КНІГІ ОНЛАЙН
Пошук сярод кніг, што прайшлі індэксацыю гуглам. Некаторыя кнігі гугл не знаходзіць
л = (3.22)
Выкарыстаем формулу (2.12) і атрымаем
A = pl I7, In — (3.23)
P2
або
A = p2^2 *n ~ • (3.24)
P2
Трэба звярнуць увагу, што, калі V\ > V2 Pl < Р2 > адбываецца нс пашырэннс, а сцісканнс газу. Пры гэтым работа адмоўная (Л < < 0), г. зн. не газ выконвас работу, а над газам выконваецца работа.
3.6. Лдыябатны працэс у ідэадьным газе
У цэлым шэрагу выпадкаў даводзіцца сутыкацца з тэрмадынамічнымі працэсамі, пры якіх сістэма нс атрымлівас звонку і не аддас цсплыню. Таму ў роўнасці (3.3) 8Q = 0 і
дЛ = -dU. (3.25)
Такія працэсы называюць адыябатнымі. Яны былі вывучаны французскім фізікам С. Д. Пуасонам (1781 —1840). Каб працэс праходзіў адыябатна, сістэма павінна мсць цсплаізалюючую абалонку. Аднак, калі працэс адбывасцца дастаткова хутка, г. зн. так, што сістэма нс паспявас ўступіць у цсплаабмсн з навакольным асяроддзем, яго можна лічыць адыябатным і пры адсутнасці цсплавой ізаляцыі. Прыкладам можа служыць распаўсюджаннс гуку ў газс. Такім чынам, адыябатны працэс праходзіць пры змянснні ўсіх трох параметраў стану (р, V, Т).
Разглсдзім падрабязна адыябатны працэс у ідэальным газс для 1 моль. Для гэтага псрапішам формулу (3.25) з улікам раўнанняў (3.2) і (3.10):
pdVm = -CydT . (3.25a)
Пры пашырэнні газу сілы, з якімі ён дзсйнічас на поршань, выконваюць дадатную работу (dA > 0) за кошт змяншэння яго ўнутранай энсргіі UU < 0).
Пры адыябатным пашырэнні газу яго ўнутраная энсргія змяншасцца на велічыню работы, якая выконвасцца ім. Велічыня dT павінна быць адмоўнай, г. зн. тэмпсратура газу будзс зніжацца. Лёгка здагадацца, што пры адыябатным сцісканні газу яго ўнутраная энсргія павялічвасцца за кошт работы, якую выконваюць над газам іншыя цслы. З’ява паніжэння тэмпсратуры пры адыябатным пашырэнні выкары-
стоўвасцца ў халадзільных устаноўках, а з’ява павышэння тэмпсратуры пры адыябатным сцісканні — у рухавіках унутранага згарання.
Для знаходжання залсжнасці паміж ціскам і аб’ёмам возьмсм раўраннс стану ідэальнага газу для 1 моль (2.13) і прадыферэнцусм яго:
pdVm + Vmdp = RdT. (3.26)
3 раўнання (3.26) вызначым
Падставім у раўнаннс (3.25а) замсст dT яго значэннс з формулы (3.27), а замсст R яго значэннс з (3.14);
PdVm = “ с + VmdP) ,
адкуль
CppdVm CvpdVm = CvpdVm CvVmdp .
Падзелім змснныя:
Cv^ = ~Cp^. (3.28)
y т
Падзслім выраз (3.28) на Cv , улічым, што dVm /Ут = dV/V:
t/p dV_
P ~ cv v •
Інтэгруючы ў мсжах ад пачатковых значэнняў ціску р{ і аб’сму V] да канчатковых р2 * ^2 > атрымліваем
, Р2 Ср V, In — = -^-Іп —
Pi Су V2
(3.29)
5 Зак. 5541
або, падвёўшы каэфіцыснт Пуасона Z = С р/С v пад знак лагарыфма формулы (3.29),
. Pl , .г
1„= In^y.
Калі лагарыфмы якіх-небудзь вслічынь роўныя,то роўныя і самі вслічыні, г. зн.
= /Ibr
Pl ^2 ’
або
рМ = Р2^ ;
pV? — const. (3.30)
Такім чынам, пры адыябатных змяненнях стану для дадзснай масы газу здабытак ціску і аб’ёму ў ступені у застаецца пастаяннай вслічынёй.
Установім другую сувязь паміж тэмпсратурай і аб’ёмам пры адыябатных змянсннях стану газу. Для гэтага ў раўнанні (3.30) замснім ціск на тэмпсратуру і аб’ём, скарыстаўшы для гэтага раўнаннс стану ідэальных газаў у агульным выглядзе:
т RT .
