Логіка
Аркадзь Бабко
Памер: 184с.
Мінск 2017
A в с в —с А^В A — (В ► С) (A — В) — С
п 11 п п п п п
п п X X п X X
п X п п X п п
п х X п X п п
X п п п п п п
X п X X п п X
X X п п п п п
X X X п п п X
Такім чынам, тэхнічная мова логікі мае сваю пунктуацыю, якой неабходна авалодаць, каб упэўнена аперыраваць яе формуламі.
Тыпы формул у логіцы выказванняў
У рознага кшталту рэканструкцыях логікі выказванняў істотнае месца належыць, як правіла, класіфікацыі яе выразаў з пункту гледжання характару ўсёй сукупнасці іх лагічных значэнняў. На гэтай аснове вылучаецца тры іх класы:
законы, ці таўталогіі (з’яўляюцца праўдзівымі пры ўсіх размеркаваннях лагічных значэнняў зменных);
108
супярэчнасці (з’яўляюцца хібнымі ва ўсіх выпадках);
лагічна нейтральныя (маюць у выніку і праўдзівыя, і хібныя лагічныя значэнні, гэта значыць не з’яўляюцца ні законамі, ні супярэчнасцямі).
Лагічна нейтральныя формы выказванняў разглядаліся вышэй, і таму неабходна засяродзіць увагу на таўталогіях і супярэчнасцях. Разгледзім як прыклад закона выказванне A —> (В —» А). Яно сапраўды будзе праўдзівым ва ўсіх радках табліцы. Дакажам гэта, грунтуючыся на характары фукцыянальнай сувязі лагічных значэнняў у выпадку імплікацыі, з якой мы маем справу: як мы памятаем, яна з’яўляецца хібнай пры ўмове праўдзівасці першага кампанента і памылковасці другога. Таму ў тых радках табліцы, дзе А хібнае, выказванне A —♦ (В —» А) незалежна ад лагічных значэнняў В з’яўляецца праўдзівым. У тых выпадках, калі A праўдзівае, яно робіць праўдзівым другі кампанент дадзенага выказвання пры любым значэнні В, а разам з ім і ўсё выказванне ў цэлым. Праілюструем наш доказ адпаведнай табліцай праўдзівасці:
A в В —A A > (В — А)
п п п п
п X п п
X п X п
X X п п
Разглядаючы грунтоўныя законы логікі, мы вялі гаворку пра тое, што яны могуць быць прадстаўлены ў выглядзе формул пэўнага тыпу. Цяпер мы можам сфармуляваць згаданыя законы на мове логікі выказванняў і прааналізаваць адпаведныя фармулёўкі, якія павінны належаць менавіта да той групы формул, што называюцца ў рамках нашай класіфікацыі законамі, ці таўталогіямі. Закон тоеснасці мы сфармулюем наступным чынам: A « A. ^ (A A ■ A) гэта формула закона (не)супярэчнасці, a A v • A закона выключанага трэцяга. Усе гэтыя формулы сапраўды маюць праўдзівае лагічнае значэнне незалежна ад лагіч
109
нага значэння А, гэта значыць ва ўсіх радках адпаведных табліц праўдзівасці. У першым выпадку гэта мае месца, паколькі эквіваленцыя ўтворана на аснове аднаго зыходнага выказвання, гэта значыць яе кампаненты ідэнтычныя, яны супадаюць, а пры супадзенні кампанентаў з неабходнасцю супадаюць і іх лагічныя значэнні. Выказванне , (A A ^ А) заўжды праўдзівае, паколькі ўзяты ў дужкі складаны выраз, што тут адмаўляецца, заўжды памылковы (лагічнае значэнне A і ^ А заўжды супрацьлеглае, яны не могуць быць адначасова праўдзівымі). Несупадзенне лагічных значэнняў A і ^ А цягне за сабой і праўдзівасць трэцяй формулы ў абодвух радках табліцы, паколькі ў кожным з іх ёсць зыходнае выказванне з праўдзівым лагічным значэннем. Супольная табліца праўдзівасці разгледжаных намі законаў мае, такім чынам, наступны выгляд:
A A — A (A A А) A v ■ A
п п п п
X п п п
Адносна закона дастатковай асновы нярэдка сцвярджаецца, што ён выходзіць за рамкі логікі выказванняў і таму не можа быць сфармуляваны яе сродкамі. Але часам робяцца спробы сфармуляваць яго ў сімвалічнай форме. У якасці такой фармулёўкі прапаноўваецца, напрыклад, выказванне (A —* В) —► (> В —♦ • А), якое ўяўляе сабой фармалізацыю наступнай версіі вызначэння зместу дадзенага закона сродкамі натуральнай мовы: «Калі ёсць аснова, дык ёсць і вынік. Таму калі няма выніку, дык няма і асновы» [2, с. 247]. Згаданая формула сапраўды з’яўляецца таўталогіяй, пра што сведчыць яе табліца:
A в A в A —В В — А (А»В)*еВ —А)
п II X X п п п
п X X п X X п
X п п X п п п
X X п п п п п
по
Ва ўсіх выпадках, аднак, яе магчымая сувязь з грунтоўным законам логікі ніколькі не ўзнімае яе над іншымі прадстаўніцамі класа таўталогій (не ў лепшай сітуацыі, зрэшты, знаходзяцца і прыведзеныя вышэй формулы, у якіх фіксуюцца законы тоеснасці, (не)супярэчнасці і выключанага трэцяга).
