Курс фізікі, ч. II
Памер: 223с.
Мінск 1958
Рг = — kx, дзе k = ~.
Адсюль відаць, што ваганні маятніка адбываюцца пад дзеяннем сілы, прапарцыянальнай зрушэнню маятніка і накіраванай да становішча яго раўнавагі.
Але ў гэтым заключаецца ўмова ажыццяўлення гарманічных ваганняў. Такім чынам, пры малых амплітудах ваганні маятніка пад дзеяннем сілы цяжару з’яўля
Рыс. 52. Да вываду формулы матэматычнага маятніка.
юцца гарманічньімі, або простымі, ваганнямі.
Практыкаванне 7.
1. Апішыце характар руху маятніка (рыс. 51), запоўніўшы наступную табліцу:
№№ п/п Рухі маятніка Як мяняецца велічыня сілы, што рухае маятнік Як мяняецца велічыня скорасці руху маятніка Як мяняецца велічыня паскарэння руху маятніка
1 Ад В да A
2 v A » С
3 » С » Л
4 » A » В
Як накіравана паскарэнне руху маятніка ў пунктах В і С?
У якіх становішчах маятніка скорасць яго руху найбольшая? У якіх наймгншая?
У якіх становішчах маятніка паскарэнне яго руху найбольшае?
2. Пад дзеяннем якой сілы маятнік вагою 100 Р пры адхіленні яго ад становішча раўнавагі на 45° пачынае вяртацца да становішча раўнавагі?
3. Перыяд вагання зубіла пнеўматычнага малатка ровен 0,02 сек. Чаму роўна частата ваганняў? Ваганні зубіла лічыць гарманічнымі.
4. Пры руху поезда кола шатуннакрывашыпнага механізма робіць 1200 абаротаў за 5 мінут. Вызначыць частату ваганняў поршня ў цыліндры паравоза, лічачы іх гарманічнымі.
22. Законы вагання матэматычнага маятніка. Колькасныя суадносіны, якія характарызуюць вагальны ру^ прасцей за ўсё ўстанавіць для так званага матэматычнага маятніка.
37
Матэматычным маятнікам называюць матэрыяльнып^нкт, які падвешан на тонкай, нерасцяжнай і бязважкай ніці. Натуральна, што на практыцы мы можам толькі з той або іншай ступенню дакладнасці набліжацца да гэтага ідэальнага выпадку. Рэальнай мадэллю матэматычнага маятніка ў нашых доследах служыць невялікі металічны шарык, які падвешан на тонкай пругкай ніці. Размеры шарыка павінны быць малыя ў параўнанні з даўжы
нёй ніці. Гэтадае магчымасць лічыць,
Гюйгенс Хрысціян (1629—1695) — вялікі галандскі фізік і матэматык. Ён упершыню выраіпьіў рад важнейшых задач механікі, адкрыў закон вагання маятніка, устанавіў формулу дацэнтрабежнай сілы. Гюйгенсу належыць вынаходства маятнікавых гадзіннікаў (1657). Ён развіў тэорьпо светлавых з’яў, якая не страціла свайго значэння і ў цяперашні час.
што ўся яго маса сканцэнтравана ў адным пункце — цэнтры цяжару шарыка.
Падвесім да стойкі адзін з такіх маятнікаў даўжынёю каля 1 м і, адвёўшы яго ад становішча раўнавагі на невялікі вугал, вызначым, за які час ён зробіць, напрыклад, 50 ваганняў.
Паменшым вугал адхілення (пачатковую амплітуду) і зноў вызначым час, на працягу якога шарык зробіць 50 ваганняў.
Аказваецца, што і пры паменшанай амплітудзе шарыку спатрэбіўся для 50 ваганняў той жа ча'с, што і пры большай амплітудзе. Мяняючы ў невялікіх межах амплітуду ваганняў маятніка, можна выявіць, што перыяд вагання маятніка пры невялікіх амплітудах не залежыць ад амплітуды вагання.
