КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

Тэарэма 5. Разгледзім задачу (67). Няхай у некаторым абсягу D прасторы зменных (t,x,\x) функцыя / мае непарыўныя вытворныя да парадку k > 1 уключна па зменных Л х, ц. Тады pa
68
шэнне задачы Кашы (67) x(t,^.) мае к непарыўных вытворных адносна зменных t, Ц.
3 тэарэмы 5 вынікае тэарэма аб дыферэнцавальнасці рашэнняў па пачатковых дадзеных
Тэарэма 6. Калі функцыя f(t,x) мае непарыўныя вытворныя да парадку к> 1 уключна, то рашэнне x(t,t0,x0) задачы Кашы dx
^ = /(‘’Х)> х(*о) = хо at
мае непарыўныя вытворныя да парадку к > 1 уключна па сукупнасці зменных t,t0,x0.
Сапраўды, пачатковыя дадзеныя можна разглядаць як параметры і заменай, указанай вышэй, перайсці да ўраўнення, правая частка якога залежыць ад пачатковых дадзеных, як ад параметраў, a пачатковыя дадзеныя не залежаць ад параметраў.
Варыянты заданняў для самастойнай працы
1.1.	Рашыць задачу Кашы 2х^Г + х = 0, х(4) = 1.
2.	Знайсці артаганальныя траекторыі сямейства гіпербал ху = С.
3.	Рашыць дыферэнцыяльнае ўраўненне
х cos t dt + sin t dx = cos 2t dt.
4.	Знайсці інтэгруючы множнік i рашыць ураўненне x2dt + (xtl)dx = 0.
5.	Знайсці агульны і асаблівыя інтэгралы ўраўнення х = tx2 + х2.
II.	1. Знайсці інтэгральную крывую ўраўнення х = sin (tx), якая праходзіць праз пункт О(0,0).
1.	Знайсці асаблівыя рашэнні ўраўнення х = >J1 х2. Зрабіць малюнак.
69
1.	Вызначыць крывую, якая праходзіць праз пункт А(а,а), калі адлегласць ад пачатку каардынат да датычнай у любым пункце крывой роўна абсцысе гэтага пункта.
2.	Праінтэграваць ураўненне txx = 2х2 3t2.
3.	Праінтэграваць ураўненне х + y/t2 + х2 — tx = 0.
dx
III.	1. Знайсці рашэнне задачы Кашы — = sgn х, x(t0) = х0.
t + x~2
2.	Праінтэграваць дыферэнцыяльнае ўраўненне х =.
xt4
3.	Знайсці крывую, датычныя да якой утвараюць з восямі каардынат трохвугольнік пастаяннай плошчы, роўнай 2a2.
4.	Знайсці агульнае рашэнне лінейнага ўраўнення х~х = е2 1.
5.	Праінтэграваць дыферэнцыяльнае ўраўненне 2х = tx + х In х .
IV.	1. Метадам паслядоўных набліжэнняў рашыць задачу Кашы х = 2tx, х(0) = 1.
2.	Сіла току і у ланцугу з супраціўленнем R, самаіндукцыяй h электрарухальнай сілай Е задавальняе дыферэнцыяльнаму di
ўраўненню L—~ + Ri = Е . Рашыць гэтае ўраўненне, лічачы R , dt
L пастаяннымі, а электрарухальную сілу Е лінейна нарастальнай, Е = kt. Пачатковыя ўмовы: і = 0 пры t = 0 .
tx2
3.	Знайсці агульны і асаблівыя інтэгралы ўраўнення 2х =.
х + 2
Праінтэграваць дыферэнцыяльныя ўраўненні:
4.	х = е'~х.
dx х
dt t+x3
70
V. 1. Ці мае дыферэнцыяльнае ўраўненне х = 5tx (х)2 асаблівае рашэнне?
Праінтэграваць дыферэнцыяльныя ўраўненні:
3.	tx х2 In t + х = 0 .
4.	Цыліндрычны рэзервуар даўжынёй 6м і дыяметрам 4 м размешчаны гарызантальна і напоўнены вадой. Праз які час уся вада вы
цеча з рэзервуара, калі адтуліна радыуса —л« знаходзіцца на ўз
роўні самай ніжняй з утваральных цыліндра?
5.	Знайсці тры першыя паслядоўныя набліжэнні задачы Кашы х = 2х 2t2 3, х(0) = 2.
VI. 1. Ці мае асаблівыя рашэнні ўраўненне х = Mt 5х + 2 2
2.	Знайсці час, на працягу якога ўся вада выцеча з канічнай варонкі, калі вядома, што палавіна вады выцякае за 2 мін.
Праінтэграваць ураўненні:
3.	(х2 t2)х = xt2.
1
4.	x = tx + ~.
х
5.	Знайсці рашэнне ўраўнення xt3 sin t = 1, якое задавальняе ўмове х 4 5ті, t —> о°.
