КНІГІ ОНЛАЙН

Курс агульнай фізікі

Цеплыня і малекулярная фізіка: Вучэб. дапам.

Выдавец: Вышэйшая школа

Памер: 232с.

Мінск 1994

88.66 МБ

Р^ = NkTf, p2V2 = NkT2.
Адсюль
P\V\ P2^2 . pV
— або -=r = const, m = const, 71	7 2	7
(2.30)
r. 3h. здабытак аб’ёму газу i ціску, які падзелены на абсалютную тэмпературу, для дадзенай масы газу ёсць велічыня пастаянная.
Знойдзем шчыльнасць газу. Дапусцім, што газ у стане / характарызуецца ціскам pj , тэмпературай Т1 і шчыльнасцю Pi , а стан 2 адпаведна велічынямі р2 , Т2 і р2 . Паколькі аб’ём і шчыльнасць адваротна прапарцыйныя, г. зн. IV2 = р2 /рі ■ Згодна з формулай (2.30), маем
РтУх	Р т\
аб° •
Сярэдняя шчыльнасць сумесі <р> залежыць ад мас кампанентаў сумесі, г. зн.
Р1^1 +Р2^2 + •••
+ т2 + ...
дзс Pi , р2 — шчыльнасць 1-га і 2-га кампанснтаў сумссі адпаведна; «1 , m2 — масы 1-га і 2-га кампанснтаў.
Закон Авагадра. Італьянскі вучоны А. Авагадра ў 1811 г. устанавіў, што роўныя аб’ёмы газу пры аднолькавых ціску і тэмпсратуры змяшчаюць аднолькавую колькасць малскул. Каб вывссці гэты закон, выкарыстасм асноўнас раўнаннс малскулярна-кінстычнай тэорыі газаў
для pV у выглядзс
т/ _ 2 .. mw2 pV ^< 2
дзе N — колькасць малскул у аб’ёмс V; тд — маса малскулы; 2
 — сярэдняс значэннс квадрата хуткасці.
Для розных газаў пры аднолькавых ціску і аб’ёмс справядлівая роўнасць
2	_	2 ,, _ то2Р2 _
5М<—> = з^2 <-2>•
Паколькі
„ Woi^l 3 , „ .	^02^2	3
то пры пастаяннай тэмпсратуры = Т2) А^ = N2 ■ Калі малярная маса прапарцыйная масс асобнай малскулы, закон Авагадра можа быць сфармуляваны наступным чынам: 1 моль любога рэчыва ў газападобным стане пры аднолькавых тэмпературах і цісках займае адзін і той жа аб’ём. Так, пры нармальных умовах 1 моль любога газу займае аб’ём 22,41 • 10~3 м3 , г. зн. Ужн = 22,4 1 • 10-3 м3 /моль.
Закон Дальтона. Калі ў пасудзіне знаходзіцца сумссь розных газаў з канцэнтрацыямі малскул «і , л2 > лз і г. Д-, то іх сукупны ціск на сценкі пасудзіны, згодна з малекулярна-кінстычнай тэорыяй, вызначаецца выразам р = пкТ, дзс п = П[ + л2 + ••• Тады
р = пікТ + пгкТ + пзкТ + ... = рі + р2 + рз + ...
Гэта і ёсць закон Дальтона: агульны ціск, які аказвае сумесь хімічна нс j/заемадзейных газаў, роўны суме парцыяльных ціскаў гэтых газаў. Пры гэ’ігым парцыяльным называсцца ціск, які ствараецца кожным з кампанентаў' газу ў адсутнасці другіх кампанснтаў гэтай сумесі.
У заключДнне трэба адзначыць, што сфармуляваныя вышэй газавыя законы і раўнанне Мендзялссва—Клапейрона дастаткова добра апісваюць паводзіны ўсіх газаў пры малых цісках і не надта нізкіх тэмпсратурах. Чым больш разрэджаны газ, тым ён бліжэй да ідэальнага.
Законы для ідэальных газаў можна прымяняць, такім чынам, да досыць разрэджанага газу. Атмасфсрнас паветра пры нармальных умовах мала чым адрознівасцца ад ідэальнага газу. Таму формулы, вывсдзсныя для ідэальнага газу, можна выкарыстоўваць для атмасфсрнага павстра бсз істотных памылак.
2.6.	Размеркаванне малекул па хуткасцях
