Логіка
Аркадзь Бабко
Памер: 184с.
Мінск 2017
128
папярэдняй трансфармацыі выразу згодна з палажэннем, паводле якога, адмаўленне кан’юнкцыі раўназначна дыз’юнкцыі адмаўленняў. Выдаліўшы магчымыя падвойныя адмаўленні, мы атрымаем кан’юнкцыю дыз’юнкцый зменных, што ўваходзяць у формулу выказвання X, узятых у тых радках табліцы, дзе яно з’яўляецца хібным, іх лагічнае значэнне павінна змяніцца на супрацьлеглае. Відавочна, што дадзеная кан’юнкцыя з’яўляецца лагічным эквівалентам ^ ДНФ (^ X). Але ■ ДНФ (^ X) <=> X. Таму знойдзеная намі кан'юнкцыя спалучаных праз дыз’юнкцыю зменных, што ўваходзяць у формулу выказвання X, узятых з процілеглым лагічным значэннем у тых радках табліцы, дзе яно хібнае, з’яўляецца эквівалентнай дадзенаму выказванню. Гэтая кан’юнкцыя і завецца кан’юнктыўнай нармальнай формай. Такім чынам, X <=> КНФ (X).
Разгледзім канкрэтны прыклад атрымання КНФ. Няхай нам трэба запісаць у ёй выказванне (A v ^ В) <> (A —> С). Складзем табліцу праўдзівасці і вызначым тыя радкі, дзе яно з’яўляецца хібным:
A в с в A v В A —С (A v В) ~ (A ^ С)
п п п X п п п
п п X X п X X
п X п п п п п
п X X п п X X
X п п X X п X
X п X X X п X
X X п п п п п
X X X п п п п
Для кожнага з адзначаных радкоў мы павінны ўтварыць дыз’юнкцыю зменных A, В і С, адмоўленых у тым выпадку, калі яны выступаюць у дадзеным радку як праўдзівыя, і без знака адмаўлення у выпадку наяўнасці ў іх хібнага лагічнага зна
129
чэння: —■ A v —■ В v С; ’ A v В v С; A v —■ В v —• С; A v —■ В v С. Спалучыўшы гэтыя дыз’юнкцыі пры дапамозе кан’юнкцыі, мы робім апошні крок да нашай мэты: атрыманая кан’юнкцыя і ёсць кан’юнктыўная нармальная форма, якую мы шукалі: КНФ ((AvB)^(A^C)) = (AvBvC)A(AvBvC)A(AvВ v С) A (A v В v С).
Відавочна, што для атрымання КНФ пэўнага выказвання такім спосабам у ягонай табліцы праўдзівасці мусіць быць прынамсі адзін радок, дзе яно мае памылковае лагічнае значэнне (гэта значыць, яго формула не павінна належаць да законаў). У тым выпадку, калі выказванне выступае як закон, дык яго КНФ прынята перадаваць наступнай формулай: A v ■ А. Яна належыць да законаў і таму з’яўляецца лагічным эквівалентам любога іншага закона.
Неабходна адзначыць, што у логіцы распрацоўваюцца працэдуры для ўпарадкавання і спрашчэння нармальных форм. У любым выпадку, аднак, практычную карысць яны могуць прынесці толькі тады, калі мы маем справу з вялікімі і складанымі сістэмамі выказванняў. Паколькі актуальна мы засяроджваемся хутчэй на нескладаных лагічных формах, дык найбольш зручным для нас з’яўляецца разгледжанае намі ў папярэднім параграфе «класічнае» мноства лагічных злучнікаў, на якое мы будзем абапірацца і пры аналізе разваг, што грунтуюцца на заканамернасцях логікі выказванняў.
Пытанні і заданні
1. Як паказана ў тэксце параграфа, сучасная логіка мае дастаткова сродкаў, каб стварыць максімальна простую мадэль мовы. Чаму гэта важна? У якіх сферах дзейнасці? Дзеля вырашэння якіх задач?
2. Растлумачце, чаму ў англасаксонскай культурнай прасторы антыкан’юнкцыя называецца nand (notand), а антыдыз’юнкцыя nor (notor).
3. Вызначце тып дачыненняў, якія маюць месца паміж наступнымі складанымі выказваннямі:
а) Вы не зробіце гэты крок, ці мяне напаткаюць непрыемнасці.
ізо
Калі Вы зробіце гэты крок, дык мяне напаткаюць непрыемнасці.
Ь) Калі элементарная часцінка належыць да ферміёнаў, дык для яе характэрны паўцэлы спін.
