Логіка
Аркадзь Бабко
Памер: 184с.
Мінск 2017
Матывам гэтага ўчынку з ’яўляецца славалюбства ці ён здзейснены дзеля грошай.
Няпраўда, што ён здзейснены дзеля грошаіі.
Значыцца, яго матывам з ’яўляецца славалюбства.
У фармальным запісе дадзеная развага мае наступны выгляд:
A v В
В л А.
Для доказу яе агульназначнасці выкарыстаем таблічны метад. Ён вельмі зручны ў дадзеным выпадку: да табліцы нястрогай дыз’юнкцыі выказванняў A і В неабходна дадаць слупок, у якім фіксуюцца лагічныя значэнні выказвання —* В. Пасля гэтай зусім не складанай аперацыі яна атрымлівае наступны выгляд:
A в A v В В
п п п X
п X п п
X п п X
X X X п
Толькі ў адным яе радку абедзве пасылкі выступаюць як праўдзівыя, праўдзівай з’яўляецца ў ім і выснова. Значыцца, modus tollendo ponens мае агульназначны характар і пры ўмове праўдзівасці абедзвюх пасылак гарантуе праўдзівасць высновы.
Modus ponendo tollens можа быць задзейнічаны ў развагах дадзенага тыпу толькі ў тым выпадку, калі першая пасылка ўтворана пры дапамозе строгай дыз’юнкцыі. Калі ў другой пасылцы даводзіцца пра праўдзівасць пэўнага кампанента гэтай дыз’юнкцыі, мы можам зрабіць выснову пра хібнасць другога яе кампа
141
нента. Запішам дадзеную развагу пры дапамозе сімвалічных сродкаў і праілюструем атрыманы фармальны запіс прыкладам, пададзеным у натуральнай мове:
A Y в
A
лВ
(Аўтарам рамана «Каласы пад сярпом тваім» з 'яўляецца Уладзімір Караткевіч ці яго стварыў Ян Баршчэўскі.
Яго аўтарам з ’яўляецца Уладзімір Караткевіч.
Значыцца, няпраўда, што яго стварыў Ян Баршчэўскі).
Праверым, ці з’яўляецца дадзеная развага агульназначнай. Для гэтага складзем табліцу праўдзівасці ўмоўнага выказвання ((A Y В) АА) —В:
A в AY в (A Y В) A A) ’В ((A Y В) A А) — В
п п X X X П
п X п п п п
X п п X X п
X X X X п п
Як сведчыць табліца, умоўнае выказванне, антэцэдэнтам якога з’яўляецца кан’юнкцыя пасылак, а кансеквентам — выснова гэтай развагі, належыць да законаў. Таму modus ponendo tollens дыз’юнктыўнага сілагізма мае агульназначны характар і пры ўмове праўдзівасці пасылак прыводзіць да слушных высноў.
Прааналізаванымі вышэй тыпамі разваг адпаведны арсенал логікі выказванняў, натуральна. не вычэрпваецца: існуюць і іншыя простыя, інтуітыўна відавочныя формы высноўвання, што грунтуюцца на валоданні апісанымі ў яе рамках функцыянальнымі сувязямі (аналіз некаторых з іх прапануецца ў якасці самастойнага задання сярод пытанняў і заданняў да дадзенага параграфа). Аднак тэхнічныя прыёмы і сродкі, пры дапамозе якіх дадзеныя развагі найчасцей аналізуюцца ў абсягу логікі выказванняў, разгледжаны дастаткова падрабязна.
142
Найважнейшыя тыпы агульназначных разваг як правілы высноўвання ў логіцы выказванняў
Надзвычай важнай уласцівасцю адносна простых тыпаў агульназначных разваг з'яўляецца адзначаная вышэй іх здольнасць выступаць у якасці правіл высноўвання: яны могуць быць эфектыўна задзейнічаны пры аналізе складаных лагічных структур адпаведнага тыпу. Высветлім, як у логіцы выкарыстоўваецца ўласцівы ім патэнцыял, разгледзеўшы наступную развагу:
Калі ёсць неабходнасць, дык ёсць і ўчынкі.
Ёсць неабходнасць ці толькі падстава і спрыяльныя знешнія ўмовы.
Але няма ні ўчынкаў, ні вынікаў.
Значыцца, ёсць толькі падстава.
Запішам яе пры дапамозе сімвалічных сродкаў:
A —> В
A v (С A D)
BAE л С.