Пры вывядзснні асноўнага раўнання малскулярна-кінстычнай тэорыі (2.8) мы адзначалі, што малскулы рухаюцца з рознымі хуткасцямі. Сапраўды, хуткасць кожнай малскулы пры сутыкненні мянясцца. Яна можа ўзрастаць і змяншацца. Малскулы, хуткасці якіх всльмі вялікія і всльмі малыя ў параўнанні з сярзднім значэннсм v , сустракаюцца рэдка. Алс, згодна з малскулярна-кінетычнай тэорыяй, як бы не мяняліся хуткасці малскул пры сутыкнсннях, іх сярэдняя хуткасць застасцца пастаяннай для дадзснаіі масы пры 7' = const. Гэта тлумачыцца тым, што ў газс, які знаходзіцца ў станс раўнавагі, устанаўлівасцца пэўным чынам стацыянарнас размсркаваннс малскул па хуткасцях. Гэта размсркаваннс, якос нс залежыць ад вонкавых сіл, выражаецца законам Максвсла. Гэты закон з’яўлясцца статыстычным. Ён вызначас колькасць малскул, якія маюць хуткасці, што ляжаць у нскаторым інтэрвалс паблізу зададзенай хуткасці. Лік розных значэнняў хуткасці бясконца вялікі, колькасць жа малскул кансчная. Таму імавернасць таго, што якая-нсбудзь малскула будзс мсць строга пэўную хуткасць, роўная нулю.
Перш чым сфармуляваць закон размсркавання малекул па хуткасцях, трэба ўстанавіць спосаб падліку малскул, які маюць пэўныя хуткасці. Для гэтага Дж. К. Максвслам было ўвсдзсна паняцце прасторы хуткасцей (рыс. 2.7). Пункт у гэтай прасторы адпавядас адной
малскулс з пэўнай хуткасцю г. Колькасць малскул, якія маюць хуткасці ад і’да u + du, роўная колькасці пунктаў у шаравым слоі, абмежаваным павсрхнямі радыусамі
u = V u2 +	+ t? ; u + du =
= V (ux + du^ + (Uy + dv^ + (v. + dv^" .
Абазначым колькасць малскул з хуткасцямі ад u да u + du праз dn^ , атрымасм
dtiy =	>	(2.31)
дзс гі[ (u) — колькасць малскул у адзінкавым інтэрвалс хуткасцсй ад u да u + 1.
Абазначым колькасць малскул у адзінкавым аб’ёмс ізатропнай прасторы хуткасцсй праз n(u). Тады (рыс. 2.8)
dnu = n(u)4nu2du.	(2.32)
3 раўнанняў (2.31) і (2.32) вынікас
лДу) = 4лі>2«(р) .	"	(2.33)
У формулс (2.32) велічыню dnu /Indu) абазначым праз /(u) і назавём яс нармаванай функцыяй размсркавання малскул па хуткасцях. Для яс вызначэння разглсдзім дзвс ўласцівасці гэтага размсркавання. Псршай уласцівасцю з’яўляецца ізатропнасць. Вслічыня n(u) характарызусцца абсалютнай вслічынёй хуткасці, а нс значэннямі асобных кампанентаў. Такім чынам, для размсркавання малскул па хуткасцях істотная энсргія гэтых малскул. Таму замсст вслічыні пМ можна выкарыстаць п(Е), дзс Е = т0 u2 /2 — кінстычная энергія малскулы.
Другая ўласцівасць заключасцца ў тым, што размсркаваннс малскул па хуткасцях павінна быць стацыянарным, г. зн. нс мяняцца ў часс.
Абапіраючыся на гэтыя ўласцівасці, вывсдзсм закон размсркавання малскул па хуткасцях. Няхай у сутыкнснні ўдзсльнічаюць малскулы з энергіямі Е\ і £2 • Паводлс закону захавання энергіі (сутыкнснні малскул абсалютна пругкія)
Ei + Е2 = Е'і + Е'2 >	(2.34)
3 Зак. 5541
33
дзс £'і і Е'2 — энсргіі малскул пасля сутыкнсння. Колькасць сутыкнснняў малскул прапарцыйная здабытку п (Е[ ) і п (Е2 ).
Калі сума энсргій (2.34) будзс пастаяннай, тады здабытак
л(Еі)/7(Е2) = «(£’1) "(£'2)
(2.35)
таксама будзс пастаянным, а размсркаваннс малскул стацыянарным.
Функцыю п(Е), згодна з раўнаннямі (2.35) і (2.34), запісаць
можна
£ n(d) = a схр(,
(2.36)
дзс а і 0 — пастаянныя вслічыні.
Функцыя (2.36) і з’яўлясцца шукасмай функцыяй размсркавання малскул па хуткасцях. Падставім у (2.33) замест n(u) значэннс з формулы (2.36):
2
2 «1(f) 4л?«у схр ( — 20 ) '
(2.37)