Калі элементарная часцінка не належыць да ферміёнаў, дык для яе не характэрны паўцэлы спін.
с) Фестываль адбудзецца ў Мінску або Віцебску.
Няпраўда, што фестываль не адбудзецца ні ў Мінску, ні ў Віцебску.
d) Калі Алеся ў Полацку, дык Мікола ў Нясвіжы.
Алеся ў Полацку, але Мікола не ў Нясвіжы.
Адказ абгрунтуйце.
4. Фармалізуйце прыведзеныя ніжэй выказванні, складзіце табліцы іх праўдзівасці, вызначце, якія з іх з’яўляюцца сумяшчальнымі і якія несумяшчальнымі, а таксама той тып сумяшчальнасці або несумяшчальнасці, што яны выяўляюць:
а) Калі ёсць аснова, дык ёсць і вынік.
Ь) Калі няма выніку, дык няма і асновы.
с) Ёсць аснова, але выніку няма.
d) Есць аснова, і ёсць вынік.
5. Дадзена выказванне А, і яно праўдзівае. Ці можна вызначыць лагічнае значэнне выказвання В у прыведзеных ніжэй выпадках (зыходзьце з таго, што адпаведныя складаныя выказванні выступаюць тут як праўдзівыя)? Калі так, дык якое яно?
a) A л В; b) A v В; с) A —> В; d) , (A «+ В).
6. Дадзена выказванне A v В, і яно праўдзівае. Што можна сказаць пра лагічныя значэнні наступных выказванняў:
a) A a В; b) п A л > В; с) і A v ^ В?
7. У тэксце параграфа даводзіцца, што строгую дыз’юнкцыю можна звесці да нястрогай дыз’юнкцыі, кан’юнкцыі і адмаўлення. Правядзіце адпаведную лагічную аперацыю.
8. Як пры дапамозе антыкан’юнкцыі і антыдыз'юнкцыі перадаюцца функцыянальныя залежнасці, характэрныя для праўдзівай і хібнай імплікацыі?
9. Знайдзіце ДНФ наступных выказванняў:
<Д (A ~ В); b) (A v В) — (A A С); сДА ♦ В) «> (A A С); ^(А^ А).
131
10. Знайдзіце КНФ наступных выказванняў:
a) A — ( В A С); b) (A v A) — В; с)(А v В) A (A — С); op (A — В) — ( В > А).
3.3. ВЫСНОЎВАННЕ Ў ЛОГІЦЫ ВЫКАЗВАННЯЎ
Магчымасці логікі выказванняў у кантэксце працэдур высноўвання
Паколькі высноўванне вылучаецца ў логіцы як прыярытэтны прадмет аналізу, дык нельга пакінуць паза ўвагай пытанне пра магчымасці логікі выказванняў у гэтым плане. Пры ўважлівым разглядзе дадзенага пытання выяўляецца грунтоўная значнасць адпаведнага яе патэнцыялу: папершае, яна дазваляе рабіць высновы; падругое, у яе абсягу выяўлены надзвычай эфектыўныя сродкі праверкі і доказу агульназначнасці адпаведных разваг. Што да высноўвання, дык яго трывалым, якасным падмуркам з’яўляюцца функцыянальныя залежнасці на ўзроўні складанага выказвання, дакладна і поўна апісаныя ў абсягу прапазіцыянальнага злічэння. Пэўныя спосабы згаданага апісання выяўляюцца ў сваю чаргу як дзейсныя інструменты праверкі і доказу слушнасці дасягнутых пры гэтым вынікаў.
Засяродзім нашу ўвагу, напрыклад, на праўдзівай кан’юнкцыі. Зыходзячы з яе, можна зрабіць выснову пра праўдзівасць кожнага яе кампанента. Таму, ведаючы, што выказванне У Полацку ідзе дождж, а ў Нясвіжы добрае надвор’е праўдзівае, мы можам выснаваць, што ў Полацку сапраўды ідзе дождж. Запісаная фармальна дадзеная развага мае наступны выгляд:
A A В
A.
(a гэта сімвал, пры дапамозе якога мы будзем уводзіць высновы ў рамках фармальнага запісу разваг; у натуральнай мове яму адпавядаюць выразы «значыцца», «такім чынам» і да т. п.)
Для доказу агульназначнасці дадзенай развагі мы можам, натуральна, выкарыстаць вядомую ўжо працэдуру давядзення да абсурду, якая шырока ўжывалася ў рамках традыцыйнай логікі.