Формулысупярэчнасці шчыльна звязаны з формуламітаўталогіямі, яны з лёгкасцю пераходзяць адна ў адну: варта толькі адмовіць адпаведнае выказванне, і закон ператвараецца ў супярэчнасць, а супярэчнасць у закон. Сапраўды, паколькі ў выніку адмаўлення зыходнага выказвання яго лагічнае значэнне мяняецца, а дадзенае выказванне з’яўляецца законам, гэта значыць ва ўсіх радках табліцы выступае як праўдзівае, дык усе яго выніковыя лагічныя значэнні будуць пры адмаўленні хібнымі і яно ператворыцца ў супярэчнасць. А ў тым выпадку, калі адмаўляецца супярэчнасць, усе яго лагічныя значэнні зробяцца праўдзівымі, і мы атрымаем у выніку закон. Праілюструем гэта на супольнай табліцы праўдзівасці выказванняў AA’Ai_'(AA_' A):
A A AAA (A A A)
п X X П
X п X n
Семантычныя схемы
Мы выкарыстоўвалі дагэтуль і далей будзем выкарыстоўваць найперш таблічны метад для аналізу і вырашэння праблем логікі выказванняў. Неабходна, аднак, мець на ўвазе, што табліцы праўдзівасці не адзіны інструмент, які навукоўцы маюць у сваім арсенале для эфектыўнай даследчай працы ў гэтым абсягу. Адзначым у дадзенай сувязі метад семантычных схем (логікі завуць іх парознаму: семантычнымі або аналітычнымі табліцамі, дрэвамі праўдзівасці і да т. п.), прапанаваны галандскім філосафам і логікам Э. Бетам (19081964), а ў класічнай форме распрацаваны амерыканскім філосафам, логікам і піяністам Р. Смаліянам. У гэтых схемах«дрэвах» умовы праўдзівасці або хібнасці пэўнага выказвання фіксуюцца пад ім, адпаведныя формулы злучаюцца рыскай. Прадэманструем гэта на прыкладзе адмаўлення:
ill
п’А х ~' A
х A nA
Пры складанні семантычных схем можна абысціся без знакаў, якія перадаюць праўдзівасць або хібнасць пададзеных у іх выразаў, улічыўшы, што пры ўмове хібнасці пэўнага выказвання праўдзівым з’яўляецца яго адмаўленне, абазначэннем якога можна замяніць абазначэнне хібнасці, знак праўдзівасці можна ў такім выпадку апусціць. Трансфармуем у адпаведнасці з гэтым прыведзеныя вышэй «дрэвы» для адмаўлення:
A —A
A A
Калі ў выпадку праўдзівага выказвання мы маем нецікавую, таўталагічную канстэляцыю, дык схема яго хібнага адпаведніка фіксуе надзвычай важны лагічны закон, закон падвойнага адмаўлення, у якім даводзіцца пра эквівалентнасць падвойнага адмаўлення і сцверджання. Мы можам прыйсці да яго і пры дапамозе табліцы:
A A A
п X п
X п X
Такім чынам, падвойнае адмаўленне можа быць уведзена ці выдалена, лагічнае значэнне адпаведнай формулы пры гэтым не мяняецца.
Пытанні і заданні
1. Складанае выказванне гэта феномен, аналіз якога, на думку шмат каго з даследчыкаў [34, с. 1107, 35, с. 229], з’яўляецца асновай для ўзнікнення сучаснай логікі. Падумайце, як можна растлумачыць гэты факт?
112
2. Фармалізуйце наступныя выказванні:
а) Алесь Гарун вялікі паэт, а яго жыццё прыклад служэння Радзіме.
Ь) У той час як я веру ў высокае прызначэнне чалавецтва, йімат якія з людскіх учынкаў выклікаюць у мяне глыбокае расчараванне.
с) Няпраўда, што кан ’юнкцыя праудзівая тады і толькі тады, калі праўдзівы, прынамсі, адзін яе кампанент.
3. Складзіце табліцы праўдзівасці наступных выказванняў:
a) (A A В) » (A « В); b) A > (В A С ); с) (A A В) v (В С ).
