Курс агульнай фізікі
Цеплыня і малекулярная фізіка: Вучэб. дапам.
Выдавец: Вышэйшая школа
Памер: 232с.
Мінск 1994
Рыс. 2.10.
паказаны на рыс. 2.10. Пры больш
высокай тэмпсратуры размсркаваннс малскул газу па хуткасцях выраўноўвасцца.
2.7. Хуткасці малекул
Як было сказана ў § 1.3, рух малскул газу з’яўлясцца хаатычным. Усс малскулы маюць розныя хуткасці. Яны мяняюцца як па велічыні, так і па напрамку з прычыны сутыкнснняў малскул адна з адной або са сцснкамі пасудзіны. У выніку гэтага рух малскул нсльга ахарактарызаваць нсйкай адной хуткасцю. У сярэднім хуткасці і энсргіі ўсіх малскул аднолькавыя. Аднак у кожны момант часу энергіі і хуткасці асобных малскул могуць значна адрознівацца ад сярэдняга значэння. Таму будзсм выкарыстоўваць найбольш імаверную хуткасць г(, сярэднюю квадратычную хуткасць < гкп > і сярэднюю арыфметычную хуткасць < г >.
Спачатку вызначым найбольш імавсрную хуткасць. Яна адпавядас максімуму крывой размсркавання малскул па хуткасцях /(/,'). Для знаходжання Vj трэба даследаваць на максімум функцыю (2.46) прі.і
Т = const (узяць псршую вытворную функцыі f(v) па квадрату хуткасці і прыраўняць яс да нуля):
Dv2
кТ)
2 2
/ mQu mov
2кТ "W ~ 2кТ е 2кТ е
(2.48)
Такім чынам, найбольш імавсрная хуткасць малскул залежыць ад тэмпсратуры газу і яго малярнай масы.
Пры дапамозс формулы (2.48) знаходзім найбольш імавсрную энсргію асобнай малскулы:
с _ 1 2
^Ок — 2 W0 vi
= кТ.
Пры разліках выкарыстоўваюць сярэднюю квадратычную хуткасць малскул. Для яс вызначэння запішам асноўнас раўнаннс малскулярна-кінстычнай тэорыі газаў (2.9) у выглядзс
2
pvm = >•
(2.49)
3 раўнанняў (2.49) і (2.13) атрымасм
< ^кв>
ў 3/?Т
"'О^А ’
(2.50)
дзс m0 N\ М — малярная маса газу. Тады формула (2.50) прыме выгляд
кв
(2.51)
дзе к — пастаянная Больцмана.
Па формулс (2.51) можна знайсці < ркв > у любым станс ідэальнага газу. Калі выкарыстаць гэтую формулу для павстра, то пры нармальных
умовах < ркв > = 485 м/с. Пры роўных вонкавых умовах найбольшую сярэднюю квадратычную хуткасць мае вадарод, а наймсншую — вуглякіслы газ.
Акрамя найбольш імавсрнай (2.48) і сярэдняй квадратычный (2.51) хуткасцсй малскул газу, часам выкарыстоўваюць сярэднюіс арыфмстычную хуткасць < v > паступальнага руху малскул ідэальнага газу. Яс можна падлічыць, зыходзячы з закону размсркавання малскул па хуткасцях. Асімстрыя крывой размсркавання малекул па хуткасцях азначас, што найбольш імавсрная хуткасць нс роўная сярэдняй арыфмстычнай усіх хуткасцсй.
Знойдзсм сярэднюю арыфмстычную хуткасць < u >. Няхай Д^1 — колькасць малскул, хуткасці якіх ляжаць у інтэрвале ад да Pj + + Auj ; Д^2 — колькасць малскул ад u2 Да v2 + ^-2 > —J — ад vn да vn + Др,( . Тады сярэдняя арыфмстычная хуткасць
< v >
У] Д^ + у2ДУ2 + ... +u„^Nn
Д^1 + \N2 + ... + &Nn
1 ,="
= V‘^N‘
і=0
(2.52)
дзс N — агульная колькасць малскул. Пры псраходзс да ліміту выразу (2.52) атрымасм
1 00
< ” > = f vdN . (2.53)
N І
Выкарыстасм функцыю (2.46) і псрапішам раўнаннс (2.53):
оо 2
= 4 л ) / У3 ехР ( ~2kf
( т0 ,У2 Лк2Т2 =
(2л кТ ' т0 л т0
• (2-55) лМ
У выніку атрымлівасм
(2.56)
(2.57)
< rK11 > = « 1,73 . (2.58)
w0 Wq
I du, л du
T= const
'Рма^ерная хуткасць Сярэдняя кбадратыуная хутхасць
Рыс. 2.11.