Нельга сказаць, што слушнасць высновы і агульназначнасць развагі з’яўляюцца ў дадзеным выпадку цалкам відавочнымі. Для адпаведнай фармальнай праверкі таблічным метадам нам запатрабавалася б табліца з трыццаці двух радкоў, што не надта зручна. Прыгледзімся, аднак, больш уважліва да формы ўсёй развагі і да фармальнага запісу кожнай пасылкі, напрыклад, апошняй. Мы маем тут праўдзівую кан’юнкцыю, а яна дазваляе зрабіць выснову пра праўдзівасць кожнага з кан’юнктаў, напрыклад першага:
ВАЕ л В.
Праз спалучэнне першай пасылкі ўсёй развагі з выснаваным вышэй адмоўным выказваннем (^ В) атрымліваецца канстэляцыя, характэрная для адмоўнага модуса ўмоўнакатэгарычнага сілагізма (modus tollens), якая дазваляе зрабіць выснову пра хібнасць А:
A —► В
— В
л А.
143
Спалучэнне выказвання ^ А з другой пасылкай (A v (С A D)) выводзіць у сваю чаргу на такую грунтоўную форму высноўвання, як дыз’юнктыўны сілагізм:
A v (С A D)
A л CAD.
3 атрыманай такім спосабам праўдзівай кан’юнкцыі вынікае выснова пра праўдзівасць першага кан’юнкта і, натуральна, пра агульназначнасць прыведзенай вышэй складанай развагі:
CAD лС.
У логіцы прыняты пэўны спосаб запісу той працэдуры, якую мы ўжылі ў працэсе доказу. Спачатку запісваюцца адна пад адной пасылкі і у адным радку з апошняй пасылкай, але адасобленая ад яе нахіленай рыскай выснова развагі. Затым запісваюцца выказванні, што высноўваюцца з пасылак, і ў адным радку з імі правіла высноўвання, ужытае пры гэтым. Калі радкі нумаруюцца, дык пры ўмове іх ужывання ў адпаведным высноўванні ўказваюцца іх нумары. Такім чынам, праведзены намі вышэй доказ можа быць пададзены ў наступным выглядзе:
1. A —В
2. A v (С A D)
З.ВАЕ/С
4.В 3, выдаленне кан’юнкцыі
5,A 1, 4, modus tollens
6. CAD 2, 5, дыз’юнктыўны сілагізм
7. С 6, выдаленне кан’юнкцыі
Увогуле, прапазіцыянальнае злічэнне ўяўляе сабой цудоўна распрацаваны раздзел сучаснай логікі, якім, аднак, апошняя зусім
144
не вычзрпваецца, што абумоўлена дастакова сур’ёзнымі прычынамі, гаворка пра якія пойдзе ніжэй.
Пытанні і заданні
1. На такім тыпе выбудоўвання разваг, як modus tollens, нярэдка засяроджвалі сваю ўвагу філосафы (напрыклад, К. Попер). Чым, на Вашу думку, абумоўлены гэты факт?
2. Грунтуючыся на сваіх ведах у галіне логікі выказванняў, фармалізуйце наступныя развагі і праверце ці з'яўляюцца яны агульназначнымі:
а) Калі высокае мастацтва выяўляе істотны гуманістычны патэнцыял, дык высокамастацкія творы спрыяюць гуманізацыі грамадства Высокае мастацтва выяўляе істотны гуманістычны патэнцыял. Значыцца, высокамастацкія творы спрыяюць гуманізаі)ыі грамадства.
Ь) Калі ўсе пасылкі гіпатэтычнага сілагізма праўдзівыя, дык праўдзівай з’яўляецца і яго выснова. Выснова дадзенага гіпатэтычнага сілагізма непраўдзівая. Значыцца, няпраўда, што ўсе яго пасылкі праўдзівыя.
с) Калі кожная піэарэтычная сістэма можа быць сфальсіфікаваная, дык такая магчымасць існуе і ў дачыненні да тэорыі адноснасііі. Няпраўда, тто кожную тэарэтычную сістэму можна сфачьсіфікаваць. Такім чынам, тэорыя адноснасці не можа быць сфальсіфікавана.
d) Калі моўная карціна свету мае ўніверсальны характар, дык мова мае грунтоўнае значэнне ў духоўным жыцйі асобы і грамадства. Мова мае грунтоўнае значэнне ў духоўным жыцці асобы і грамадства. Значыцца, моўная карціна свету мае ўніверсальны характар.
3. Праверце сваё абгрунтаванне (ня)слушнасці разваг, прыведзеных у заданні 6 да параграфа 1.1. Для гэтага фармалізуйце іх і выявіце, ці належаць яны да агульназначных модусаў умоўнакатэгарычнага сілагізма.
