Логіка
Аркадзь Бабко
Памер: 184с.
Мінск 2017
Р _ q <=> ^Р V q;
р ~ q <=> (р v q) v р v q).
Правілы ўтварэння карэктных формул:
— калі а належыць да мноства сімвалаў р, q, г ..., дык a з'яўляецца карэктнай формулай логікі выказванняў;
калі a і Р карэктныя формулы, дык карэктнымі формуламі з’яўляюцца таксама , a і a v Р;
як карэктныя выступаюць толькі формулы, утвораныя паводле пададзеных вышэй вызначэняў.
Спіс аксіём (паводле Б. Расэла і A. Н. Уайтхеда):
(р v р w р;
q ^ (р v q);
(P v q) — (q v р);
(q > г) ♦ ((р v q) » (р v г)).
Правілы доказу.
((р —♦ q) A р) —* q (правіла раздзялення modus ponendo ponens);
— з карэктнай формулы a атрымліваецца карэктная формула а’ праз замену пэўнага сімвала ў ёй ва ўсіх месцах, дзе ён сустракаецца, на карэктную формулу р (правіла замяшчэння).
Неабходна адзначыць, што патрэба ў апошнім правіле можа знікнуць, калі аксіёмы, сімвалы якіх абазначаюць простыя выказванні, замяняюцца на аксіматычныя схемы, г. зн. любыя формулы, якія маюць выгляд першапачатковых аксіём (ролю першай аксіёмы з прыведзенай вышэй сістэмы, напрыклад, можа выканаць наступная аксіяматычная схема (a v a) —» a) [35, c. 234].
Дэфініцыя даказанай формулы
Пэўная формула лічыцца даказанай у абсягу згаданай аксіяматызаванай сістэмы, калі яна займае апошняе месца ў пэўнай паслядоўнасці формул, якія выступаюць як аксіёмы ці былі выведзены з аксіём, ці ўтвараюцца з папярэдніх элементаў дадзенай паслядоўнасці паводле сфармуляваных вышэй правіл.
148
Разгледзім, як у гэтых умовах адбываецца працэс высноўвання. Возьмем наступны прыклад: у якасці пасылкі фігуруе выказванне р —> q, у якасці высновы “■ q —♦ ^ р. Для здзяйснення адпаведнай працэдуры патрэбныя чатыры крокі: 1. (р —> q) <=> (^ р v q) паводле дэфініцый лагічных злучнікаў; 2. (^ р v q) —»(q v р) паводле трэцяй аксіёмы і правіла замяшчэння (^ р замест р); 3. (((р v q)> (q v р)) Л (р v q)) » (qvp) паводле першага правіла доказу(правіла раздзялення modus ponen do ponens) i на аснове першых двух крокаў; 4. q v ■ р <=> —• q —> —’ р паводле дэфініцый лагічных злучнікаў.
Неабходна адзначыць, што акрэсленая вышэй аксіяматызаваная сістэма логікі выказванняў (як і шмат якія іншыя сістэмы) з’яўляецца ў найвышэйшай ступені распрацаванай. У выніку кожная формула, якая ўяўляе сабой закон (г. зн. выступае як праўдзівая пры ўсіх размеркаваннях лагічных значэнняў зменных) можа быць даказана ў ёй. Разам з тым кожная з формул, што даказваеца ў яе абсягу, з’яўляецца законам. Тым не менш ужыванне гэтай сістэмы мае больш складаны характар, чым неаксіяматызаванай логікі выказванняў. Апошняя стаіць значна бліжэй да тых спосабаў разважання, якія ўжываюцца людзьмі натуральным чынам (таму яе называюць сістэмай натуральнай дэдукцыі). Доказ агульназначнасці пэўных формул у абсягу аксіяматызаванага прапазіцыянальнага злічэння таксама не заўжды настолькі інтуітыўна ясны, як у неаксіяматызаваным. Гэта кампенсуецца, аднак, яе зграбнасцю і прыгажосцю: для рашэння сваіх задач яна выкарыстоўвае мінімальную колькасць сродкаў.
Пытанні і заданні
1 . Чым тлумачыцца рапрацоўка разнастайных аксіяматызацый логікі выказванняў? Чым абумоўліваецца неабходнасць яе аксіяматызацыі ўвогуле?
2 . Чаму ў рамках аксіяматызаванай сістэмы прапазіцыянальнага злічэння доказ агульназначнасці пэўнай формулы патрабуе, як правіла. больш крокаў, чым у неаксіяматызаванай?
