Логіка
Аркадзь Бабко
Памер: 184с.
Мінск 2017
A в с (A — В) A (В С) A —С
п п п п П п П
п п X п X х X
п X п х X п П
п X X х X п X
X п п п П п П
X п X п X х П
X X п п П п П
X X X п П п П
115
Дачыненне паміж складанымі выказваннямі, што выступае як адпаведнік падсупрацьлегласці, называецца частковай сумяшчальнасцю. Такога кшталту адносіны мы маем, напрыклад, у выпадку выказванняў A —» В (уКалі мы вывучаем логіку, дык мы засвойваем сістэму лагічных сімвалаў») і В > А («Калі мы засвойваем сістэму лагічных сімвалаў, мы вывучаем логіку»). Склаўшы іх супольную табліцу праўдзівасці, мы ўбачым, што яны сапраўды не могуць быць адначасова хібнымі, выступаючы, аднак, пры пэўных размеркаваннях лагічных значэнняў кампанентаў як адначасова праўдзівыя:
A в A —»В В — A
п п п п
п X X п
X п п X
X X п п
Супрацьлегласць і супярэчнасць
Дачыненне несумяшчальнасці выступае ў форме супрацьлегласці і супярэчнасці. Умовы іх узнікнення ідэнтычныя тым, пры якіх назіраюцца адпаведныя дачыненні паміж катэгарычнымі выказваннямі. Дачыненне супрацьлегласці (выказванні не могуць быць адначасова праўдзівымі, але могуць быць адначасова памылковымі) мае месца, напрыклад, у выпадку выказванняў A A В (Тэарэтычнае засваенне дадзенага феномена мае істотнае значэнне для развіцця навукі, і ў яго вывучэнні дасягнуты істотныя поспехі) і A A ^ В (Тэарэтычнае засваенне дадзенага феномена мае істотнае значэнне для развіцця навукі, аднак у яго вывучэнні істотных поспехаў не дасягнута). Пра гэта сведчыць іх супольная табліца:
116
A в — в ААВ АЛВ
п п X п X
п X п X п
X п X X X
X X п X X
Прыклад дачынення супярзчнасці можна атрымаць праз суаднясенне разгледжаных у мінулым параграфе заўжды праўдзівых і заўжды памылковых формул. Відавочна, што іх лагічныя значэнніў прынцыпе не могуць быць аднолькавымі, у чым мы маглі пераканацца і на аснове адпаведнай табліцы праўдзівасці (параўноўваючы лагічныя значэнні выказванняў A A ^ A і ^ (A А ^ А)).
Дачыненне эквівалентнасці
Сістэма ўзаемадачыненняў складаных выказванняў не вычэрпваецца, аднак, гэтымі чатырма формамі. Сярод іншых відаў згаданых дачыненняў у першую чаргу неабходна згадаць эквівалентнасць (лагічныя значэнні выказванняў супадаюць у кожным радку іх супольнай табліцы праўдзівасці). Яно прыцягвае да сябе асаблівую ўвагу логікаў, бо валоданне канкрэтнымі яго ўвасабленнямі мае істотнае значэнне ў кантэксце высноўвання для праверкі і доказу агульназначнага характару высноў, а таксама ў кантэксце аксіяматызацыі логікі выказванняў. Валодаючы імі, мы можам трансфармаваць сістэму лагічных злучнікаў, спрасціць яе і стварыць, такім чынам, простую (нават максімальна простую) мадэль натуральнай мовы.
У папярэднім параграфе мы ўжо сутыкнуліся з гэтым дачыненнем і мелі магчымасць пераканацца ў яго істотнай важнасці ў кантэксце аналізу і вырашэння праблем логікі выказванняў: мы паказалі, што эквіваленцыя раўназначная кан’юнкцыі імплікацый, у рамках якіх кампаненты мяняюцца месцамі, і заўжды можа быць зведзена да яе. У логіцы існуе спецыяльны сімвал для перадачы эквівалентнасці <=>, і згаданы намі прыклад, пададзены ў фармальным запісе, мае, такім чынам, наступны выгляд: A ^ В <=> (A — В) A (В > А).
117
Уважлівы разгляд прыведзеныху папярэднім параграфе табліц праўдзівасці асноўных тыпаў складаных выказванняў дазваляе выявіць цэлы шэраг падобных сітуацый і звесці ў выніку колькасць адпаведных лагічных злучнікаў да двух ці нават да аднаго. Мноства злучнікаў, пры дапамозе якіх можна перадаць увесь спектр дачыненняў функцыянальнай залежнасці лагічных значэнняў складаных выказванняў ад праўдзівасці ці хібнасці іх кампанентаў, што маюць месца ў логіцы выказванняў, называецца адэкватным (або функцыянальна поўным).