4. Праверце таблічным метадам, ці з’яўляюцца агульназначнымі развагі наступнай формы:
145
а)А>В л A ^ (A A В).
b) A В
••• A A В с)А>В л A > С; d)A —В л В > A;
е) (A v В) — С л (A v В) a С.
5. Лацінская назва modus ponen do tollens ужываецца не толькі ў дачыненні да дыз’юнктыўнага сілагізма. Так называецца і клас разваг, першай пасылкай якіх з’яўляецца адмаўленне кан’юнкцыі двух выказванняў. Паспрабуйце рэканструяваць дадзеную развагу і запісаць яе пры дапамозе сімвалічных сродкаў.
3.4. АКСІЯМАТЫЗАЦЫЯ ЛОГІКІ ВЫКАЗВАННЯЎ
Агульная характарыстыка аксіяматызаванай сістэмы прапазіцыянальнага злічэння
У апошнім пункце папярэдняга параграфа гаворка вялася пра тое, што адносна простыя і інтуітыўна ясныя тыпы высноўвання могуць фігураваць як аснова для аналізу і доказу агульназначнасці больш складаных разважанняў. У адпаведных працэдурах у пэўнай ступені задзейнічаны ўжо элементы аксіяматызацыі логікі выказванняў. Для яе правядзення патрабуецца вылучэнне пэўнай групы яе формул як зыходных, прынятых без доказу і звядзенне да іх на аснове выразна і дакладна сфармуляваных правіл іншых наяўныху ёй выразаў.
У выніку аксіяматызацыі логіка выказванняў набывае строгую сістэматычную форму. Аксіяматычная аснова адпаведнай фармальнай сістэмы ўключае ў сябе наступныя складовыя часткі:
сукупнасць элементарных сімвалаў, што ўжываюцца ў дадзенай сістэме (да якіх належаць грунтоўныя лагічныя злучнікі);
146
дэфініцыі формул, якія ўтвараюцца на аснове іншых злучнікаў, што ўжываюцца ў логіцы выказванняў (згаданыя дэфініцыі ўяўляюць сабой правілы звядзення дадзеных формул да ўтвораных пры дапамозе базісных злучнікаў);
фармулёўку правіл, паводле якіх утвараюцца формулы, што выступаюць у ёй як карэктныя;
спіс аксіяматычных формул;
фармулёўку правіл, пры дапамозе якіх на аснове аксіём даказваюцца іншыя формулы дадзенай сістэмы (найчасцей іх называюць тэарэмамі) [34, с. 1111; 35, с. 233234].
Сістэма аксіём (не толькі ў рамках прапазіцыянальнага злічэння) павінна адпавядаць наступным патрабаванням:
несупярэчнасці (з яе не павінен вынікаць любы выраз, г. зн. павінна існаваць. прынамсі, адно выказванне, якое з яе нельга выснаваць);
незалежнасці (ніводная з аксіём не павінна вынікаць з астатніх);
дастатковасці (павінна быць дастатковай для высноўвання кожнай агульназначнай формулы, наяўнай у прапазіцыянальным ці ўсякім іншым злічэнні);
неабходнасці (не павінна змяшчаць залішніх складнікаў) [30, с. 41],
Аксіяматызацыя логікі выказванняў паводле «Трактата пра паняцце» Г. Фрэге і «Ргіпсіріа Mathematica» Б. Расэла і A. Н. Уайтхеда.
Існуе цэлы шэраг аксіяматызацый прапазіцыянальнага злічэння. Гістарычна першая з іх належыць Г. Фрэге (1879) [34, с. 1111], Найбольш вядомай, аднак, з’яўляецца сістэма, распрацаваная Б. Расэлам і A. Н. Уайтхедам (1925) [35, с. 234]. Паспрабуем на грунце абедзвюх гэтых аксіяматызацый стварыць абагульнены вобраз аксіяматычнага ядра логікі выказванняў, выкарыстоўваючы прынятую намі сімволіку.
Элементарныя сімвалы:
р, q, г ... бясконцае мноства зменных, якія абазначаюць простыя выказванні;
^, v грунтоўныя лагічныя злучнікі;
(), дапаможныя (пунктуацыйныя) сімвалы.
147
Дэфініцыі іншых лагічных злучнікаў на аснове адмаўлення і дыз’юнкцыі'.
р Л q <=>■(’ р v q);
р Y q <=> ( р v q) v (р v q);
КНІГІ ОНЛАЙН