VIL 1 .Знайсці час t, за які вада, што запаўняе канічную варонку вышынёю Н см, з вуглом 2а пры вяршыні, выцякае з яе праз малую адтуліну плошчай S см2, выразаную ў вяршыні конуса, калі
вядома, што скорасць v Ьызначаецца формулай v =
k^gh, дзе
см
к = 0,6 , g = 9,8 —, h cm вышыня слупа вады над адтулінай. с
71
yll + t2^ = 0, х(0) = 1.
2.	Рашыць задачу Кашы t\ 1 + х2 + х
Праінтэграваць ураўненні:
dx ( х + 2 Л2
3	7 = 27 •
dt \t + х1)
4.	tx + х = tx2 In t.
5.	Знайсці агульнае i асаблівае рашэнні ўраўнення tx2 2хх + 4t = 0.
VIII.	1. Знайсці дыферэнцыяльнае ўраўненне ўсіх прамых на плоскасці і праінтэграваць яго.
2.	Знайсці метадам паслядоўных набліжэнняў набліжаныя рашэнні ўраўнення х = х2 — і2 ( знайсці тры набліжэнні, не лічачы х0), калі х(0) = 0.
Праінтэграваць ураўненні:
3.	х + Зх tg 3t = sin 6t.
4.	x = tx + Jb2 + a2x2.
5.	Рашыць задачу Кашы
2	2	f Л
sec ttgxdt + sec xtgtdx = 0, x — =—.
<4
IX.	1. Кандэнсатар, ёмістасць якога роўна Q, уключаецца ў ланцуг з напружаннем U і супраціўленнем R . Вызначыць зарад з кандэнсатара ў момант t пасля ўключэння.
2.	Знайсці агульнае і асаблівае рашэнні дыферэнцыяльнага ўраўнення х2 хх + е' = 0.
Праінтэграваць ураўненні:
3.	(t2 + 2xt)dt + txdx = 0.
72
Xj
5.	Устанавіць від частковага рашэння ўраўнення хІОх = е' te1 + t.
X.	1. Пункт масы т рухаецца прамалінейна. На яго дзейнічае сіла, прапарцыянальная часу (каэфіцыент прапарцыянальнасці k^. Акрамя таго, пункт адчувае супраціўленне асяроддзя, прапарцыянальнае скорасці (каэфіцыент прапарцыянальнасці к2). Знайсці залежнасць скорасці ад часу, лічачы, што ў пачатковы момант скорасць роўна нулю.
2.	Знайсці рашэнне ўраўнення хxln2 = 2s,n‘(cos t — 1)1п 2 пры ўмове, што х абмежаваная пры t —> +<».
Праінтэграваць ураўненні:.
3.	(arcsin t + 2tx)dt + (t2 +1 + arctg x)dx = 0.
4.	x = xlnx.
5.	Праінтэграваць ураўненне, якое мае інтэгруючы множнік, што залежыць толькі ад f :	(t2 cos tх )dt + tdx = 0.
XL 1. Закон распаду радыю заключаецца ў тым, што скорасць распаду прапарцыянальная наяўнай колькасці R радыю. Знайсці залежнасць R ад t, скласці дыферэнцыяльнае ўраўненне і вызначыць каэфіцыент прапарцыянальнасці з доследных дадзеных, якія сцвярджаюць, што праз 1600 гадоў застанецца палавіна пачатковай колькасці радыю.
Рашыць дыферэнцыяльныя ўраўненні:
За Зак. 970
73
4.	(1 + t2 )x = 2tx + (l + t2 )2.
5.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення х = х txt, якое мае частковае рашэнне віду x=at+b.
XII. 1. Скласці дыферэнцыяльнае ўраўненне сямейства крывых, у якіх плошча, заключаная паміж восямі каардынат, гэтай крывой і зменнай ардынатай, прапарцыянальная чацвёртай ступені гэтай ардынаты.
Праінтэграваць ураўненні:
2. х = sin (х 1).
2t2
х3t + tx
4.	Рашыць задачу Кашы (х4 ех + 2t)x = х, х(0) = 1.
5.	Знайсці па агульнаму рашэнню крывыя, падазроныя на асаблівыя рашэнні, і праверыць, ці будуць яны асаблівымі рашэннямі: х = 4t4x 1, х = (t2 + с)2 +1.
XIII.	1. За які час вада, што запаўняе сферычную чашу дыяметрам 2 м, выцеча з яе праз круглую адтуліну дыяметрам 0,2 м, выразаную ў дне чашы, калі скорасць выцякання вады v = 0,6~^2gh (см/сек), h — вышыня слупа вады над адтулінай?
Праінтэграваць ураўненні:
2.	(х4 3t2 )dx + txdt = 0.
3.	хsin t cos t — x sin t.
4.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення пры дапамозе інтэгрую.2
чага множніка х + 2tx 2te = 0.
5.	Рашыць задачу Кашы х3 tx2 4хх + 4tx = 0, х(0) = 1.
XIV.	І.Знайсці ўраўненне крывой, якая праходзіць праз пункт
74
1,— L калі для любога адрэзка |7;q плошча крывалінейнай k 2 )
трапецыі, абмежаванай адпаведнай дугой гэтай крывой, роўна адносінам абсцысы t канцавога пункта да ардынаты.