'родмяя арырe/nb/wan
■гпхасць
3 выразаў (2.56) — (2.58) вынікас
< гкн > ~ М < у > = 1,223 Uj.
Такім чынам, паміж хуткасцямі — найбольш імавсрнай, сярэдняй квадратычнай і сярэдняй арыфмстычнай — існус судачынсннс:
< Укв > > < v > > Vf
Усс значэнні хуткасцсй паказаны на рыс. 2.11.
2.8. Доследная правсрка размеркавання малекул па хуткасцях. Дослед Штэрна
Нямсцкі вучоны 0. Штарн у 1920 г. вымсраў хуткасць малскул
ссрабра і тым самым даказаў справядлівасць закону размсркавання
рухаліся па радыяльных
малскул па хуткасцях, устаноўлснага Дж. К. Максвслам. Прылада, якая выкарыстоўвалася для гэтай мэты, складалася з двух кааксіяльных цыліндраў. На рыс. 2.12 паказана сячэннс прылады плоскасцю, псрпсндыкулярнай восі цыліндраў.
Па восі прылады нацягваўся плацінавы дрот О, пакрыты серабром. Пры награванні элсктрычным токам да тэмпсратуры прыкладна 1200 °C з яго павсрхні выпараліся атамы ссрабра, якія
напрамках. Каб яны нс адхіляліся ў выніку
сутыкнснняў з малекуламі павстра, з прылады адпампоўвалася павстра
да максімальна магчымай ступсні разрэджанасці (вакуум 133 • 10 5 Па). Унутраны цыліндр мсў вузкую шчыліну a , паралсльную дроту. Атамы ссрабра, якія праходзілі праз шчыліну вузкім пучком, ляцслі па прамалінсйных траскторыях да сцснкі вялікага цыліндра і асядалі на ўнутранай сцснцы, утвараючы вузкую сярэбраную палоску b . Калі абодва цыліндры прыводзіліся ў шпаркас вярчэннс па гадзіннікавай стрэлцы (45 аб/с), сярэбраная палоска псрамяшчалася ў становішча Ь'. Гэта можна растлумачыць тым, што пакуль атамы ссрабра праляталі за час Д/ шлях ab = R — г (дзс R і г — радыусы вонкавага і ўнутранага цыліндраў адпаведна), цыліндры паспявалі за гэты ж час павярнуцца на вугал Д<р. Дуга ЬЬ' роўная
ЬЬ' = R Д = R ш Д t. (2.59)
За час Д/ атамы ссрабра пралятаюць з хуткасцю v шлях R — г, г.зн.
R r = v Д /. (2.60)
Выключым час Д/ з роўнасцсй (2.59) і (2.60) і вызначым хуткасць руху атамаў ссрабра:
" = • йбі)
00
Формула (2.61) дас магчымасць знайсці хуткасць u дослсдным шляхам. Для гэтага нсабходна вымсраць адлсгласць ЬЬ' паміж сярэдзінай палоскі b і месцам найбольшай канцэнтрацыі ссрабра ў палосцы Ь'. Трэба адзначыць, што шырыня палоскі Ь' болылая за шырыню палоскі Ь, пры гэтым краі палоскі Ь' больш размытыя. Гэта гаворыць пра тое, што атамы серабра рухаюцца з рознымі хуткасцямі. У выніку шматлікіх дослсдаў выявілася, што пры тэмпсратуры 1200 °C (тэмпсратура плаўлсння серабра) найбольш імавсрная хуткасць мае значэннс 643— 672 м/с. Паводлс формулы (2.48), найбольш імаверная хуткасць Vj = = 476 м/с гаворыць пра вельмі добрас супадзсннс доследных вынікаў з тэарэтычнымі.
Разам з тым дослсд Штэрна мас і нсдахопы. Па-псршас, атамы ў пучку рухаюцца нс хаатычна, а ў пэўным напрамку. Па-другос, хуткасць атамаў вызначасцца нс ў газс, а ў пучку, які ўзнікас пры праходжанні атамаў праз вузкую шчыліну. У гэтым пучку хуткіх атамаў больш, чым у газс, таму што хуткія атамы часцсй праходзяць праз вузкую шчыліну, чым павольныя. У той час жа вядома, што закон размсркавання малскул па хуткасцях справядлівы для беспарадкавага руху.
4 Зак. 5541
41
2.9. Газ у сілавым полі. Бараметрычная формула
Пры раўнаважным станс газу хаатычны рух малскул і дзеяннс на іх сілы цяжару прыводзяць да таго, што газ раўнамсрна размяркоўвасцца'па ўсім дадзеным аб’ёмс. Аднак калі газ знаходзіцца ў полі дзсяння вонкавых сіл, то размсркаваннс яго малскул можа быць і
нсраўнамсрным.