М V ’
(3.31)
^yRT^ 1 = const. (3.32)
М
Псранясём вслічыню mR/М у правую частку раўнання (3.32) і ўлічым, што М const/(mR) застаецца пастаяннай велічынёй:
TVr~l = const . (3.33)
Такім чынам, пры адыябатных змянсннях стану для дадзенай масы газу т здабытак тэмпсратуры і аб’ёму ў ступсні (у — 1) застаецца пастаяннай вслічынёй.
Далей установім трэцюю сувязь паміж ціскам і тэмпсратурай. Для гэтага ў раўнаннс (3.33) замсст V падставім яго значэннс згодна з формулай (2.12):
mRT v-i = у ту~' RT1
{ Мр ' Му~' ру~1
Адкуль
1-у
Тр у = const . (3.34)
Раўнанні (3.30), (3.33) і (3.34), якія апісваюць адыябатныя змяненні стану дадзснай масы газу, называюць раўнаннямі адыябаты або раўнаннямі Пуасона.
Параўнасм ізатэрмічныя і адыябатныя змянснні стану ідэальнага газу. Для гэтага прадыфсрэнцусм раўнанне ізатэрмы (2.25)
= _Д dV V
і раўнаннс адыябаты (3.30)
dV 'V'
Адсюль вынікас, што ў сістэмс каардынат (р, V) тангснс вугла нахілу адыябаты павінсн быць у у разоў большы, чым ізатэрмы. Значыць, адыябата размяшчасцца больш крута, чым ізатэрма (рыс. 3.11). Гэта тлумачыцца тым, што пры адыябатным пашырэнні, акрамя змяншэння ціску, якос адбывалася б па закону Бойля—Марыста ў выпадку пастаяннай тэмпсратуры, адбывасцца дадатковас змяншэннс ціску, выкліканае ахалоджваннсм газу.
Калі ~ Ср /Су -» 1, адыябата псраходзіць у ізатэрму.
Каб падлічыць работу пры адыябатным працэсе, выкарыстаем формулу (3.2) для 1 моль у выглядзс:
дА = pdVm = dUm = — CydT.
(3.35)
Дапусцім, што зыходны стан ідэальнага газу характарызусцца параметрамі pi , V} , Т\ . Зыходзячы з выразу (3.35), работа, якую выконвае 1 моль ідэальнага газу,
V т
т2 12
Лт = f pdVm = -f CydT = CV(T{ T2) . (3.36) % Л
Паколькі згодна з формулай (3.16) Ср = ^Су , то, падстаўляючы ў раўнаннс Масра (3.14) замсст С р яго значэннс, масм
Су = . (3.37)
н у1
Падставім значэннс Су з выразу (3.37) у формулу (3.36) і, маючы на ўвазс, што A = mA т/М, атрымасм раўнаннс работы адыябатнага працэсу для ідэальнага газу з масай т:
т RT\ Т2 . п
я = йГгТ(
або
Выкарыстасм формулы (2.12) і (3.30) і атрымасм раўнаннс работы ў наступным выглядзс:
Л = 0’1 П (3-40)
Такім чынам, работа А, якую выконвае маса т газу пры адыябатным пашырэнні, залсжыць толькі ад рознасці тэмпсратур (ДТ = Т1 — — Т2 ). Пры Т2 > Т1 адбывасцца нс пашырэннс, а сцісканнс газу. Пры гэтым работа адмоўная (А < 0), г. зн. нс газ выконвае работу, а над газам выконвасцца работа.
3.7. Палітропны працэс у ідэальным газе
Палітропныя працэсы — гэта такія працэсы, пры якіх цсплаёмістасць сістэмы застасцца пастаяннай. Так, малярныя цсплаёмістасці пры ізахорным і ізабарным працэсах складаюць адпавсдна Су і Ср .
Пры ізатэрмічным працэсс (dT = 0) гэта цсплаёмістасць роўная ± оо, а пры адыябатным (5Q = 0) — нулю.
Вывсдзсм раўнаннс палітропы для ідэальнага газу. 3 раўнання першага пачатку тэрмадынамікі (3.3) відаць, што колькасць цсплыні 8Q, нададзсная газу, прама прапарцыйная павышэнню тэмпсратуры:
dQ = CdT,
(3.41)
дзс С — малярная цсплаёмістасць пры палітропным працэсс.
Падставім у выраз (3.3) замсст 5Q, dUm і ЗД іх значэнні з формул (3.41), (3.10) і (3.2) і ўлічым раўнаннс (2.13). Атрымасм
CdT = CydT + RT^ = CydT + (CpCV)T^ = 0 . (3.42)
Падзслім змснныя ў формулс (3.42):
dT Cp Cy dV T + CyC V
(3.43)
Абазначым
(3.44)
тады
Cp ~ Cy Cy-C
= n 1 .
(3.45)
Праінтэгрусм выраз (3.43) i ўлічым абазначэнні (3.45):
TV” 1 = const.
(3.46)
Гэта i ёсць раўнаннс палітропнага працэсу для ідэальнага газу, якос звязвас парамстры Т і V .
