КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

а аднародныя у выглядзе
L(x) = 0.
Непасрэднай праверкай можна ўпэўніцца, што маюць месца наступныя ўласцівасці:
а)	лінейнае ўраўненне застаецца лінейным пры любой замене незалежнай зменнай Г = (р^т/ дзе ^>(х)~ любая функцыя ад Т , вызначаная і непарыўная разам са сваімі вытворнымі да парадку п уключна ў інтэрвале fto/Tj, прычым a = ^(х0),Ь ^(х 2), q'(T)*0 VTefT0;Tj;
б)	лінейнае ўраўненне застаецца лінейным пры любой лінейнай за
77
мене шуканай функцыі: х = a(t)y + $(t), дзе у новая невядомая функцыя, U.(t) і Pf^ адвольныя п раз непарыўна дыферэнцавальныя функцыі ад t, прычым a(t)^0 Vt е I.
Заўвага 2. Відавочна, што, выконваючы падстаноўку х = = Ot(t)y у аднародным лінейным ураўненні, атрымаем таксама лінейнае аднароднае ўраўненне.
Заўвага 3. Падстаноўкай x = a(t)y ва ўраўненнях (1) і (2) можна знішчыць член, што змяшчае вытворную (п1)га парадку.
§ 2.	Лінейныя аднародныя ўраўненні
Будзем разглядаць ураўненне def
L( х) = х(п) +рІ( t)x(n~‘) +.. .+pn_l (t)x + pn(t)x = 0. (4)
3 уласцівасцяў 1.1° 1.3° лінейнага аператара непасрэдна вынікае, што калі x^t) і x2(t) з’яўляюцца рашэннямі ўраўнення (4), то маюць месца сцвярджэнні:
1°. Сума xt(t) + x2(t) ёсць рашэнне гэтага ўраўнення.
2°. Для любой пастаяннай С і любога рашэння x(t) ураўнення (4) здабытак Сх(t) таксама рашэнне (4).
3°. Калі маем частковыя рашэнні хг х2,...,хп ураўнення (4), то выраз CjXj + С2 х2+...+С„хп таксама рашэнне гэтага ўраўнення (С/л ...,С„ адвольныя пастаянныя).
4°. Калі x,(t) і x2(t) рашэнні неаднароднага ўраўнення ^(x)~f(t)> то іх рознасць x,(t)x2(t) ёсць рашэнне аднароднага ўраўнення L(x) = 0.
5°. Калі камплексназначная функцыя х = u(t) + iv(t), дзе u(t), v(t)~ сапраўдныя функцыі ад сапраўднай зменнай t, a і = V7 (гл. [15], глава III, § 8, п. 23.3, с. 518), з’яўляецца рашэннем аднароднага ўраўнення L(x) = 0, то сапраўдная частка гэтага
78
рашэння u(t) і яго ўяўная частка v(t) паасобку рашэнні ўраўнення L(x) = 0.
Практыкаванне 1. Даказаць уласцівасці 1° 5°.
3 уласцівасцяў 1 , 2 вынікае, што мноства рашэнняу ураунення (4) утварае лінейную прастору. I для знаходжання любога рашэння ў гэтай прасторы неабходна вызначыць яе базіс, калі ён існуе, гэта значыць знайсці лінейна незалежныя рашэнні, праз якія лінейным чынам выразіцца любое рашэнне ўраўнення (4).
Напомнім, што функцыі x,(t), x2(t) ,...,xn(t) называюць лінейна залежнымі ў прамежку (а;Ь), калі існуюць пастаянныя лікі ар а2,..., ап, не ўсе з якіх роўныя нулю, такія, што
alx1(t) + a2x2(t)+...+anxn(t) = 0, t&(a;b). (5) Калі ж роўнасць (5) мае месца толькі пры а7 —^2 =...= «„ = 0, то функцыі x,(t), x2(t),...,xn(t) называюцца лінейна незалежнымі на (а;Ь).
