Курс агульнай фізікі
Цеплыня і малекулярная фізіка: Вучэб. дапам.
Выдавец: Вышэйшая школа
Памер: 232с.
Мінск 1994
2
2
_ 1 т^2 _
2 ~ 3 2 2
Такая ж энсргія прыпадас і на кожную ступснь свабоды вярчальнага і хістальнага рухаў малскул. Гэта палажэннс называсцца тэарэмай Больцмана. Яна выражас прынцып раўнамсрнага размсркавання энсргіі па ступснях свабоды малекул газу: пры цсплавой раўнавазс на кожную ступснь свабоды (паступальную, вярчальную, хістальную) малскулы нсзалсжна ад яе хімічнай прыроды ў сярэднім прыпадас энсргія, роўная kTH. Калі малскула валодас і ступенямі свабоды, то яс сярэдняя энсргія хаатычнага руху
< Е > = ^кТ ,
(3.5)
дзс к — пастаянная Больцмана; Т — абсалютная тэмпсратура.
Вызначым унутраную энсргію ідэальнага газу. Калі газ складасцца з малскул, кожная з якіх мас і ступсняў свабоды, то ўнутраная энсргія аднаго моля гэтага газу
U,n = < Е> kTNK = .
(3.6)
Калі газ мас масу т, то яго ўнутраная энсргія U вызначасцца здабыткам Uin і колькасці моляў т/М, г. зн.
U = U>n = 7 S RT ’ <3-7)
М 2 М
дзс М — малярная маса газу.
3 формулы (3.7) вынікас, што ўнутраная энсргія газу залсжыць ад колькасці ступсняў свабоды, а таксама ад тэмпсратуры газу. Малскулярны рух нс залсжыць ад размяшчэння малскул газу. Гэтас палажэннс справядлівас ў тым выпадку, калі ўзасмадзсянне паміж малскуламі слабас. Са змянсннсм томпсратуры будзс змяняцца раўнавартасць ступсняў свабоды. Для нскаторых газаў існуюць пэўныя тэмпсратуры, пры якіх «уключаюцца» вярчальныя і хістальныя ступсні свабоды. Напрыклад, для вадароду Н2 , азоту N2 і кіслароду О2 пры пакасвых тэмпсратурах (Т ~ 300 К) хістальныя ступсні свабоды можна лічыць цалкам выключанымі, а вярчальныя — уключанымі.
У якасці прыкладу нсабходна адзначыць, што атмасфера Зямлі, маса якой роўная прыкладна 1018 кг, валодас вслізарным запасам унутранай энсргіі. Яшчэ большы запас унутранай энсргіі маюць моры і акіяны. Ахалоджваннс масы вады ў сусвстным акіянс, якая складас
каля 10 21 кг, толькі на 1 К прывяло б да вылучэння энсргіі ~1024 Дж. Гэта ў 100 000 разоў больш за ўсю энсргію, што выпрацоўвасцца на зямным шары за год.
3.4. Класічная цеплаёмістасць ідэальных газаў
Вялікую ролю ў вывучэнні цсплавых уласцівасцсй рэчыва адыгрывас цсплаёмістасць. Часта карыстаюцца паняццямі малярнай і ўдзельнай цсплаёмістасцсй.
Як мы ўжо всдасм, трэба адрозніваць малярную цсплаёмістасць газу пры пастаянным аб’ёмс Су ад малярнай цсплаёмістасці пры пастаянным ціску Ср . Абсдзвс цсплаёмістасці залежаць ад стану газу. Аднак гэта залсжнасць у шырокай вобласці тэмпсратур і ціску нсвялікая, таму будзем лічыць цсплаёмістасць ідэальнага газу пастаяннай.
Малярнай цеплаёмістасцю называюць вслічыню, роўную колькасці цсплыні, якую трэба надаць 1 моль рэчыва, каб павялічыць яго тэмпсратуру на 1 К. Удзельная цеплаёмістасць роўная колькасці цсплыні, якую трэба надаць рэчыву масай 1 кг, каб павялічыць яго тэмпературу на 1 К. Удзсльная цсплаёмістасць рэчыва, якую звычайна абазначаюць с, звязана з малярнай цсплаёмістасцю С судачынсннем с = СІМ. Размсрнасць удзсльнай цеплаёмістасці [с] = Дж/(К • кг), малярнай [С ] = Дж/(моль • К).
Дапусцім, што награваннс 1 моль ідэальнага газу адбывасцца пры пастаянным аб’ёмс. Тады малярная цсплаёмістасць пры ізахорным працэсе
, (3.8)
\й ) v
дзс V — пастаянны аб’ём газу.