Гэтая ўласцівасць маятніка, адкрытая ўпершыню Галілеем, называецца ізахроннасцю1. Яна, як мы ўбачым
далей (§ 27), дала магчымасць прымяніць маятнік у гадзінніках.
Падвесім да стойкі на доўгіх нітках два аднолькавыя шарыкі2, зробленыя з розных матэрыялаў, напрыклад сталыіы і свінцовы, так, каб даўжыні атрыманых маятнікаў былі аднолькавыя.
Адхілім абодва маятнікі ад становішча раўнавагі на адзін і той жа вугал. Яны вагаюцца сінхронна, г. зн. перыяды іх вагання аднолькавыя, хаця масы маятнікаў розныя. Мяняючы як заўгодна
1 Ізахроннасць — ад грэч.: ізас — аднолькавы, хронас — час.
2 Аднолькавыя па размеру шарыкі пры руху будуць адчуваць аднолькавыя супраціўленні паветра.
38
масы маятнікаў, можна пераканацца, што перыяд вагання матэ~ матычнага маятніка не залежыць ад масы маятніка.
Праробім яшчэ адзін дослед, падвесіўшы да стойкі некалькі аднолькавых шарыкаў на нітках рознай даўжыні. Прывёўшы ў ваганне маятнікі, заўважым, што перыяды ваганняў іх будуць розныя: чым меншая даўжыня маятніка, тым меншы перыяд яго ваганняў.
Галандскі вучоны Гюйгенс, даследуючы законы вагання маятніка, устанавіў, што перыяд вагання матэматычнага маятніка прама прапарцыянальны кораню квадратнаму з даўжыні маятніка і адваротна прапарцыянальны кораню квадратнаму з паскарэння сілы цяжару:
дзе I — даўжыня маятніка, g — паскарэнне сілы цяжару.
Маятнік з’яўляецца найбольш простым, зручным і дакладным прыборам для вызначэння паскарэння сілы цяжару.
Наяўнасць у якімнебудзь месцы Зямлі залежаў карысных выкапняў, якія адрозніваюцца па шчыльнасці ад акружаючых іх парод, адбіваецца на змяненні велічыні паскарэння g у гэтым месцы. Сайраўды, паскарэнне g абумоўлена сілай цягацення, а апошняя будзе тым большая, чым большая прыцягвальная маса Зямлі. На гэтым грунтуецца шырокае выкарыстанне маятніка ў прыборах, якія прымяняюцца ў геалагічных разведках. Па вымярэнню перыяду вагання маятніка Т у дадзеным месцы вылічваюць велічыню g. Калі яна будзе, напрыклад, больш за нармальную, то, значыць, у гэтым месцы сканцэнтраваны пароды большай шчыльнасці і, наадварот, у месцах, дзе залягаюць менш шчыльныя пароды, паскарэнне g будзе меншае, чым нармальнае.
Практыкаванне 8.
1. Знайсці даўжыню матэматычнага маятніка, перыяд вагання якога на шыраце Масквы ровен 1 сек I g = 981,56 I.
2. Чаму павінна быць роўна паскарэнне сілы цяжару, каб маятнік даўжынёю 1 лі вагаўся з перыядам у 2 сек?
3. Вызначыць даўжыню маятніка з перыядам вагання ў 1 сек на Луне (см \ / см \
^л = 160 на Марсе = 360"сёкг
23. Графічны запіс вагальнага руху. Графічны запіс руху шырока
лрымяняецца пры вывучэнні вагальных працэсаў, якія хутка адбы
ваюцца, таму што дае магчымасць вывучыць кожную стадыю такіх
працэсаў.
Найбольш простай і нагляднай формай запісу з’яўляецца запіс
ваганняў маятніка пяском на паперы або на фанеры пры дапамозе
прыбора, паказанага на рыс. 53а.
Шкляная лейка, запоўненая пяском, можа рабіць ваганні ў адной
плоскасці. Пад лейкай знаходзіцца фанера з нанесенай пасярэдзіне
«нулявой» лініяй 00х.