Дастатковай умовай лінейнай незалежнасці п функцый, непарыўных разам са сваімі вытворнымі да (nJ)ra парадку ў прамежку (а;Ь), з’яўляецца тое, што дэтэрмінант Вронскага (вранскіян) W^X! ,х2,...,хД гэтых функцый не роўны нулю хоць у адным пункце прамежку (а;Ь), гэтазначыць
^х2,х2>.	•>*„] =	*1(1) Xi(t)	x2(t) х2(О	xn(t) • xn(t)	*0,
		х^а)	^"(t) ■	• x^ft)	
t е(а;Ь)
(гл. [2], глава V, § 2, с. 178).
Практыкаванне 2. Даказаць сфармуляванае вышэй сцвярджэнне.
Калі зададзеныя п функцый з’яўляюцца частковымі рашэннямі лінейнага аднароднага дыферэнцыяльнага ўраўнення п га
79
парадку, умова неператварэння вранскіяна ў нуль хоць у адным пункце з’яўляецца не толькі дастатковай, але і неабходнай умовай лінейнай незалежнасці гэтых рашэнняў (гл. [10], глава I, § 10, с. 44).
Тэарэма 2 (аб структуры агульнага рашэння аднароднага ўраўнення). Усякае лінейнае аднароднае дыферэнцыяльнае ўраўненне (2) парадку п мае роўна п лінейна незалежных рашэнняў x^t), x2(t),...,xn(t), t&(a;b). Агульнае рашэнне гэтага ўраўнення мае від
п
*(t) = C^j (t)+ С2х2 (t)+.. .+СпХп (t) = ^ СІХІ (0. (6)
дзе СІ,С2,...,Сп адвольныя пастаянныя.
Сістэму п лінейна незалежных рашэнняў x^t), x2(t),...,xn(t) (далей будзем абазначаць х^ х2,...,хп) лінейнага аднароднага дыферэнцыяльнага ўраўнення (2) называюць фундаментальнай сістэмай рашэнняў гэтага ўраўнення.
Фундаментальная сістэма рашэнняў х,, х2,...,хп цалкам вызначае лінейнае аднароднае ўраўненне (2), і таму можна паставіць задачу аб знаходжанні ўраўнення (2), якое мае зададзеную фундаментальную сістэму рашэнняў х,, х2,...,хп.У сілу таго, што ўсякае рашэнне х шуканага ўраўнення (2) павінна быць лінейна залежным ад рашэнняў x/t х2,...,хп, дэтэрмінант Вронскага н[хІ,х2,...,х„,х]=
= 0, або ў разгорнутым выглядзе				
	х/	х2	•"	хп	X	
	Х1	х2		Хп	X	= 0
	Y(*1)	Y(n1)	Y(n1) х2	хп	х(„і)	
	Х1	„(")	Y(n) х2	... хп	х(п>	
або, раскладаючы па элементах апошняга слупка,
80
(7)
Ураўненне (7) i з’яўляецца шуканым ураўненнем. Параўноўваючы (4) і (7), адзначаем, што
Pi(t) = ~
хі
хі
Хп
Хп
1
Y(n2)
Xl
Х<П)
X1
r(n2)
•n
x^
лп
Лёгка бачыць, што дэтэрмінант з гэтага ўраўнення роўны вытворнай ад дэтэрмінанта Вронскага (правіла дыферэнцавання дэтэрмінанта гл. [11], глава 8, п. 8.6, с. 67).
W'
Значыць, Pi(t) = 	. Інтэгруючы гэтае ўраўненне, будзем
мець W=Ce ‘°	. Пры t = t0 атрымаем С =W(t0), адкуль
81
$ Pl (')dt W(t)=W(t0)e '°	.	(8)
Формулу (8) называюць формулай АстраградскагаЛіувіля.