Для гэтага выпадку 5Q = dUm , і формулу (3.8) можна запісаць
/ d Um V
(3.9)
Унутраная энсргія ідэальнага газу залсжыць толькі ад тэмпсратуры Um = Um (Т), і таму
Mm dT •
(3.10)
Калі награваннс ідэальнага газу адбывасцца пры пастаянным ціску, то яго малярная цсплаёмістасць
р ~
dT Ь'
(3.11)
Падлічым колькасць цсплыні 5Q, якая псрадасцца 1 моль ідэальнага газу пры ізабарным працэсс для павышэння тэмпсратуры на dT. Для гэтага выкарыстаем формулу (3.3):
<3 Q = dUm + pdVm .
Формула (3.11) з улікам выразу (3.12) мас выгляд
_ dUm dVm
СР ~ dT + Р dT ’
(3.12)
(3.13)
Прадыферэнцусм пры р = const раўнаннс Мсндзялссва—Клапсйрона dVm
(2.13) pdVm = RdT. Падставім у формулу (3.13) замсст P~jjr яго значэннс і атрымасм раўнаннс Масра
Ср = Cv + R . (3.14)
3 формулы (3.14) відаць, што малярная цспласмістасць пры пастаянным ціску Ср заўсёды большая за малярную цсплаёмістасць пры пастаянным аб’ёмс Су . Фізічны сэнс гэтага вынікае з наступнага. Цеплыня, якая вылучылася пры ізахорным працэсс (V = const) пры награванні газу на 1 К, цалкам пайшла на павелічэнне яго ўнутранай энергіі. Калі награваць газ на 1 К пры ізабарным працэсе (р = const), спатрэбіцца ўжо большая цсплыня, чым у псршым выпадку, паколькі цсплыня пойдзс нс толькі на павслічэннс ўнутранай энергіі, але і на выкананнс газам дадатнай работы.
Падзелім роўнасць (3.14) на малярную масу М і атрымаем раўнанне Масра ў іншым выглядзс:
ср = су + R/М,
дзс ср і су —удзсльныя цсплаёмістасці пры пастаянных ціску і аб’ёме адпавсдна.
Формулы (3.10) і (3.14) з улікам роўнасці (3.6) маюць выгляд
Су = ^R; Ср = ^R. (3.15)
Калі браць пад увагу разнастайныя ўмовы награвання газаў, можна сказаць, што цсплаёмістасць газаў прымас значэнні ад -co да +оо у залсжнасці ад характару працэсу. Так, напрыклад, у працэсс ізатэрмічнага пашырэння газ атрымлівас цсплыню, алс павслічэння яго тэмпсратуры нс адбывасцца. Гэта азначас, што (8Q/dT)r = = +оо (8Q > 0). Пры ізатэрмічным сцісканні цсплаёмістасць (8QldT\r = -co (3Q < 0)Такім чынам, цсплаёмістасць газу пры ізатэрмічным працэсс роўная ±оо. Для награвання (для ахалоджвання) газу на 1 К трэба надаць (адняць) бясконца вялікую колькасць цсплыні, г. зн. пры ізатэрмічным працэсс фактычна газ нсльга нагрэць (ахаладзіць).
У многіх працэсах важнас значэннс мас стасунак цсплаёмістасці Ср да цсплаёмістасці Cv . Вслічыня
у = Ср/Су = cp/cv (3.16)
называсцца каэфіцыснтам Пуасона. Падставім у раўнаннс (3.16) замсст Ср яго значэннс з формулы (3.14):
Раўнаннс (3.17) з улікам выразу (3.15) мас выгляд
2 7=1+4. (3.18)
' і
Такім чынам, малярныя цсплаёмістасці Су і Ср і каэфіцыснты Пуасона у вызначаюцца ступснямі свабоды, якімі валодаюць малскулы газу. Так, тэарэтычныя значэнні малярнай цсплаёмістасці згадняюцца з экспсрымснтальнымі, атрыманымі для аднаатамных і многіх двухатамных разрэджаных газаў (азот, вокіс вуглярода, кісларод і інш.) пры пакаёвай тэмпсратуры.
