць так: «Калі дзве прамыя паралельныя і перасякаюцца сякучай, то накрыжлеглыя вуглы роўныя». Гэта сцверджанне правільнае, і яно адлюстроўвае ўласцівасць паралельных прамых. Дакажам яго і дзве іншыя ўласцівасці для адпаведных і аднастаронніх вуглоў.
Тэарэма (пра ўласцівасць накрыжлеглых вуглоў пры паралельных прамых і сякучай).
Калі дзве паралельныя прамыя перасечаны сякучай, то ўнутраныя накрыжлеглыя вуглы роўныя.
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці 99
« Дадзена: а\\ b, АВ — сякучая, Zl і Z2 — ь зГ^ унутраныя накрыжлеглыя (рыс. 195).
Даказаць: Z1 = Z2.
V Доказ. Дапусцім, што Z1^Z2. Адкладзём ад А праменя ВА вугал 3, роўны вуглу 2. Паколь
Рыс 195 к* ЎнУтРаныя накрыжлеглыя вуглы 2 і 3 роўныя, то т\\ а па прымеце паралельнасці прамых. Атрымалі, што праз пункт В праходзяць дзве прамыя b і т, паралельныя прамой a. А гэта немагчыма па аксіёме паралельных прамых. Такім чынам, наша дапушчэнне няправільнае, і Z1 = Z2. Тэарэма даказана.
Тэарэма (пра ўласцівасць адпаведных вуглоў пры паралельных прамых і сякучай).
Калі дзве паралельныя прамыя перасечаны сякучай, то адпаведныя вуглы роўныя.
с Дадзена: а\\Ь, с — сякучая, Z1 і Z2 — А адпаведныя (рыс. 196).
зУ Даказаць: Zl = Z2.
Z Доказ. Вуглы 1 і 3 роўныя як накрыжлег
ь лыя пры паралельных прамых а і Ь. Вуглы
2 і 3 роўныя як вертыкальныя. Такім чынам, Рыс. 196 Z1 = Z2. Тэарэма даказана.
Тэарэма (пра ўласцівасць аднастаронніх вуглоў пры паралельных прамых і сякучай).
Калі дзве паралельныя прамыя перасечаны сякучай, то сума ўнутраных аднастаронніх вуглоў роўна 180°.
с Дадзена: а || Ь, с — сякучая, Zl і Z2 — унут/ раныя аднастароннія (рыс. 197).
3^^ Даказаць: Zl + Z2 = 180°.
/ Доказ. Вуглы 2 і 3 — сумежныя. Па ўласціь васці сумежных вуглоў Z2 + Z3 = 180°. Па ўла
сцівасці паралельных прамых Zl = Z3 як наРыс. 197 крыжлеглыя. Такім чынам, Zl + Z2 = 180°.
Тэарэма даказана.
100 Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
Сфармулюйце і дакажыце самастойна аналагічныя ўласцівасці для знешніх накрыжлеглых і знешніх аднастаронніх вуглоў.
Вынік.
Прамая, перпендыкулярная адной з дзвюх паралельных
прамых, перпендыкулярная і другой прамой.
a b
ПІ 2
Дакажыце гэты вынік самастойна.
На рысунку 198 a || Н с 1 «, гэта значыць
Z1 = 90°. Згодна з вынікам с .L Ь, гэта значыць /2 = 90°.
Рыс. 198 Даказаныя намі тэарэмы пра ўласцівасці
вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай з’яўляюцца адваротнымі да прымет паралельнасці прамых. Каб не блытаць прыметы і ўласцівасці паралельных прамых, трэба памятаць наступнае: а) калі спасылаюцца на прымету паралельнасці прамых, то патрабуецца даказаць паралельнасць некаторых прамых; б) калі спасылаюцца на ўласцівасць паралельных прамых, то паралельныя прамыя ўжо маюцца, і трэба выкарыстаць нейкую іх уласцівасць.
А цяпер выканайце Тэст 1 і Тэст 2.
Тэст 1
Тэст 2
На кантрольнай рабоце Саша рашаў задачу: «Дадзена, што а || b. Знайдзіце вугал а». Ён запісаў: «Вугал а роўны 80° па прымеце паралельнасці прамых». Ці мае рацыю Саша? Калі не, то на якую тэарэму трэба спаслацца?
Маша рашала задачу: «Па вуглах на рысунку высветліце, як размешчаны прамыя а ІЬ». Яна запісала: «а\\ b па ўласцівасці паралельных прамых». Ці мае рацыю Маша? Калі не, то на якую тэарэму трэба спаслацца?
Глава 3. Паралельнасць прамых на плоскасці
101
Заданні да § 17
РАШАЕМ РАЗАМ ключавыя задачы
Задача 1. Даказаць, што калі адрэзкі AB і CD роўныя і паралельныя, а адрэзкі AD і ВС перасякаюцца ў пункце О, то трохвугольнікі АОВ і DOC роўныя.
А с Доказ. Вуглы BAD і CDA роўныя як накрыж
/ ^ леглыя пры паралельных прамых AB і CD і ся
° кучай AD (рыс. 199). Вуглы ABC і DCB роў
^ ^ ныя як накрыжлеглыя пры паралельных пра
в D мых AB і CD і сякучай ВС. Тады ААОВ = ADOC
КНІГІ ОНЛАЙН