3 . Якую ролю аксіяматызаваныя сістэмы логікі выказванняў выконваюць у навуковым пазнанні? Як навуковае пазнанне ўплывае на стварэнне гэтых сістэм?
149
4 . У якасці пасылкі фігуруе выказванне р. Дакажыце пры дапамозе разгледжанай вышэй аксіяматызаванай сістэмы прапазіцыянальнага злічэння, што з яе вынікае формула р v q.
5 . У якасці пасылкі выступае выказванне р v q. Дакажыце, што з яе вынікае формула q v р.
3.5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГІКІ ПРЭДЫКАТАЎ
Неабходнасць логікі прэдыкатаў у структуры сучасных лагічных ведаў
Логіка выказванняў выступае як элементарны раздзел сучаснай логікі. Яна мае ў найвышэйшай ступені абстрактны характар, паколькі лагічны аналіз, што здзяйсняецца ў яе абсягу, не бярэ пад увагу ўнутраную структуру выказванняў. Аднак, разглядаючы сілагістыку, мы мелі справу з развагамі, у рамках якіх унутраная структура выказванняў мае грунтоўнае значэнне. Таму ў абсягу логікі выказванняў катэгарычныя сілагізмы прааналізаваць нельга. Так, напрыклад, у выніку фармалізацыі пры дапамозе яе сродкаў хрэстаматыйнага сілагізма, прыведзенага ў параграфе 1.1 (Калі ўсе людзі смяротныя, а грэкі людзі, дык і грэкі смяротныяў атрымліваецца формула, якая не выступае ў яе абсягу як агульназначная. Праілюструем гэта, склаўшы табліцу праўдзівасці ўмоўнага выказвання з кан’юнкцыяй пасылак гэтай развагі у якасці антэцэдэнта і высновай у якасці кансеквента ((A A В) > C):
A в с A A В (A A В) — С
п п п п п
п п X п X
п X п X п
п X X X п
X п п X п
X п X X п
X X п X п
X X X X п
150
Як сведчыць табліца, дадзенае выказванне не з’яўляецца законам. Апроч таго, пры праўдзівасці ўсіх пасылак выснова тым не менш можа быць памылковай. Гэта не дазваляе прызнаць адпаведную развагу агульназначнай.
Задачы, звязаныя з лагічным аналізам сілагізмаў падобнага кшталту з'яўляюцца, аднак, поўнасцю вырашальнымі ў рамках іншага раздзелу сучаснай логікі, які называецца логікай прэдыкатаў. Справа ў тым, што логіка прэдыкатаў мае ў сваім арсенале эфектыўныя тэхнічныя сродкі, пры дапамозе якіх можна выявіць асаблівасці ўнутранай будовы выказванняў. Пры гэтым яна выкарыстоўвае інструменты, наяўныя ў абсягу прапазіцыянальнага злічэння, што значна ўзмацняе яе аналітычны патэнцыял і дае ёй пэўныя перавагі перад апошнім.
Тэхнічны інструментарый логікі прэдыкатаў
Сярод спецыфічных тэхнічных сродкаў лагічнага аналізу, што ўжываюцца ў логіцы прэдыкатаў, адзначым зменныя для абазначэння індывідуальных прадметаў (х, у, z), якія ўтвараюць пэўнае мноства, зменныя для абазначэння іх прымет ці дачыненняў (Р, Q), а таксама сімвалы, што абазначаюць квантары (V квантар усеагульнасці, 3 квантар існавання). Квантары выступаюць як лагічныя канстанты, іх значэнне застаецца аднолькавым ва ўсіх формулах, у якіх яны знаходзяць ужытак. Аднак іх ужыванне не з’яўляецца абавязковым. Без адпаведных сімвалаў мы можам абысціся, напрыклад, пры запісе на мове логікі прэдыкатаў такога (элементарнага) выказвання, як «Платон гэта філосаф», Р(х). Квантары ўжываюцца для таго, каб перадаць колькасны аспект прыналежнасці прымет індывідуальным прадметам. Квантар усеагульнасці V х (для кожнага х мае моц...) паказвае, што пэўная прымета належыць усім прадметам пэўнага (непустога) мноства, прызначэнне квантара існавання 3 х (існуе, прынамсі, адзін х, для якога мае моц...) паказаць, што пэўная прыкмета ўласцівая, прынамсі, аднаму прадмету, што належыць да дадзенага мноства. Адпаведныя формулы маюць наступны выгляд: V х Р (х) і 3 х Р (х). Калі зменная, што абазначае прадмет з пэўнага мноства, ужываецца з кван
151
тарам, як у дадзеным выпадку, яна называецца звязанай. Калі яна не з’яўляецца звязанай, дык яе называюць свабоднай.