132
Дапусціўшы, што А з’яўляецца тут памылковым, мы атрымаем у выніку хібную кан’юнкцыю выказванняў A і В, бо для гэтага дастаткова хібнасці аднаго яе кампанента. Аднак паводле ўмовы дадзенай развагі зыходная кан'юнкцыя мае праўдзівае лагічнае значэнне. Такім чынам. наша дапушчэнне цягне за сабой супярэчнасць з умовай і мы мусім адмовіцца ад яго.
Надзвычай зручны і эфектыўны сродак вызначэння характару разваг і доказу іх агульназначнасці мае ў сваім арсенале ў выглядзе табліц праўдзівасці і сучасная логіка выказваняў. (Трэба адзначыць, аднак, што таблічны метад з’яўляецца зручным толькі ў выпадку адносна нескладаных разважанняў, фармалізацыя якіх не патрабуе вялікай колькасці зменных.) Адпаведная праверка ператвараецца ў такіх умовах у простую механічную працэдуру, якая дазваляе праз пэўную паслядоўнасць дзеянняў дасягнуць пастаўленай мэты і вызначыць характар высноўвання.
Як даводзілася вышэй, у агульназначных развагах з праўдзівых пасылак з неабходнасцю вынікае праўдзівая выснова. Таму ў табліцы, пры дапамозе якой аналізуецца развага такога кшталту, кожны радок, дзе пасылкі выступаюць як праўдзівыя, павінен фіксаваць і ў слупку, замацаваным за высновай, праўдзівае лагічнае значэнне. Табліца прыведзенай вышэй развагі гэта знаёмая нам табліца праўдзівасці кан’юнкцыі двух выказванняў:
A в A A В
П п П
п X X
X п X
X X X
Пасылка пададзена тут у трэцім слупку, выснова у першым. Пасылка з’яўляецца праўдзівай толькі ў першым радку, выснова выступае ў ім таксама як праўдзівая. Значыцца, дадзеная развага мае агульназначны характар.
Разгледзім яшчэ адзін выпадак высноўвання, што грунтуецца на апісаных у логіцы выказванняў функцыянальных сувязях і мае
133
надзвычай просты характар. Дадзена праўдзівае выказванне A (Студэнты гэтага факультэта вывучаюць у якасці курса па выбары логікў). У такім выпадку мы можам спалучыць з ім праз нястрогую дыз’юнкцыю іншае выказванне з любым лагічным значэннем (Студэнты гэтага факультэта могуць абраць рэлігіязнаўства) і атрымаць пры гэтым праўдзівы вынік (Студэнты гэтага факультэта вывучаюць у якасці курса па выбары логіку або могуць абраць рэлігіязнаўства), паколькі дастатковай умовай праўдзівасці нястрогай дыз’юнкцыі з’яўляецца праўдзівасць прынамсі аднаго яе кампанента. Фармальны запіс дадзенай развагі мае наступны выгляд:
A
••• A v В.
Табліца, што дазваляе правесці яе лагічны аналіз, гэта, відавочна, табліца праўдзівасці нястрогай дыз’юнкцыі выказванняў A і В:
A в A v В
П п П
П X п
X п п
X X X
Лагічныя значэнні пасылкі фіксуюцца тут у першым радку, лагічныя значэнні высновы у апошнім. У абодвух радках, дзе пасылка праўдзівая, праўдзівай з’яўляецца і выснова. Таму дадзеная развага з’яўляецца агульназначнай.
Умоўнакатэгарычны сілагізм
Неабходна адзначыць, што ў працэсе гістарычнага развіцця логікі быў вылучаны цэлы шэраг адносна простых і інтуітыўна відавочных тыпаў высноўвання, аналіз якіх зрабіўся неад’емным, класічным сегментам падручнікаў па дадзенай дысцыпліне. Іх разгляд, аднак, мае не толькі прапедэўтычнае значэнне. Справа ў
134
тым, што на гэтыя простыя схемы выбудоўвання сілагізмаў можна абаперціся пры аналізе складаных, мудрагелістых разваг (іншымі словамі, яны выконваюць у логіцы ролю правіл высноўвання). Хоць гэтыя грунтоўныя лагічныя формы ўжо пры першым сутыкненні з імі ўражваюць сваёй яснасцю і пераканальнасцю, пажадана правесці іх тым не менш праз працэдуру фармальнай праверкі на агульназначнасць, каб упэўніцца, што згаданае ўражанне не з’яўляецца падманлівым.
КНІГІ ОНЛАЙН
