Зборнік задач па курсе агульнай фізікі
Выдавец: Вышэйшая школа
Памер: 276с.
Мінск 1993
§7 . ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦЫЯЛЬНАЙ ТЭОРЫІ АДНОСНАСЦІ
Пераўтварэнні Лорэнца:
X Lit у'У,
(й/с2 ) х
z' z , t' ,
J1 ,2/с2 ’
дзе с — скорасць святла ў вакууме. Скарачэнне даўжыні рухомага цела:
і' I 'J 1 D 2 / С 2
дзе I — даўжыня рухомага цела, / — яго ўласная даўжыня.
Запавольванне ходу рухомага гадзінніка
Af' AtJ 1 -v2/с2 ,
дзе Д/'— інтэрвал часу паміж паДзеямі ў рухомай сістэме адліку, А/ — інтэрвал часу паміж тымі ж падзеямі ў нерухомай сістэме.
* Штрыхі адносяцца да прасторава-часавых каардынат сістэмьі адліку, якая рухаецца адносна нерухомай сістэмы каардынат са скорасцю u у дадатным напрамку восі X, прычым восі X' і Xсупадаюць, а восі Y і Y, Z' і Z — паралельныя.
Рэлятывісцкі закон складання скарасцей: й х + v u v = 7 т 5
х 1+ vux/cz
J 1 -V^/c^Uy uv = ~ ’
1 + VU* /
“I 1 u'z
Uz " ;—г ’
1+VUх/cz
дзе ux, Uy , uz — праекцыі скарасцей у нерухомай сістэме каардынат; ux , u'y ,uz — праекцыі скарасцей у рухомай сістэме.
Квадрат інтэрвалу паміж падзеямі 1 і 2 — інварыянтная велічыня:
с 2 2.2 j 2
° 12 с ’ 12 '12’
дзе t\2— інтэрвал часу паміж падзеямі 1 і 2; /]2 — адлегласць паміж пунктамі 1 і 2, у якіх адбыліся гэтыя падзеі.
Рэлятывісцкая маса і імпульс:
ш —-"'0 • •
•J 1 v2/c2 J 1 V 2 / с 2
дзе т — маса спакою.
Поўная энергія цела
2
, т0с
дзе Eq mq — энергія спакою.
Кінетычная энергія рухомага цела
£к“ Е ‘ "'()с'2 = mOc2 ( ’ 1 *'
0 ° J 1v>/c2
7.1. Атрымаць адваротныя пераўтварэнні Лорэнца: х' + vt
X = — , у = у ,
Л V 2 / с 2
t' + (v/c2)x'
z = z' , t = .
'11 u 2 / c 2
7.2. Стрыжань рухаецца з некаторай пастаяннай скорасцю v. Яго даўжыня ў нерухомай сістэме Z] = 3,0 м, а ў сістэме адліку, звязанай са стрыжнем, /2 = 6,0 м. Вызначыць уласную даўжыню стрыжня і яго скорасць адносна нерухомай сістэмы адліку.
7.3. Скорасць руху Зямлі вакол Сонца v = 30 м/с. Знайсці скарачэнне дыяметра Зямлі ў сістэме каардынат, звязанай з Сонцам.
7.4. Рэактыўны самалёт ляціць са скорасцю 1000 м/с. На колькі гадзіннік, які знаходзіцца ў самалёце, будзеадставаць ад гадзіннікана Зямлі?
7.5. Адзін з блізнятаў ва ўзросце 20 гадоў адправіўся ў далёкае касмічнае падарожжа да зоркі Арктур на караблі са скорасцю v = 0,99 с. Для жыхароў Зямлі адлегласць да гэтай зоркі складае 40св. гадоў (г. зн. адлегласць такая, што свет ад зоркі даходзіць да Зямлі за 40 гадоў). На колькі гадоў касмічны падарожнік стане маладзейшым за свайго брата, які застаўся на Зямлі?
7.6. Выкарыстоўваючы пераўтварэнні Лорэнца, вывесці рэлятывісцкі закон складання скарасцей.
7.7. Выкарыстоўваючы формулы тэорыі адноснасці, даказаць, што шляхам складання скарасцей нельга атрымаць скорасці, большыя за скорасць святла.
7.8. Зорка рухаецца да Зямлі са скорасцю v і выпраменьвае фатон, скорасць якога с. Паказаць, што фатон прыбліжаецца да Зямлі са скорасцю с, а не с + V.
7.9. Дзве ракеты аддаляюцца ад Зямлі ў прама процілеглых напрамках са скорасцю 0,8 с адносна Зямлі. Знайсці, з якой скорасцю рухаецца адна з ракет у сістэме адліку, звязанай з другой ракетай.
7.10. Паскаральнік надаў радыеактыўнаму ядру скорасць u = 0,4 с. У моманД вылету з паскаральніка ядро выкінула ў напрамку свайго руху /3-часцінку са скорасцю 0,75 с адносна паскаральніка. Знайсці скорасць часцінкі адносна ядра.