Эквівалентнасць у дачыненнях паміж імплікацыяй, кан’юнкцыяй і нястрогай дыз’юнкцыяй
Мы ўжо высветлілі, што прысутнасць эквіваленцыі ў адэкватным мностве лагічных злучнікаў зусім не абавязковая: адпаведная функцыянальная залежнасць можа быць перададзена праз імплікацыю і кан’юнкцыю. Аднак функцыянальная сувязь, што мае месца ў выпадку самой імплікацыі, можа быць перададзена пры дапамозе кан’юнкцыі і адмаўлення або (нястрогай) дыз’юнкцыі і адмаўлення (зрэшты, як і наадварот). Табліца праўдзівасці імплікацыі даводзіць, што яна хібная толькі ў адным радку: калі антэцэдэнт праўдзівы, а кансеквент памылковы. Іншымі словамі, яна забараняе спалучаць праўдзівы першы кампанент і памылковы другі. На мове логікі выказванняў дадзеная забарона перадаецца праз наступную формулу: ^ (A A ^ В). Праверым пры дапамозе табліцы, ці з’яўляецца дадзенае выказванне эквівалентным імплікацыі выказванняў A і В:
A в в ААВ (A A В) A —В
п п X X П п
п X п п X X
X п X X п п
X X п X п п
Такім чынам, выказванні ’ (A A ■ В) і A » В сапраўды раўназначныя: ^ (A A ^ В) <=> A —> В.
118
На аснове табліцы праўдзівасці імплікацыі можна выявіць разам з тым і яе ўзаемасувязь з (нястрогай) дыз’юнкцыяй. 3 дадзенай табліцы вынікае, што дастатковай умовай праўдзівасці ўмоўных выказванняў з’яўляецца хібнасць антэцэдэнта або праўдзівасць кансеквента. Адпаведная дадзенаму сцверджанню формула мае наступны выгляд: ’ A v В. Супольная табліца дадзенага выказвання і імплікацыі выказванняў A і В таксама сведчыць пра іх раўназначнасць:
A в A AvB A —* В
п п X П П
п X X X X
X п п п п
X X п п п
Такім чынам, ^ A vB <=> A —> В.
Атрыманыя вышэй формулы, што фіксуюць тоеснасць розных выказванняў (■ (A A ^ В) <=> A —> В і ■ A v В <=> A —♦ В), сведчаць пра неабавязковасць імплікацыі ў функцыянальна поўным мностве лагічных злучнікаў. Але яны сведчаць і пра магчымасць звесці кан’юнкцыю да дыз’юнкцыі (пры гэтым павінна быць задзейнічана адмаўленне) і наадварот, паколькі з іх вынікае, што ’ (A A “’ В) <=> ' A v В. Узаемасувязь кан’юнкцыі і дыз’юнкцыі падаецца ў дадзенай формуле недастаткова ўпарадкавана, і таму неабходна трансфармаваць яе. Мы можам дзейнічаць пры гэтым рознымі спосабамі, але звернемся яшчэ раз да «дрэў праўдзівасці». У выпадку кан’юнкцыі і нястрогай дыз’юнкцыі яны маюць, як нам ужо вядома, наступны выгляд:
A АВ
A
В
(A A В)
/ \
A В
AvB
/ \
A В
(A v В)
A
В
119
Нават першы, неспрактыкаваны і не зусім уважлівы позірк зафіксуе тут, безумоўна, люстэркавую сіметрыю, на якую можна абаперціся для выяўлення дачыненняў тоеснасці, што цікавяць нас у дадзеным выпадку. Калі ў схемах для праўдзівых складаных выказванняў адмовіць іх кампаненты, дык высветліцца, што адмаўленне нястрогай дыз’юнкцыі двух выказванняў мае ідэнтычныя ўмовы праўдзівасці з кан’юнкцыяй іх адмаўленняў, a адмаўленне кан’юнкцыі з нястрогай дыз’юнкцыяй адмаўленняў:
ААВ
(ААВ)
/ \
A vB
/ \
A — В
A — В
(A v В)
A
В
Запішам кожную тоеснасць у выглядзе формулы: ■ (A v В) <=> ■ A A ■ В; ■ (A A В) <=> ^ A v ^ В. Улічыўшы, што лагічная эквівалентнасць пэўных формул абумоўлівае лагічную эквівалентнасць іх адмаўленняў (у кожным радку супольнай табліцы праўдзівасці яны маюць аднолькавае лагічнае значэнне супрацьлеглае таму, што ўласціва ў дадзеным радку выразам, якія яны адмаўляюць), мы можам пераўтварыць знойдзеныя намі дачыненні: ^ ^ (A v В) <=> — (^ A A ’ В); ■ • (A A В) <=> (’Av’ В). Выдаліўшы на аснове адпаведнага закона падвойныя адмаўленні, мы атрымаем наступны вынік: A v В <=> ^ (^ A A ^ В); A A В <=> • (■ A v ’В). Такім чынам, нястрогая дыз’юнкцыя двух выказванняў раўназначная адмаўленню кан’юнкцыі іх адмаўленняў, а кан’юнкцыя адмаўленню нястрогай дыз’юнкцыі адмаўленняў. Дадзеныя дачыненні называюцца ў логіцы законамі Дэ Моргана. (А. Дэ Морган (18061871) англійскі логік і матэматык, які сфармуляваў іх у Новы час. Гісторыкі логікі, аднак, даводзяць. што ўжо ў рамках схаластыкі адпаведныя заканамернасці фігуравалі як элементарныя [11, с. 20].)