2.	Знайсці па віду ўраўнення крывыя, падазроныя на асаблівыя рашэнні, і праверыць, ці будуць яны асаблівымі рашэннямі ўраўнення х2 — 4х = 0.
Знайсці агульны інтэграл дыферэнцыяльных ураўненняў:
3.	3t2exdt + (t3ex l)dx = 0.
4.	tx + x = x2lnt.
5.	Вызначыць від частковага рашэння ўраўнення х + х = е~( +t2 1.
XV.	1. Некаторае рэчыва ператвараецца ў іншае рэчыва са скорасцю, прапарцыянальнай масе неператворанага рэчыва. Калі маса першага ёсць 31,4 г праз адну гадзіну і 9,7 г праз тры гадзіны, то вызначыць: а) масу рэчыва ў пачатку працэсу;
б) праз колькі часу пасля пачатку працэсу застанецца толькі 1 % першапачатковай масы зыходнага рэчыва ?
2. Даказаць па віду ўраўнення, што яно не мае асаблівых рашэнняў
х = dl + x2.
Знайсці агульны інтэграл дыферэнцыяльных ураўненняў: (tx)dt + (t + x )dx
3.	2	2	~
Г +х
4. 2х(х +1) = tx2.
5. Знайсці тры першыя паслядоўныя набліжэнні задачы Кашы x = 2x2t23, х(0) = 2.
За*
75
ГЛАВА II
ЛІНЕЙНЫЯ ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕННІ
§ 1.	Агульныя ўласцівасці лінейных ураўненняў
Лінейным дыферэнцыяльным ураўненнем п га парадку называецца ўраўненне віду
«о (t)x + ^/t)x(n~,} + a 2( t)x(n~2> + ...+ а„^ (t)x + а„( t)x = f(t),(V) дзе a0(t), a/t), ...,an(t), f (t) — зададзеныя на некаторым інтэрвале (a;b) сапраўдныя функцыі.
Калі правая частка f(t) = O, то ўраўненне будзем называць аднародным.
Няхай зададзена лінейнае аднароднае ўраўненне a0(t)x(n) +al(t)x(n~l,> +... + an(t)x = 0.
Калі ao(t)^O на інтэрвале (a;b), то, падзяліўшы ўсе члены дадзенага ўраўнення на каэфіцыент a0(t), атрымаем
х(п) + Pi(t)x(n~I} + ... + pn(t)x = 0.	(2)
Задача Кашы для ўраўнення (1) фармулюецца так: знайсці рашэнне х = x(t) ураўнення (1), якое задавальняе пачатковым умовам
x(t0) = x0, x(t0) = x0 ,..., х(п~'>(t0) = х^0,	(3)
дзе х0, х0,... .х^^ зададзеныя лікі, t0&(a;b). Тэарэма існавання і адзінасці рашэння ўраўнення (1) пры ўмовах (3) фармулюецца так:
Тэарэма 1. Няхай на інтэрвале I = (а;Ь) каэфіцыенты a^t) і = 0,п і правая частка f(t) ураўнення (1) непарыўныя, прычым ао(і)*О V/е/. Тады:
1)	рашэнне задачы Кашы (1), (3) існуе на ўсім інтэрвале (а;Ь);
2)	калі два рашэнні x/t) і x2(t) ураўнення (1) задавальняюць адным і тым жа пачатковым умовам (3), to x,(t) = x2(t) Vt е (a;b).
76
Практыкаванне 1. Даказаць тэарэму 1, карыстаючыся доказам агульнай тэарэмы існавання і адзінасці рашэнняў (гл. канец § 4.3).
Заўвага 1. Рашэнне ўраўнення (2) з пачатковымі ўмовамі х(*о) = О' х(Ч) = 0, ••■> ^"^(to)® адзінае і x(t) = 0 для \/t е (а;Ь). Гэтае сцвярджэнне вынікае з тэарэмы 1.
Калі Э t0 е I такое, што a0(t0) = 0, то тэарэма 1 не мае месца. Напрыклад, задача Кашы
t2х(t) + tx(t) 4x(t) = 0, х(0) = х(0) = 0, t е I = (1,1)
мае два рашэнні x(t) = Г, t е I і x(t) = 0, t & I.
Для скарачэння запісу ўвядзём у разгляд наступны лінейны дыферэнцыяльны аператар
L(x) = x(n> + p^t)^”1* + p2(t)x(n~2) + ...+pn_t(t)x + pn(t)x.
Відавочны тры ўласцівасці аператара L(x):
1°. L(Cx) = C L(x),
2°. L(xt +х2)= L(xt) + L(x2),
3 . L(C1x] + C2x2+...+Cmxm) = CjL(xj) + ...+CmL(xm).
Тут C, С/,..., Cm адвольныя пастаянныя.
3 дапамогай уведзенага аператара неаднародныя ўраўненні будзем запісваць у выглядзе
L(x) = f(t),