Формула (8) можа быць выкарыстана для рашэння лінейнага аднароднага ўраўнення другога парадку
х + p](t)x + p2(t)x = 0 .	(9)
Згодна з формулай (8) маем
Х1
хі
х
. = С^
\pi(t)dt
, дзе х; 
любое нетрывіяльнае рашэнне ўраўнення (9).
Раскрываючы дэтэрмінант, атрымаем лінейнае ўраўненне
\pi(')dl
першага парадку х,х — х,х = Cje J , якое можна рашыць спосабам, апісаным у § 1.7.
Напрыклад, калі х2(і)^0 ^ t & (a;b) ,то дзелячы атрыма
2 нае ўраўненне на х. , знаходзім — — Ж\хі J
~[pi(<)dl
= —7 С,е J , адкуль хі
х = С2х, +
(Ю)
Прыклад 1. Функцыі х, =1,х2 = е' ,х3 = е2' задавальняюць
некатораму дыферэнцыяльнаму ўраўненню трэцяга парадку. Пераканацца, што яны ўтвараюць лінейна незалежную сістэму, і скласці гэтае ўраўненне.
Рашэнне. Складзём дэтэрмінант Вронскага
^[хі,х2>хз] =	1 е‘ е2‘ 0 е‘ 2е2' = 2е3' ^О, Vie R. 0 е‘ 4е2'
Значыць, функцыі лінейна незалежныя. Агульнае рашэнне шуканага дыферэнцыяльнага ўраўнення мае від х = С, + С2е' + С3е2'.
82
Цяпер ясна, што чатыры функцыі х, 1, е', е2' утвараюць ужо лінейна незалежную сістэму (функцыя х лінейна выражаецца праз астатнія), таму дэтэрмінант Вронскага роўны нулю, гэта значыць
	X	1	е'	е2'	
w[x,l,e' ,е2'] =	X X	0 0	е' е'	2е2' 4е2'	= 2е3'(х Зх + 2х) = 0
	X	0	е'	8е2'	
Адсюль 'хЗх + 2х = 0 шуканае дыферэнцыяльнае ўраўненне.
Прыклад 2. Паказаць, што функцыя х = С^' + С2е~3' з’яўляецца агульным рашэннем ураўнення х9х = 0.
Рашэнне. Непасрэднай падстаноўкай х у дадзенае ўраўненне лёгка пераканацца ў тым, што функцыі х, = е3' і х2 = е~3' з’яўляюцца яго рашэннямі. У выпадку дзвюх функцый крытэрый лінейнай залежнасці спрошчваецца. Менавіта непарыўныя функцыі х^і) і
x2(t) будуць лінейна незалежнымі ў прамежку (а;Ь), калі іх ста
сунак не ровен тоесна пастаяннай
\(t) .хі(і)
Ф const, x2(t)^0, te(a;b) У
x,(t)	
гэтым прамежку, калі ж —= const, то функцыі ліненна за
х2({)
лежныя.
У дадзеным прыкладзе ^= е6' * const ■ Таму х, і х2 склах2
даюць фундаментальную сістэму рашэнняў. Адкуль х = C\e3t + + С2е ^ агульнае рашэнне.
Прыклад 3. Ураўненне (2tt2)x + (t2 2)x + 2(lt)x = 0 мае частковае рашэнне Xj е‘. Знайсці рашэнне задачы Кашы для гэтага ўраўнення з пачатковай умовай х(3) = 1, х(3) = 0.
Рашэнне. Запісаўшы дадзенае ўраўненне ў кананічнай форме
83
t22	2(lt)
4rx +yxO, (t^O, t ^ 2), маем Pi(t) =
2tC	2tC
t22
y. Будзем разглядаць прамежак I = (2;+°°). Знаходзім:
t22
2tt2
t1 ’
t2 2t >
dt — t +
+ J^—^— = t + ln \г 2t\.
J(tl)2~l	1	1
Значыць, згодна з формулай (10), t+ln\t22t\
х = С2е' + С^ j ^dt = С2е' + С^ \ е~‘ (t2 2t)dt =
= С2е‘ +Cjt2.