Такім чынам, у выніку праведзенага вышэй аналізу высветлілася, што неабходнай і дастатковай умовай адэкватнага харак
120
тару мноства лагічных злучнікаў з’яўляецца адначасовая наяўнасць у ім адмаўлення і кан’юнкцыі, якую цалкам паспяхова можа замяніць у гэтай ролі нястрогая дыз’юнкцыя або імплікацыя. Праўда, наш аналіз застаўся крыху няпоўным: мы пакінулі паза ўвагай нястрогую дыз’юнкцыю. Аднак і выяўленую ў ёй функцыянальную залежнасць зусім не цяжка перадаць пры дапамозе нястрогай дыз’юнкцыі, кан’юнкцыі і адмаўлення.
Мінімізацыя адэкватнага мноства лагічных злучнікаў: антыкан’юнкцыя
Неабходна адзначыць, што мноства, якое складаецца з двух злучнікаў, не з’яўляецца яшчэ апошнім крокам на шляху ўніфікацыі сродкаў для перадачы функцыянальных дачыненняў, з якімі мае справу логіка выказванняў. Ужо ў канцы XIX ст.16 было высветлена, што існуе магчымасць перадаць усе гэтыя залежнасці пры дапамозе аднаго лагічнага злучніка. Такімі здольнасцямі валодае, напрыклад, лагічны злучнік, праз ужыванне якога атрымліваецца выказванне з табліцай праўдзівасці, аналагічнай табліцы адмоўнай кан’юнкцыі. Таму мы будзем называць яго антыкан’юнкцыяй. Паводле свайго фармальнага азначэння антыкан’юнкцыя гэта лагічны злучнік, пры дапамозе якога атрымліваецца выказванне, праўдзівае ў выпадку хібнасці, прынамсі, аднаго кампанента. (У англасаконскай культурнай прасторы гэты злучнік называецца таксама nand, што выступае як скарот для notand, або alternative denial, што фіксуе дастатковасць хібнасці, прынамсі, аднаго кампанента для праўдзівасці адпаведнага складанага выразу [24, с. 44].) Абазначаецца ён вертыкальнай рыскай |. Фармальны запіс утворанага пры дапамозе антыкан’юнкцыі выказвання мае, такім чынам, наступны выгляд: А | В. Складзём табліцу яго праўдзівасці:
16 Дадзеная праблематыка даследавалася найперш Ч.С Пірсам Аднак дасягнутыя ім вынікі ўбачылі светтолькі ў 1933 г Да гэтага часу былі ўжо надрукаваны прысвечаныя адпаведным пытанням працы амерыканскага логіка ГМ Шэфера (18821964), а таксама французскага філосафа і логіка Ж Нікода (18931924).
121
A в А | В
п п X
п X п
X п п
X X п
Разгледзім на канкрэтных прыкладах, як пры дапамозе антыкан’юнкцыі можна перадаць функцыянальныя залежнасці, што фіксуюцца іншымі лагічнымі злучнікамі. Засяродзім найперш увагу на найпрасцейшым выпадку: складанае выказванне ўтворана на аснове аднаго кампанента. Фармальны запіс такога выказвання мае наступны выгляд: A | А. Відавочна, што яно з’яўляецца праўдзівым у выпадку хібнасці зыходнага выказвання і хібным пры ўмове праўдзівасці свайго адзінага кампанента. Як нам вядома, ідэнтычныя ўмовы праўдзівасці мае адмаўленне пэўнага выказвання. Таму A | A <=> ' А. што наглядна дэманструе і адпаведная табліца праўдзівасці:
КНІГІ ОНЛАЙН