4. X і Y складаныя выказванні. Кожнае з іх змяшчае два кампаненты, і ў кожным ужываюцца два лагічныя злучнікі. Прааналізуйце прыведзеную ніжэй супольную табліцу гэтых выказванняў і вызначце іх формулы.
A в X Y
п п X п
п X X п
X п X п
X X п X
5. Якія высновы адносна лагічных значэнняў кан’юнцыі, строгай дыз’юнкцыі, імплікацыі і эквіваленцыі выказванняў A і В можна зрабіць пры наяўнасці іх хібнай нястрогай дыз’юнкцыі?
6. Вызначце пры дапамозе табліц праўдзівасці, да якога класа формул (таўталогій, супярэчнасцяў ці лагічна нейтральных утварэнняў) належаць наступныя выразы:
a) (A A В) ^ (В A A); b) A > (В v С); с) A > ( A — B); d) A A (A v B); e) ((A A B) > A); f) (A v B) — B.
7. «Дрэвы праўдзівасці» ў выпадку кан’юнкцыі і нястрогай дыз’юнкцыі маюць наступны выгляд:
113
АЛВ
A
В
(A A В)
/ \
A B
A v B /\
A B
(A v B)
B
Складзіце такія схемы для праўдзівай і хібнай імплікацыі выказванняў A і В.
3. 2. ДАЧЫНЕННІ ПАМІЖ СКЛАДАНЫМІ ВЫКАЗВАННЯМІ
Параўнальныя і непараўнальныя, сумяшчальныя і несумяшчальныя складаныя выказванні
У папярэднім параграфе мы ўжо сутыкнуліся з тым фактам, што складаныя выказванні пэўным чынам дачыняюцца адно да аднаго, выяўляюць пэўныя ўзаемасувязі. У першую чаргу адзначым, што значнымі з пункту гледжання логікі з’яўляюцца толькі адносіны паміж параўнальнымі выказваннямі (выказваннямі, у якіх ёсць, прынамсі, адзін агульны кампанент). Таму дачыненне непараўнальнасці (дачыненне паміж выказваннямі, што не маюць агульных кампанентаў, як, напрыклад, у выпадку выказванняў A A В і С —> D) не закраналася намі дагэтуль і не будзе разглядацца далей. Што да параўнальных выказванняў, дык мы будзем суадносіць іх у семантычным плане, зважаючы на іх лагічныя значэнні ў кожным радку адпаведных табліц праўдзівасці. Разгледжанае ў такім ракурсе дачыненне параўнальнасці выяўляе дзве грунтоўныя формы, што супрацьстаяць адна адной як дачыненне сумяшчалыіасці і несумяшчальнасці. Першае мае месца (і адпаведныя выказванні выступаюць як сумяшчальныя), калі хоць бы пры адным размеркаванні лагічных значэнняў кампанентаў (гэта значыць, прынамсі, у адным радку супольнай табліцы праўдзівасці) яны з’яўляюцца праўдзівымі. Калі няма ніводнага выпадку іх адначасовай праўдзівасці (гэта значыць у тых радках табліцы, дзе праўдзівы адзін, абавязкова хібны другі),
114
мы маем справу з дачыненнем несумяшчальнасці і, адпаведна, з несумяшчальнымі выказваннямі.
Падпарадкаванне (выніканне) і частковая сумяшчальнасць
I сумяшчальнасць, і несумяшчальнасць выступаюць, у сваю чаргу, у пэўных разнавіднасцях, дастаткова шырокі і разнастайны спектр якіх шмат у чым падобны да зафіксаванай пры дапамозе лагічнага квадрата сукупнасці стасункаў, характэрных для катэгарычных выказванняў. Так, сярод дачыненняў сумяшчальнасці зусім не цяжка знайсці такія, што адпавядаюць падпарадкаванню і падсупрацьлегласці (як мы памятаем, гэта дачыненні, грунтоўнай характарыстыкай якіх таксама з’яўляецца магчымасць адначасовай праўдзівасці адпаведных выказванняў). Адзначым, што падпарадкаванню адпавядае дачыненне вынікання. Разгледзім канкрэтны прыклад. Для гэтага фармалізуем выказванні Калі тэмпература вады апускаецца пры нармальных умовах да О° С, дык вада крышталізуецца, а калі яна крышталізуецца, дык назіраецца парушэнне характэрнай для яе вадкага стану сіметрыі і Калі тэмпература вады апускаецца пры нармальных умовах да О° С, дык назіраецца парушэнне характэрнай для яе вадкага стану сіметрыі: (A —> В) A (В —> С) гэта фармальны запіс першага, (А —► С) другога. Склаўшы іх супольную табліцу праўдзівасці, мы пераканаемся, што з праўдзівасці першага выказвання тут заўжды вынікае праўдзівасць другога, але не наадварот:
КНІГІ ОНЛАЙН