7.11. Які ўзрост касманаўта па гадзінніку Зямлі, калі ён у 30-гадовым узросце паляцеў на адлегласць да 20 светавых гадоў? Лічыць яго ўзрост па гадзінніку касманаўта 35 гадоў.
7.12. У колькі разоў рэлятывісцкая маса электрона, які рухаецца са скорасцю v = 0,999 с, болыпая за яго масу спакою?
7.13. Рэлятывісцкая маса цела, якое рухаецца з адпаведнай скорасцю, узрасла ў параўнанні з яго масай спакою на 20 %. У колькі разоў пры гэтым зменшылася яго даўжыня?
7.14. Рэлятывісцкая маса рухомага пратона ў 102 разоў большая за яго масу спакою. Знайсці скорасць гэтага пратона.
7.15. Цела рухаецца са скорасцю 200,0 Мм/с. У колькі разоў узрасце шчыльнасць рухомага цела ў параўнанні са шчыльнасцю таго ж цела, калі яно знаходзіцца на Зямлі?
7.16. Электрон рухаецца са скорасцю 200,0 Мм/с. Вызначыць яго кінетычную энергію па класічнай і рэлятывісцкай формулах. Параўнаць рэзультаты.
7.17. Знайсці адносіну кінетычнай энергіі электрона да яго энергіі спакою, калі скорасць электрона 150,0 Мм/с. Які рэлятывісцкі імпульс электрона?
7.18. П'оўная энергія мезона ў 8 разоў большая за яго энергію спакою. Якая скорасць мезона?
7.19. Якому змяненню масы адпавядае змяненне энергіі на 0,1 Дж?
7.20. Паказаць, што кінетычная энергія ў рэлятывісцкім выпадку Ек = = т0с2 (1 / J І-v2 /с2 1) пры малых скарасцях руху пераходзіць у класічнае выражэнне для кінетычнай энергіі mou2/2.
§8.П РУГКІЯ УЛАСЦІВАСЦІ ЦЕЛ
Адносная падоўжаная дэфармацыя
€ j " А I / I q ,
дзе AZ — прырашчэнне даўжыні пры расцяжэнні або сцісканні; /0 — даўжыня цела да дэфармацыі.
Адноснай дэфармацыяй кручэння называецца адносіна вугла закручвання да даўжыні стрыжня:
*1 1 ■
Адносная змена аб’ёму пры падоўжанай дэфармацыі
ДРIV е z ( 1 2/0 ,
дзе ц — каэфіцыент Пуасона, роўны адносіне адноснай папярочнай дефармацыі да падоўжанай: /< г j/г/.
Напружанне пры пругкай дэфармацыі
adF/(dS) ,
дзе dF — сіла, якая дзейнічае на элементарна малы ўчастак дадзенага сячэння
Залежнасць паміж адноснай падоўжанай дэфармацыяй і дэфармуючай сілай (закон Гука)
F 1 F
е a — — — , / S Е S
дзе a — каэфіцыент пругкасці; Е — модуль Юнга.
Разбураючая сіла
Fm “ amS, т т ’
цж а т —разбураючае напружанне.
Адносная змена таўшчыні
е AdId Pa ,
дзе р — каэфіцыент папярочнага сціскання пры падоўжаным расцягванні.
Дэфармацыя зруху характарызуецца вуглом зруху, які вызначаецца па формуле
Fi °,
* " П V ' ПР^' Т ’
дзе п — каэфіцыент зруху; FT — сіла, якая выклікае зрух; а т — датычнае напружанне; G — модуль зруху.
Модуль Юнга Е, модуль зруху G і каэфіцыент Пуасона ц звязаны суадносінай
Е
G “
2(1+/O
Вугал закручвання стрыжня
<р 2МІ / (лСЯ4 ) ,
дзе М — вярчальны момант; I — даўжыня стрыжня; R — радыус стрыжня. Патэнцыяльная энергія пругка дэфармаванага стрыжня
дзе V— аб'ём стрыжня.
Шчыльнасць энергіі пругка дэфармаванага стрыжня
1 р 2
co - —Е е J
8.1. Груз, падвешаны на гумавым шнуры даўжынёй 50 см, круцяць у гарызантальнай плоскасці з пастаяннай скорасцю так, што шнур апісвае канічную паверхню з вуглом пры вяршыні 120°. Вызначыць адноснае падаўжэнне шнура пры вярчэнні, калі ў выпадку нерухомага грузу расцяжэнне шнура 1 см. Расцяжэнне лічыць прапарцыянальным прыкладзенай сіле.
8.2. Якую нагрузку неабходна прыкласці да алюмініевага стрыжня, каб сн пры тэмпературы 10°С меў тую ж даўжыню, што і пры 0°С? Плошча папярочнага сячэння стрыжня 8 = 1,5 см2 . Модуль Юнга Е= 70 ГПа.