Значэнне C], С2 знойдзем, выкарыстоўваючы зададзеную пачатковую ўмову:
С2е3+9С!=1, С^+бС^О, С, = ^, С2 =2е~3. Рашэнне зыходнай задачы Кашы мае выгляд
x = 2e1e'+^t!=2e'3+jl!.
Непасрэднай падстаноўкай можна ўпэўніцца, што, ведаючы частковае рашэнне X] лінейнага аднароднага ўраўнення, з дапамогай лінейнай замены шуканай функцыі x = x^zdt паніжаецца парадак гэтага ўраўнення, а значыць, і парадак неаднароднага ўраўнення на адзінку. Атрыманае ўраўненне (п — 1)га парадку адносна новай зменнай z таксама з’яўляецца лінейным.
Кожнае з вядомых лінейна незалежных частковых рашэнняў лінейнага аднароднага ўраўнення дазваляе панізіць яго парадак на адзінку (гл. падрабязна ў [2], глава V, § 2, с. 187).
84
Практыкаванне 3. 3 дапамогай падстаноўкі х = X]
пані
зіць парадак лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўнення п га парадку на адзінку.
Прыклад 4. Вядомы два частковыя рашэнні х1 = t2 ,х2 — t3 ураўнення t3'x 3t?х + 6tx 6х = 0 (t > 0). Знайсці агульнае рашэнне гэтага ўраўнення.
Рашэнне. Маем w\xI,x2\ =
t2 t3
2t 3t2
= t4 * 0 пры t *0. Та
му xhx2 лінейна незалежныя. Для паніжэння парадку выкарыс
таем падстаноўку х = Xj
2
d х\	I
Z = — “7,1*0 ,zdt\t2)	J
новая невядомая функцыя. Будзем мець х = 2t^ zdt +1
2z, X =
= 2J zdt + 4tz +t2 z, x = 6z + 6tz + t2z. Пасля падстаноўкі x, x, x, x y зададзенае ўраўненне адносна функцыі z атрымаем лінейнае аднароднае ўраўненне віду z + ~z = 0. Раз гэтае ўраўненне мае рашэн
d ]
не	= то па формуле (10) яго агульнае рашэнне
z
Гл	С1 2
е 1 dt = С2 + ~t . Зыходнае ўраўненне мае
агульнае рашэнне x = C;t + +C2t + C3t .
§ 3. Лінейныя неаднародныя ўраўненні
Структура агульнага рашэння лінейнага неаднароднага ўраўнення
85
x(n)+P](t)x(n l)+p2(t)x(n 2j+...+pn_](t)x + pn(t)x = f(t) (11) вызначаецца наступнай тэарэмай.
Тэарэма 3. Агульнае рашэнне ўраўнення (11) ёсць сума некаторага яго частковага рашэння x*(t) і агульнага рашэння x°(t) адпаведнага аднароднага дыферэнцыяльнага ўраўнення (2) , гэта значыць х = x*(t) + C]X] +С2х2+...+Спхп = x*(t) + x°(t), дзе Х],...,хп фундаментальная сістэма рашэнняў ураўнення (2).
Такім чынам, калі вядома агульнае рашэнне адпаведнага аднароднага ўраўнення, то для пабудовы агульнага рашэння неаднароднага ўраўнення неабходна знайсці адно яго частковае рашэнне.
Разгледзім ураўненні L(x) = fj(t) і L(x) = f2(t). Калі х1 (t) ёсць рашэнне першага з гэтых ураўненняў, a х2 (t)другога, то сума x‘(t) + ^(t) ёсць рашэнне ўраўнення L(x) = fi(t) + + f2(t). Гэтая ўласцівасць распаўсюджваецца на любы канечны лік рашэнняў і складае сутнасць так званага прынцыпу суперпазіцыі. Справядлівасць гэтага прынцыпу вынікае з лінейнасці аператара Цх).