39
Калі фанера будзе нерухомай, то лейка пры адхіленнях ад становішча раўнавагі ўправа будзе высыпаць пясок па адзін бок ад нулявой лініі, а пры адхіленнях улева — па другі. Пры раўнамерным руху фанеры ўлева насыпаемая лейкай пясчаная дарожка будзе перасякаць нулявую лінію ООХ праз аднолькавыя прамежкі часу, роўныя / т \ палавіне перыяду
Калі ўявіць сабе, што ў кожны момант часу лейка высыпае пэўную порцыю пяску, то гэтыя пясчаныя порцыі будуць фіксаваць на фанеры становішча маятніка ў кожны момант часу. Найкарацейшая адлегласць ад ліобой адвольна ўзятай пясчанай порцыі да «нулявой лініі» будзе роўна зрушэнню маятніка х у пэўнае імгненне. Максімальная велічыня зрушэння вызначыць нам амплітуду вагання (Д). Бесперапыннае высыпанне пясчаных порцый створыць бесперапынную пясча
Рыс. 53а. Устаноўка для запісу вагання маятніка.
Рыс. 536. Графік вагання маятніка.
змяненне зрушэння маятніка ў залежнасці ад часу (рыс. 536).
Для дадзенага выпадку пясчаны графік руху маятніка будзе мець выгляд сінусоіды.
Паколькі графічна гарманічнае ваганне паказваецца сінусоідай, то яго часта называюць яшчэ с інусаідальным ваганнем.
24. Фаза ваганняў. Зрушэнне фаз. Калі два маятнікі, рухаючыся ў адзін і той жа бок, у некаторы момант адначасова праходзяць становішча раўнавагі, то прынята гаварыць, што ў гэты момант яны знаходзяцца ў аднолькавых ф а з а х1. Гэтая аднолькавасць фаз будзе мець месца бесперапынна і далей пры ўмове, калі частоты ваганняў маятнікаў аднолькавыя. Такі выпадак паказан на рыс. 54а. Сінусаідальныя крывыя, якія з’яўляюцца графічным запісам вагальных рухаў абодвух маят
нікаў, пры накладанні супадаюць адна з другой.
Магчым выпадак, калі маятнікі, дасягаючы становішча раўнавагі або іншага, аднолькава выбранага для кожнага з іх пункта, рухаюцца ў працілеглыя бакі. У гэтым выпадку маятнікі знаходзяцца
1 Фаза (ад грэч. фазіс)— пэўны момант, перыяд у развіцці якойнебудзь з’явы.
40
ў працілеглых фазах. Сінусаідальныя крывыя, якія паказваюць такі выпадак вагання (рыс. 546), ссунуты адна адносна другой у часе на палавіну перыяду.
Фаза ёсць адна з велічынь, якія характарызуюць вагальны рух. Установім меру гэтай велічыні. Для гэтага звяжам вагальны рух з раўнамерным рухам пункта па акружнасці. На рыс. 55 літарамі 0, 01> 02 і г. д. абазначаны розныя становішчы невялікага шарыка, які рухаецца раўнамерна па акружнасці, а літарамі Ро, Plt Рг і г. д.— становішчы яго праекцыі на плоскасць MN. Праекцыя шарыка вагаецца каля сярэдняга становішча Ро, адхіляючыся ад яго
Рыс. 54а. Маятнікі вагаюцца ў аднолькавых фазах.
Рыс. 546. Маятнікі вагаюцца ў працілеглых фазах.
ўверх і ўніз. Дакажам, што гэты рух з’яўляецца гарманічным ваганнем. Для якоганебудзь становішча праекцыі Р± велічыня адхілення: х = Р^^ВО^
Амплітуда вагання (Л) роўна найбольшай велічыні адхілення:
а=^р0р2 = ооі^оо1.
3 трохвугольніка 0В0г вынікае, што BC^ = ООг sin ? або:
x = Asin
КНІГІ ОНЛАЙН