8.3. Гумавы шнур расцягнуты так, што яго даўжыня павялічылася ў 2 разы. Чаму роўны дыяметр расцягнутага шнура, калі да расцяжэння ён быў 1 см, а каэфіцыент Пуасона для гумы 0,5?
8.4. Вызначыць адноснае змяненне аб’ёму стальнога дроту дыяметрам 2 мм пры расцягванні яго сілай 1 кН. Каэфіцыент Пуасона р = 0,3.
8.5. Пры якой даўжыні падвешаны вертыкальна стальны дрот пачне рвацца пад дзеяннем уласнай вагі? Мяжа трываласці сталі рт = 0,69 ГПа.
8.6. Адносная змена аб’ёму пры падоўжанай дэфармацыі стрыжня роўная нулю. Вызначыць каэфіцыент Пуасона матэрыяла стрыжня.
8.7. Роўны дрот даўжынёй I падымаецца вертыкальна ўверх пад дзеяннем сілы, прыкладзенай да яе верхняга канца. Пры якім паскарэнні адбудзецца разрыў дроту?
8.8. Знайсці адноснае падаўжэнне дроту даўжынёй I, які падымаецца вертыкальна ўверх з паскарэннем а пад дзеяннем пастаяннай сілы, прыкладзенай да яго верхняга канца.
8.9. Вызнайыць каэфіцыент Пуасона Длюмініевага стрыжня, калі вядома, што пад дзеяннем некаторай сілы, напраўленай перпендыкулярна сячэнню стрыжня, адносная падоўжаная дэфармацыя е = 0,001, а пры датычным напрамку такой жа сілы адносны зрух 0 = 0,0027.
8.10. Вызначыць таўшчыню ніткі, на якой падвешана рамка люстэркавага гальванометра, калі пад дзеяннем вярчальнага моманту Л/ = 0,3 мН'М яна паварочваецца на вугал ф = 2°. Даўжыня ніткі 2=10 см. Модуль зруху матэрыялу ніткі G = 6,5 ГПа.
8.11. Вызначыць адноснае падаўжэнне меднага стрыжня, калі пры яго
расцяжэнні выконвасцца работа 0,12 Дж. Даўжыня стрыжня 2 м, плошча яго папярочнага сячэння 1 мм2 .
8.12. Знайсці шчыльнасць пругкай энергіі расцягнутага стальнога стрыжня, калі адноснае падаўжэнне 0,001.
8.13. Два вагоны масамі т = 2,0-104 кг, якія рухаюцца насустрач адзін аднаму са скарасцямі v = 2 м/с,сустракаюцца. Вызначыць сціск спружыны буфераў вагонаў, калі пад дзеяннем сілы F = 40 кН спружына сціскаецца на л'о = 1 см. Лічыць, што сціск спружыны прапарцыянальны сіле.
8.14. Вызначыць сілу, з якой гімнаст масай т = 60 кг дзейнічае на пругкую сетку пры скачку з вышыні A = 8,0 м, калі пад дзеяннем сілы цяжару гімнаста сетка прагінаецца на х0 = 16 см.
8.15. Якуюсілу неабходна развіцьпры нацяжэнні лука на x = 0,20 м, калі ўся выконваемая работа ідзе на перадачу страле кінетычнай энергіі, a найбольшая далёкасць палёту стралы s = 36 м? Маса стралы т = 50 г.
8.16. На якую вышыню падымецца камень масай т = 30 г, кінуты всртыкальна ўверх з рагаткі, гумовы жгут якой сячэннсм 5 = 0,20 см 2 і даўжынёй Z = 30 см быў расцягнуты на Д/ = 20 см? Супраціўлснне паветра не ўлічваць. Модуль Юнга для гумы Е = 7,8 МПа.
8.17. Самалёт садзіцца на палубу авіяносца, маючы скорасць 100 км/гадз. Зачапіўшыся за канат тармажэння, самалёт прабягае 50 м і спыняецца. Вызначыць перагрузкі, калі жорсткасць каната пры яго расцяжэнні не змяняецца.
8.18. Падстаўку, на якой ляжыць цела, падвешанае на спружыне, апускаюць з паскарэннем a < g. Да якой максімальнай даўжыні расцягнецца спружына, калі ў пачатковы момант яна была не расцягнута? Маса цела т, жорсткасць спружыны к.
§ 9. МЕХАНІЧНЫЯ ВАГАННІI ХВАЛІ
Ураўненне затухаючых ваганняў і яго рашэнне:
d х2 dx 2 д
—;—т + 2Р—7" + "ox “0; х Ае р cos(Mt + ф ) , d t d t
дзе /3 — каэфіцыент затухання, ш — частата затухаючых ваганняў:
Ш = 4 (Op ~ ^2 ■
Лагарыфмічны дэкрэмент затухання
е = >п ^т.
Перыяд малых ваганняў матэматычнага маятніка
Т = 2nJ I/g ’ ,
дзе / — даўжыня маятніка; g — паскарэнне сілы цяжару.
Перыяд ваганняў цела, падвешанага на спружыне,
КНІГІ ОНЛАЙН