Пры вывядзснні формулы, якая ўстанаўлівас залсжнасць атмасфсрнага ціску р ад вышыні h , зробім наступныя дапушчэнні:
1) паскарэннс сілы цяжару g пастаяннас і нс залсжыць ад вышыні;
2) павстра можна лічыць ідэальным газам з малярнай масай М = = 0,029 кг/моль, паколькі ціск і шчыльнасць павстра нават ля самай
павсрхні Зямлі нсвялікія;
3) тэмпсратура павстра — пастаянная (Т = const). (У сапраўднасці
тэмпсратура павстра змяншасцца з павслічэннсм вышыні.)
(P'dpjS
Рыс. 2.13.
Разглсдзім газ, які знаходзіцца пад уздзсяннсм сілы зямнога прыцяжэння. Вылучым мыслснна нсвялікі элсмснт аб’ёму газу на вышыні h , які мас выгляд плоскапаралсльнай пласціны плошчай 5 і бясконца малой таўшчыні dh. (рыс. 2.13). Няхай ціск, які дзейнічас ўверх на ніжнюю павсрхню элсмента (на вышыні А), роўны р; тады ціск, які дзсйнічас ўніз на верхнюю павсрхню (на вышыні h + dh), можна абазначыць р + dp. Такім чынам, на выбраны элсмснт аб’ёму газ ціснс ўвсрх з сілай pS і ўніз з сілай (р + dp)S. Акрамя гэтага, у вертыкальным напрамку дзсйнічас сіла цяжару
dP = (dm)g = р gdV = р gSdh ,
дзс р — шчыльнасць газу на ўзроўні h, g — паскарэннс сілы цяжару.
Паколькі dh малос, шчыльнасць газу ў мсжах гэтага пласта можа лічыцца пастаяннай. У выніку таго, што газ спакойны, элсмснт аб’ёму яго знаходзіцца ў раўнавазс. Таму рэзультатыўная ўсіх сіл, што дзсйнічаюць на элсмснт аб’ёму газу, роўная нулю:
pS — (р + dp)S р g S dh = 0
або
dp = р gdh .
(2.62)
Замсст р падставім яго значэннс згодна з выразам (2.14). Атрымасм
(2'66)
дзс m — маса Зямлі; G — гравітацыйная пастаянная.
Дапусцім, што тэмпсратура павстра з вышынёй нс мянясцца. Памножым лічнік і назоўнік паказчыка экспанснты формулы (2.65) на п о (ло — канцэнтрацыя малскул на вышыні ). 3 улікам л0 кТ = = р0 і п0 т0 = р0 ціск павстра на вышыні прыкладна да 100 км разлічваецца па формуле
Р = Ро схр
Ро S (h-h0) Ро
)•
(2.67)
Калі ціск ля павсрхні Зямлі pq = рн = 101,325 кПа і тэмпсратура паветра на любой вышыні 0°С, то з формулы (2.67) маем
р = р0 схр (- , (2.68)
дзе вышыня h вымярасцца ў кіламстрах, а ціск р — у кілапаскалях.
Фор/лулы (2.64) (2.65), (2.67) і (2.68) называюцца барамстрычнымі формуламі Лапласа. Мы знайшлі, што ціск павстра экспанснцыйна
змяншасцца з вышынёй. Гэта змяншэннс адбывасцца хутчэй пры нізкіх тэмпсратурах і для газаў з большай малярнай масай. Алс нават на адной і той жа вышыні ціск можа змяняцца ў залсжнасці ад надвор’я. У сярэднім ціск атмасфсры на ўзроўні мора складае 101,325 кПа. Гэта значэннс нярэдка выкарыстоўваецца ў якасці самастойнай адзінкі ціску — атмасферы.
Пры дасканальных вылічэннях атмасфернага ціску трэба ўлічваць паніжэннс тэмпсратуры павстра па мсры павслічэння вышыні. Пры рп = 101,325 кПа і/= 15 ° С для вышынь да 11 000 км карыстаюцца міжнароднай формулай
101,3 (І-^255 ,
дзс ціск /) вымярасцца ў кілапаскалях, вышыня h — у кіламстрах.
Для вызначэння вышыні ў авіяцыі і аэранаўтыцы шырока выкарыстоўваюць формулу (2.64). Пасля лагарыфмавання яс атрымасм
(2.69)
Л Ло =
RT . /’о
In
КНІГІ ОНЛАЙН