Формула (2.31) з улікам (2.37) прымс выгляд
2
2	w0y
dnv 4n.au exp (-	) du •
(2.38)
Знойдзсм а і 0 у раўнанні (2.38). Канстанту а можна вызначыць так, каб агульная колькасць пунктаў у прасторы хуткасцсй была роўная колысасці малскул у адзінцы аб’сму газу, г. зн. п .
Такім чынам,
00	00	^2
n f dnv 4лаJ v cxp( -	) du .
0	0
(2.39)
Як вядома, інтэграл
00
f .r2cxp(-a.v2) dx
0
1	/ JC
з’яўлясцца таблічным і роўны Tv —г . 3 улікам гэтага выраз (2.39) 4 a
прыме выгляд
п = a
2л0
3/2
w0
(2.40)
3 формулы (2.40) масм
/	\ 3/2
a = п
Wp 2л0
(2.41)
Знойдзем парамстр 0. Для квадрата хуткасці малскулы і
гэтага выраз
выкарыстаем сярэдняс значэннс (2.38):
,2
J vanvdv 0
4я n
J v ехр(— о
2в
-)dv.
(2.42)
a
т0У
Інтэграл тыпу
00	2
J f exp(	) dv o
, ..	, .	... ЗуСтг
з яулясцца таблічным і роуны —g-
20
w0
5/2
. Такім чынам, з
улікам
значэнняў інтэграла і выгляд
а, згодна з формулай (2.41), выраз (2.42)
прыме
,2
30
w0
(2.43)
3 другога боку, з асноўнага раўнання малекулярна-кінстычнай тэорыі газаў для энергіі (2.23)
< р2 > = — .	(2.44)
Супаставім правыя часткі раўнанняў (2.43) і (2.44), атрымасм
0 = kT.
(2А5)
Падставім у формулу (2.38) замсст а значэннс з (2.41) і 0 з (2.45). Атрымаем канчатковы запіс закону размсркавання Максвсла па хуткасцях:
diJu
/	\3/2	2
л I I 2	/ MW , ,
4л" \2лк 7’ r txp ( 2 k T ) < U ‘
(2.46)
Формула (2.46) з’яўляецца фундамснтальнай y малскулярнакінстычнай тэорыі газападобнага і вадкага станаў рэчыва. Статыстычламу размсркаванню малекул па хуткасцях можна надаць большую нагляднасць, калі пабудаваць так званую крывую размеркавання (рыс. 2.9, «). Па восі абсцыс адкладвасцца хуткасць г, якая характарызус размсркаваннс, а па восі ардынат — функцыя = dnv /ndv.
Карыстаючыся крывой размеркавання Максвсла (рыс. 2.9, а), можна графічна знайсці адносную колькасць малскул dnv /п = fMdv,
a
О 100 JOO 500 700 .900 U,M/C
Рыс. 2.9.
крывой да восі абсцыс свсдчыць
якія ў зададзсным інтэрвале валодаюць хуткасцямі ад v да v + +dr. Гэтая імавсрнасць роўная заштрыхаванай плошчы. На рыс. 2.9, б паказана крывая размеркавання малекул азоту па хуткасцях пры тэмпсратуры Т= = 290 К. Можна графічна вызначыць адносную колькасць малекул dn/n = fMdv, якія маюць хуткасці, што ляжаць у інтэрвалс ад г да і' + dv. Так, I % усіх малскул азоту мас хуткасці ад 0 да 100 м/с, 25 % — ад 100 да 300, 42 % — ад 300 да 500, 24 % — ад 500 да 700, 7 % — ад 700 да 900 і 1 % — вышэй за 900 м/с.
Праходжаннс крывой праз пачатак каардынат паказвас на адсутнасць у газс спакойных малскул. Паступовас набліжэннс аб тым, што малскулы з всльмі
вялікімі хуткасцямі сустракаюцца ў газс тым радзсй, чым большая іх хуткасць. Імавсрнасць таго, што ў газс сустрэнсцца малскула, хуткасць якой бясконца вялікая, роўная нулю.
Крывая размсркавання малскул па хуткасцях асімстрычная: правая частка больш пакатая, чым лсвая. Плошча паміж правай часткай крывой размсркавання і воссю абсЦыс большая, чым паміж лсвай і воссю абсцыс. А паколькі плошчы прапарцыйныя колькасці малскул, то гэта азначас, што ў газс больш «хуткіх» малскул, чым «павольных» у параўнанні з найбольш імавсрнай хуткасцю.
Згодна з формулай (2.46),
f f^dv = 1 . 0
(2.47)
Гсамстрычна інтэграл (2.47) паказвасцца плошчай, абмсжаванай графікамі функцыі размсркавання Максвсла і воссю хуткасцсй. Адпавсдна імавсрнасць выяўлсння малскулы ў інтэрвалс хуткасцсй ад 0 да оо роўная адзінцы.
3 формулы (2.46) вынікае, што форма крывой размеркавання і яс размяшчэннс ў плоскасці каардынат dN/Ndv і v залсжаць ад тэмпературы газу. Чым большая томпература, тым вышэй найбольш
імавсрная хуткасць. Паколькі пры гэтым агульная колькасць малскул, якая лікава роўная плошчы, абмежаванай крывой размсркавання і воссю абсцыс, нс мянясцца, то максімалыіая ардыната крывой размеркавання змяншасцца. Уся крывая нс толькі адхіляецца ўправа, але і размяшчасцца ніжэй, робіцца больш пакатай. Дзве крывыя размсркавання пры розных тэмпсратурах Ті і Т2 (Т2 >	)