Разам з тым для нскаторых двухатамных і трохатамных газаў экспсрымснтальныя значэнні малярнай цсплаёмістасці адрозніваюцца ад тэарэтычных. Згодна з формуламі (3.15), малярная цсплаёмістасць нс залсжыць ад тэмпсратуры. Эксперымснты, праведзсныя пры розных тэмпсратурах, паказваюць, што ў сапраўднасці яна залсжыць ад тэмпсратуры. Разглсдзім больш падрабязна малярную цсплаёмістасць двухатамнага вадароду Н2 . Дастаткова разрэджаны вадародны газ всльмі блізкі да ідэальнага. Таму ён з’яўлясцца добрым аб’сктам для правсркі
класічнай тэорыі цсплаёмістасці гаCv заў. Малярная цсплаёмістасць Н 2 залсжыць ад тэмпсратуры 7_ (рыс. 3.6): пры нізкіх тэмпсратурах z (50 К) яго цсплаёмістасць роўная 3R/2, пры пакаёвай (~ 300 К) — 5R./2, а пры всльмі высокай (~ 6000 К) — 7Я/2. Такім чынам,
2 * двухатамная малскула вадароду * пры йізкай тэмпсратуры паводзіць сябс як аднаатамная малскула, якая рухасцца толькі паступальна; пры пакаёвай тэмпсратуры — як двухатамная малскула з цвёрдай сувяззю паміж атамамі, якая адначасова з паступальным выконвас вярчальны pyx; а пры всльмі высокай тэмпературы да гэтых рухаў дадасцца хістальны рух. Справа ў тым, што пры змянснні тэмпературы ўключаюцца (выключаюцца) розныя ступсні свабоды. Усё большая частка малекул па мсры змянсння тэмпературы паступова псраходзіць у іншы рэжым руху. Таму крывая малярнай цсплаёмістасці змянясцца плаўна ў нскаторым інтэрвалс тэмпсратур. Квантавая тэорыя цсплаёмістасці ліквідавала разыходжаннс паміж тэарэтычнымі і экспсрымснтальнымі дадзснымі.
3.5. Ізабарны, ізахорны і ізатэрмічны працэсы ў ідэальным газе
Ізабарны працэс. Гэты працэс адбывасцца пры пастаянным ціску: р = const. На рыс. 3.7 у сістэмс каардынат (р, Ю паказана ізабара. Няхай да 1 моль ідэальнага газу падводзіцца колькасць цсплыні Q. Пры гэтым газ награсцца ад стану 1 (р{ , ) да стану 2 (р2 , V2)
так, што забяспсчвасцца пастаянны ціск. Змянсннс стану газу адбывасцца ў адпавсднасці з раўнаннсм Мсндзялссва—Клапсйрона (2.13).
Работа, якую выконвас газ пры пашырэнні,
^2
A = f pdV = p(V2 Kj) .
П
Работа Л ў каардынатах (р, V) будзс адпавядаць заштрыхаванай плошчы 1 — 2 — V2 — .
Разглсдзім ізабарны працэс у сістэмс каардынат (р, Т). Ён таксама паказаны прамой лініяй (рыс. 3.8).Работа Л з улікам формулы (2.13)
2 2 R
Л = f Pxdvm = f Pl dT = R(T2 T.) .
H 1
Такім чынам, псршы пачатак тэрмадынамікі запішацца
Q = U2 U{ + p(V2 П)
або
Q = U2 Ui + R (Т2 Ті) .
Падведзеная да газу колькасць цспдыні ідзе як на павелічэнне ўнутранай энсргіі, так і на выкананне работы.
Ізахорны працэс. Гэта працэс ажыццяўлясцца пры пастаянным аб’ёмс V = const, у каардынатах (р, V) працэс паказаны прамой лініяй (рыс. 3.9). Яго работа роўная нулю:
у2
A = f pdV = 0.
Уі
Першы пачатак тэрмадынамікі запісвасцца ў наступным выглядзе:
Рыс. 3.9.
Рыс. 3.10.
Q = U2-Ux = cvm(T2 Tx) .
(3.19)
Такім чынам, пры ізахорным працэсс ўся падвсдзсная да газу колькасць цсплыні расходусцца толькі на павслічэнне яго ўнутранай энсргіі.
Ізатэрмічны працэс. Гэты працэс адбывасцца пры пастаяннай тэмпсратуры: Т = const. Ён апісвасцца раўнаннсм Бойля—Марыёта (2.25). 3 формулы (3.7) вынікас, што ўнутраная энсргія ідэальнага газу залежыць толькі ад яго тэмпсратуры. Паколькі ізатэрмічны працэс праходзіць пры Т = const, г. зн. dT = 0, унутраная энсргія застасцца пастаяннай. Тады псршы пачатак тэрмадынамікі (3.3) прымс выгляд
<5 Q = дА,
г. зн. што пры ізатэрмічным пашырэнні падведзсная колькасць цсплыні цалкам ідзе на выкананнс работы. Графічная работа, якую выконвас газ, на рыс. 3.10 у сістэмс каардынат (р, V) паказана заштрыхаванай плошчай Vx — 1 — 2 — V2 .
Разглсдзім работу пры ізатэрмічным пашырэнні ідэальнага газу масай т. Для вываду формулы работы выкарыстасм выраз (3.2). 3 раўнання Мендзялесва—Клапсйрона (2.12) вызначым ціск
т RT
М V •
Падставім значэнне р у раўнаннс (3.2):
дА = (3-20)
Праінтэгруем выраз (3.20) ад аб’ёму V{ да аб’ёму V2 , падлічым работу, якую выконвас газ:
tn ^2
л = <3-2d
У адпаведнасці з формулай (2.25) стасунак аб’ёмаў у формуле (3.21) можна замяніць стасункам ціскаў:
КНІГІ ОНЛАЙН