Неабходнасць спалучэння тэхнічных сродкаў логікі прэдыкатаў і логікі выказванняў
Калі неабходна паказаць, што прымета Р належыць некаторым і толькі некаторым прадметам пэўнага мноства, дык мы павінны далучыць да спецыфічных інструментаў логікі прэдыкатаў тэхнічныя сродкі. што выкарыстоўваюцца ў абсягу логікі выказванняў. Тут маецца на ўвазе кан'юнкцыя. лагічны злучнік, што фіксуе пэўную форму функцыянальных узаемасувязяў лагічных значэнняў складаных выказванняў і іх кампанентаў. Адпаведная формула мае наступны выгляд: 3 х Р (х) A ^ V х Р (х) існуе х, для якога мае моц, што х мае прымету Р і няпраўда, што кожнаму х уласціва прымета Р.
Аналагічную сітуацыю мы маем таксама пры фармалізацыі наяўнымі ў логіцы прэдыкатаў сродкамі катэгарычных выказванняў тыпаў, што традыцыйна вылучаюцца ў якасці асноўных у іх класіфікацыі паводле колькасці і якасці: агульнасцвярджальных, прыватнасцвярджальных, агульнаадмоўных і прыватнаадмоўных. Мы не зможам выканаць дадзеную задачу, не звярнуўшыся да такіх лагічных злучнікаў, як кан’юнкцыя, імплікацыя і адмаўленне. Для фармулёўкі на мове логікі прэдыкатаў агульнасцвярджальнага выказвання (Усе S ёсць Р) разам з яе спецыфічнай сімволікай ужываецца імплікацыя: V х (S (х) —► Р (х)) для кожнага х мае моц, што калі х ёсць S, дык х мае прымету Р. Пры фармалізацыі прыватнасцвярджальных выказванняў знаходзіць ужытак кан’юнкцыя: 3x(S(x) A Р (х)) існуе х, для якога мае моц, што калі х ёсць S, дык х мае прымету Р. Агульнаадмоўнае выказванне, як і агульнасцвярджальнае запісваецца пры дапамозе імплікацыі: V х (S (х) —» 1 Р (х)) для ўсякага х мае моц, што калі х ёсць S, дык х не мае прымету Р. Прыватнаадмоўнае выказванне, як і прыватнасцвярджальнае, фармалізуецца тут пры дапамозе кан’юнкцыі: 3 х (S (х) А ~’ Р (х)) існуе х, для якога мае моц, што х ёсць S і не мае пры гэтым прымету Р.
152
Паняцце прэдыката
Відавочна, што ўсе прыведзеныя ў дадзеным параграфе формулы выступаюць як прапазіцыянальныя функцыі. Каб ператварыць іх у выказванні, мы павінны падставіць замест зменных пэўныя канстанты. Прапазіцыянальныя функцыі, у складзе якіх прысутнічаюць іменныя функцыі, у выніку падстановак у якія атрымліваюцца выказванні, называюцца прздыкаталй. (Такім чынам, значэнне дадзенага тэрміна ў абсягу логікі прэдыкатаў адрозніваецца ад таго, у якім ён ужываецца ў традыцыйнай логіцы.) Разгледзім, напрыклад, такі элементарны прэдыкат, як «х з’яўляецца філосафам». Пры падстаноўцы пэўнай канстанты замест зменнай х атрымліваецца выраз, які будзе выступаць як выказванне пры ўмове, што згаданая канстанта адпавядае надзвычай важнаму патрабаванню: яна не павінна паходзіць з такой прадметнай сферы, для якой у прынцыпе не ўласцівая дадзеная прымета. Пры парушэнні згаданага патрабавання ўтвораны ў выніку выраз не будзе мець сэнсу. Калі яно выконваецца, атрымліваецца выказванне, якое, натуральна, можа быць праўдзівым (Платон з’яўляецца філосафам) або памылковым (Архімед з 'яўляецца філосафам).
Калі ў пэўным прэдыкаце ўжываецца адмаўленне (^ Р (х)), дык ён будзе праўдзівым пры такіх падстаноўках магчымых прадметных значэнняў зменнай х, пры якіх прэдыкат Р (х) атрымлівае памылковае лагічнае значэнне і наадварот. Такім чынам, прыведзеныя вышэй прыклады дадуць адваротныя вынікі, калі да адпаведнага прэдыката дадаць адмаўленне: няпраўда, што х з 'яўляецца філосафам.
КНІГІ ОНЛАЙН