Для дадзснай масы газу можна атрымаць яшчэ два раўнанні палітропы, якія звязваюць парамстры р і V, Т і р:
pV11 = const ;
(3.47)
1-/1
Тр п = const .
(3.48)
У выпадку ізатэрмічнага працэсу С = m . Тады з выразу (3.44) атрымаем п = 1. Для адыябатнага працэсу С = 0 і з (3.44) вынікас, што п = Ср /Су = у. Такім чынам, для рэальнага працэсу
1 < п < у .
Для ізабарнага працэсу С = Ср . Падставім у раўнаннс (3.47) замсст п яго значэннс з выразу (3.44) і атрымасм
pVcv ср = р = const.
У выпадку ізахорнага працэсу С = Cv . Перапішам раўнанне (3.47) у выглядзс
1 Су ~
Vp п = Vp ск ~ cr = V = const.
Вслічыня п можа быць вызначана з формулы (3.44), калі вядома цеплаёмістасць С працэсу.
Трэба адзначыць, што работа пры палітропным працэсе можа вызначацца формуламі (3.38) — (3.40), калі замяніць у іх у на п. Напрыклад, раўнанне (3.38) можна запісаць у выглядзе
. tn R
Л = Т7 7
М п — 1
(^і - .
Калі Т2> Т\ , то газ нс пашырасцца, а, наадварот, сціскасцца. Пры гэтым работа адмоўная (Л < 0).
3.8. Хуткасць гуку ў газе
Для чутных вухам частот сцісканнс і пашырэнне паветра ў гукавой хвалі адбываецца адыябатна. Гэта тлумачыцца тым, што пры сцісканні газу яго тэмпсратура павышасцца. У гукавой хвалі з частотамі, якія нс ўспрымае вуха, цсплаправоднасць павстра малая, а адлегласці паміж суседнімі сцісканнямі і расцяжэннямі адносна вялікія (Х/2). Чарговыя сцісканнс і расцяжэннс ў кожным пункце прасторы адбы-
ваюцца всльмі хутка. Гэта азначас, што імавсрнасць пераносу колькасці
цеплыні всльмі малая. Таму працэс распаўсюджвання гукавых хістанняў з’яўлясцца адыябатным, што выкарыстоўвасцца для вызна-
чэння хуткасці гуку ў газс. Хуткасць падоўжаных гукавых хваль у газе
уг = \/ЕІр = 'JypTp ,
(3.49)
дзс Е — модуль Юнга; у = Ср /Су — паказчык адыябаты; Ср —
малярная цеплаёмістасць газу пры пастаянным ціску; Су — малярная цеплаёмістасць пры пастаянным аб’ёмс; р — ціск газу; р — яго шчыльнасць.
Для вызначэння шчыльнасці р выкарыстаем раўнаннс Мендзялесва—Клапсйрона (2.12). 3 яго вынікас, што
р RT ’
(3.50)
дзе М — малярная маса газу.
Падставім у выраз (3.49) замсст р яго значэннс з формулы (3.50) і знойдзем
рг =
(3.51)
Формула (3.51) справядлівая толькі для аднаатамных і часткова для двухатамных газаў.
4. З’ЯВЫ ПЕРАНОСУ Ў ГАЗАХ
Любая тэрмадынамічная сістэма, напрыклад ідэальны газ, з цягам часу паступова псраходзіць з нсраўнаважнага стану ў раўнаважньт. Будзсм разглядаць нсраўнаважны працэс як стацыянарны, г. зн. яго характарыстыкі нс змяняюцца з часам. Прыкладамі такіх нсраўнаважных стацыянарных працэсаў з’яўляюцца з’явы псраносу ў ідэальным газс: дыфузія, унутранас трэннс (вязкасць) і цсплаправоднасць. Усс гэтыя з’явы маюць многа агульнага, яны звязаны з псраносам нскаторай фізічнай вслічыні. У выпадку дыфузіі такой вслічынёй з’яўлясцца маса газу, вязкасці — імпульс, цсплаправоднасці — энсргія. Паняццс аб сярэдняй даўжыні свабоднага прабсгу малскул адыгрывас вялікую ролю пры раскрыцці сутнасці такіх з’яў.
4.1. Колькасць сутыкненняў. Сярэдняя даўжыня свабоднага прабегу малекул
Малскулы газу рухаюцца прамалінсйна, пакуль нс адбудуцца сутыкнснні з другімі малскуламі. Пры гэтым яны апісваюць траскторыі, паказаныя на рыс. 4.1. Вслічыня X, уяўляс сабой шлях, які пралятае малскула паміж паслядоўнымі сутыкнсннямі. У выніку хаатычнага руху малскул вслічыня X,мянясцца. Нязмснным пры дадзсных умовах застасцца толькі яс сярэдняс значэннс <Х>. Гэты шлях называюць сярэдняй даўжынёй свабоднага прабегу малскул: