Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

Н« С. БЯРОЗКІНА, С. А. МІНЮК IІНТЭГРАЛЬНЫЯ /гЛУпшш Міністэрства адукацыі Рэспублікі Беларусь ГРОДЗЕНСКІ ДЗЯРЖАЎНЫ УНІВЕРСІТЭТ ІМЯ ЯНКІ КУПАЛЫ Н. С. БЯРОЗКІНА, С. А. МІНЮК ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫЯ IІНТЭГРАЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕННІ Дапушчана Міністэрствам адукацыі Рэспублікі Беларусь у якасці вучэбнага дапаможніка для сту'дэнтаў фізікаматэматычных і тэхнічных спецыяльнасцяў вышэйшых навучальных устаноў У 2 тамах Гродна 2000 УДК 517.2(075.8) ББК 22.161.6 Б99 Рэцэнзенты: каф. дыферэнц. ураўненняў мех.мат. фак. БДУ; членкар. Бел. акад. адукацыі, дац. Ю. А. Быкадораў; заг. каф. дыферэнц. ураўненняў ГДУ імя Ф. Скарыны, праф. У. I. Міроненка. Бярозкіна Н. С., Мінюк С. А. Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні: Б 99 Вуч. дапаможнік для студ. фіз.мат. і тэхн. спец. выш. навуч. устаноў. У 2 т. Т. 1. Гродна: ГрДУ, 2000. 436 с. ISBN 9854171671. Выкладзены асноўныя пытанні дыферэнцыяльных ураўненняў першага парадку, лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў і сістэм, агульныя пытанні сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў і тэорыя ўстойлівасці дынамічных сістэм. Для студэнтаў фізікаматэматычных і тэхнічных спецыяльнасцяў вышэйшых навучальных устаноў. УДК 517.2(075.8) ББК 22.161.6 ISBN 9854171671. © Н. С. Бярозкіна, С. А. Мінюк, 2000. ЗМЕСТ ПРАДМОВА 6 ГЛАВА I. УРАЎНЕННІ ПЕРШАГА ПАРАДКУ § 1. Агульныя ўраўненні першага парадку 14 § 2. Прынцыпы складання дыферэнцыяльных ураўненняў 20 § 3. Прасцейшае дыферэнцыяльнае ўраўненне першага парадку 24 § 4. Ураўненні ў поўных дыферэнцыялах 27 § 5. Аднародныя дыферэнцыяльныя ўраўненні і ўраўненні, якія прыводзяцца да іх 33 § 6. Інтэгруючы множнік 37 § 7. Лінейныя ўраўненні 41 § 8. Ураўненне Бернулі 45 § 9. Ураўненне Рыкаці 47 § 10. Ураўненні, не вырашаныя адносна вытворнай 49 §11. Асаблівыя рашэнні ўраўненняў, не вырашаных адносна вытворнай 56 § 12. Існаванне і адзінасць рашэння 61 §13. Гладкасць і непарыўнасць рашэнняў 66 Варыянты заданняў для самастойнай працы 69 ГЛАВА II. ЛІНЕЙНЫЯ ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕННІ § 1. Агульныя ўласцівасці лінейных ураўненняў 76 § 2. Лінейныя аднародныя ўраўненні 78 § 3. Лінейныя неаднародныя ўраўненні 85 § 4. Лінейнае ўраўненне першага парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі і правай часткай у выглядзе квазіпалінома 90 § 5. Лінейныя аднародныя ўраўненні з пастаяннымі каэфіцыентамі 93 § 6. Лінейныя неаднародныя ўраўненні з пастаяннымі 1 * 3 каэфіцыентамі 99 § 7. Ураўненне Эйлера 105 § 8. Лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне другога парадку 107 § 9. Інтэграванне лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў пры дапамозе радоў 112 § 10. Ураўненне Беселя 119 §11. Перыядычныя рашэнні лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў 127 § 12. Краявыя задачы 130 Варыянты заданняў для самастойнай працы 136 ГЛАВА III. СІСТЭМЫ ЛІНЕЙНЫХ ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫХ УРАЎНЕННЯЎ § 1. Аднародныя нармальныя сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў 143 § 2. Метад выключэння для рашэння лінейных сістэм 149 § 3. Лінейныя аднародныя нармальныя сістэмы з пастаяннымі каэфіцыентамі 153 § 4. Лінейныя неаднародныя сістэмы 175 § 5. Метады інтэгравання лінейных неаднародных сістэм з пастаяннымі каэфіцыентамі 179 § 6. Прымяненне пераўтварэння Лапласа да рашэння лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў і сістэм (аперацыйны метад інтэгравання) 188 § 7. Лінейныя сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў з перыядычнымі каэфіцыентамі 203 § 8. Траекторыі лінейных сістэм на плоскасці 207 § 9. Лінейныя сістэмы са зменнымі каэфіцыентамі, інтэгравальныя ў замкнутай форме 218 § 10. Матрыцант 226 Варыянты заданняў для самастойнай працы 229 4 ГЛАВА IV. АГУЛЬНЫЯ ПЫТАННІ СІСТЭМ ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫХ УРАЎНЕННЯЎ § 1. Сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў. Асноўныя паняцці і азначэнні 237 § 2. Тэарэма адзінасці 246 § 3. Лакальныя тэарэмы існавання 248 § 4. Працяг рашэнняў 254 § 5. Непарыўная залежнасць рашэнняў ад пачатковых дадзеных і параметраў 258 § 6. Дыферэнцавальнасць рашэнняў па пачатковых дадзеных і параметрах 262 § 7. Перыядычныя рашэнні квазілінейных сістэм 268 § 8. Аўтаномныя сістэмы і іх уласцівасці 275 § 9. Першыя інтэгралы 281 § 10. Метад нармальных формаў у тэорыі аўтаномных сістэм 290 Варыянты заданняў для самастойнай працы 301 ГЛАВА V. УСТОЙЛІВАСЦЬ ДЫНАМІЧНЫХ СІСТЭМ § 1. Асноўныя азначэнні тэорыі ўстойлівасці 311 § 2. Устойлівасць лінейных стацыянарных сістэм з пастаяннымі каэфіцыентамі 318 § 3. Другі метад Ляпунова 324 § 4. Устойлівасць па першаму набліжэнню 332 § 5. Фазавая плоскасць 336 § 6. Прыклады даследавання сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў як матэматычных мадэляў метадамі якаснай тэорыі 343 § 7. Устойлівасць лінейных нестацыянарнах сістэм 355 Варыянты заданняў для самастойнай працы 365 ДАДАТАК I. Доказы тэарэм, прыведзеных у главах I — V 374 ЛІТАРАТУРА 433 5 ПРАДМОВА Прапанаваны вучэбны дапаможнік у двух тамах прызначаны для студэнтаў матэматычных і фізікатэхнічных спецыяльнасцяў і мае мэту азнаёміць чытача з тэорыямі дыферэнцыяльных і інтэгральных ураўненняў, варыяцыйным злічэннем, а таксама з ідэямі, якія ляжаць у аснове сучаснага аналізу і даюць некаторае ўяўленне аб подступах да сучаснай матэматыкі. «Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні» напісаны на падставе лекцый, чытаных аўтарамі на матэматычным і фізікатэхнічным факультэтах Гродзенскага дзяржаўнага універсітэта. У кнізе знаходзіцца больш матэрыялу, чым выкарыстоўваецца на лекцыях. Гэта натуральна. Студэнт знойдзе тут дадатковы матэрыял для роздуму. Нягледзячы на прагрэс у выкладанні матэматыкі, усё яшчэ існуе значны разрыў паміж падрыхтоўкай выпускніка ВНУ і патрабаваннямі, з якімі яму прыходзіцца сустракацца на практыцы. Інфармацыя, што змяшчаецца ў навуковатэхнічнай літаратуры, і тым больш творчая праца ў новых галінах даследаванняў непазбежна сутыкае спецыяліста з ідэямі, паняццямі і метадамі, якія не знаходзяць дастатковага адлюстравання ў і так ўжо насычаных праграмах ВНУ. Дадзены вучэбны дапаможнік з’яўляецца адным са шляхоў для асвятлення такіх ідэй і паняццяў без павелічэння адведзеных адпаведнаму курсу гадзін. Прастата і даступнасць асаблівасць матэматыкі, і гэтая кніга нацэлена на раскрыццё гэтай асаблівасці, на тое, каб вызваць праз дакладнасць, канкрэтнасць і даступнасць асноўных паняццяў і тэарэм цікавасць да курсу «Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні» па магчымасці ва ўсіх студэнтаў. Яшчэ адной адметнай рысай кнігі з’яўляецца імкненне не толькі даць студэнтам чыста матэматычны апарат даследавання, але і навучыць прымяняць яго да рашэння розных прыкладных задач, таму што веды без прымянення нельга лічыць паўнацэннымі ведамі, яны з цяжкасцю засвойваюцца і вельмі хутка забываюцца. 6 Усе пералічаныя вышэй асноўныя патрабаванні да вучэбнага дапаможніка падпарадкаваны галоўнай мэце арганізацыі вучэбнага працэсу студэнта. Перапрацаваўшы ўвесь матэрыял і рашыўшы ўсе задачы, змешчаныя ў вучэбны дапаможніку, студэнт набудзе патрабуемыя веды па тэорыі і навыкі ў рашэнні прыкладаў і задач і ў выніку падрыхтуецца да вывучэння іншых дысцыплін, у якіх выкарыстоўваюцца дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні, элементы варыяцыйнага злічэння. Структура вучэбнага дапаможніка такая: увесь матэрыял разбіты на асноўны і дадатковы (зза розніцы ў вучэбных праграмах для матэматычных і фізікатэхнічных спецыяльнасцяў); асноўны раздзел змяшчае восем глаў, дадатковы тры дадаткі, прычым дадатак III змяшчае дзве главы IX і X; главы разбіты на параграфы. Кожная глава заканчваецца заданнямі для самастойнай працы. Пытанне аб тым, якая частка матэрыялаў з гэтых глаў уключаецца ў лекцыйны курс, залежыць ад кантынгенту слухачоў і вырашаецца лектарам. Па гэтай прычыне і для зручнасці доказы ўсіх прыведзеных у вучэбны дапаможніку тэарэм змешчаны ў асобных дадатках для кожнага тома. Так, напрыклад, па курсу «Дыферэнцыяльныя ўраўненні» для спецыяльнасці «Матэматыка» выкарыстоўваецца толькі матэрыял глаў I VI асноўнай часткі, дадаткаў I, II і главы X дадатку III; па курсу «Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні» для спецыяльнасці «Фізіка» выкарыстоўваецца матэрыял глаў I V, VII асноўнай часткі, главы IX дадатку III і прыводзіцца доказ некалькіх тэарэм (па выбары лектара), змешчаных у дадатках I, II. Для матэматычных і фізікатэхнічных спецыяльнасцяў, дзе адсутнічае курс «Лікавыя метады» альбо роднасны яму, пры падборы матэрыялу па дыферэнцыяльных і інтэгральных ураўненнях выкарыстоўваецца глава VIII. Главы ў раздзелах вучэбнага дапаможніка маюць суцэльную нумарацыю, а параграфы нумаруюцца ў межах кожнай главы. Формулы, тэарэмы і лемы пранумараваны ў межах главы, a прыклады, практыкаванні і заўвагі у межах параграфа. Спасылкі, як правіла, робяцца на формулы дадзенай главы. У выпадку ж 7 спасылак на формулы, што знаходзяцца ў іншых главах, указваецца нумар главы, нумар параграфа і нумар адпаведнай формулы. Напрыклад, формулу (5.2.8) трэба шукаць у главе V, § 2 пад нумарам (8). Пры спасылках на параграф, тэарэму або лему той жа главы ўказваецца толькі іх нумар, а калі яны змешчаны ў іншай главе, то перад гэтым нумарам указваецца і нумар главы. Спасылка на § 7.1 азначае, што § 1 трэба шукаць у главе VII. У спасылках на прыклады, заўвагі або практыкаванні той жа главы ўказваецца і нумар параграфа. Калі ж яны змешчаны ў іншай главе, то перад іх асабістым нумарам і нумарам параграфа даецца нумар главы. Напрыклад, заўвага 5.4.3 змяшчаецца ў главе V, § 4 пад нумарам 3. Тэарэмы, сцвярджэнні, лемы, прыклады і практыкаванні для большай лагічнай выразнасці выдзяляюцца. Пяройдзем да агляду зместу першага тома кнігі. Першая глава прысвечана дыферэнцыяльным ураўненням першага парадку і ў значнай ступені адыгрывае ролю ўводзін у тэорыю дыферэнцыяльных ураўненняў, паслядоўна выкладзеную ў наступных главах. У гэтай главе разам з асноўнымі паняццямі, азначэннямі і метадамі інтэгравання прасцейшых дыферэнцыяльных ураўненняў першага парадку нададзена ўвага такім пытанням, як існаванне, адзінасць, працяг іх рашэнняў, залежнасць ад пачатковых дадзеных і параметраў. У II і III главах, прысвечаных адпаведна тэорыі лінейных ураўненняў і сістэм, у дадатак да звычайнага матэрыялу разглядаюцца лінейныя сістэмы з перыядычнымі каэфіцыентамі, са зменнымі каэфіцыентамі, інтэгравальныя ў замкнутай форме, функцыя Грына краявой задачы, інтэграванне з дапамогай радоў метад, які з’яўляецца адным з асноўных метадаў даследавання дыферэнцыяльных ураўненняў у прыкладаннях.