КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

Усякае рашэнне x =  0, атрымліваем дыферэнцыяльнае ўраўненне, з якога можна знайсці шуканую функцыю. Значэнні пастаянных, што ўваходзяць у агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення, вызначаюцца пры дапамозе ўмоў, указаных у задачы.
Часам, карыстаючыся фізічным сэнсам вытворнай, калі неdx
залежная зменная час t, — скорасць змянення велічыні х, дыdt
ферэнцыяльнае ўраўненне можна скласці больш проста.
Прыклад 2. У паветры пакоя аб’ёмам 200 м3 змяшчаецца 0,15 % вуглякіслага газу (СО2). Вентыляцыя падае ў мінуту 20 м3 паветра, у якім змяшчаецца 0,04 % СО2. Праз які час колькасць вуглякіслага газу ў паветры пакоя паменшыцца ўтрая? (Газ, які паступае, у выніку перамешвання размяркоўваецца раўнамерна).
Рашэнне. Няхай у момант часу t у паветры пакоя змяшчаецца x(t) вуглякіслага газу. Знойдзем прырост функцыі х(/) за перы
22
яд часу At.
4	x(t) + a
Ax = 2 0 At ■ 77777 20At———, a —> 0, пры At ^0.
10000	200
Лічым, што колькасць паветра ў пакоі будзе адной і той жа сціску не адбываецца. Падзяліўшы апошняе ўраўненне на At і перайшоўшы да ліміту пры At—>0, атрымаем
і = 750^2~25х^	(6)
або
250х = 225х, dx dt ~25х^2=~250'
1	t 1
Інтэгруючы, будзем мець — Іп(25х 2) = —— + — In С,,
^ J	J
ln(25x2) = — + lnCI, 25х 2 = С/■ е 10,
х = 0,08 + Се~10 .
(7)
Формулай (7) даецца агульнае рашэнне ўраўнення (6). Карыстаючы
ся дадзенымі задачы, менавіта х(0) = 200 •
15
10000
= 0,3 (м3), зной
дзем значэнне пастаяннай С:
0,3 = 0,08+ С, С = 0,22.
Такім чынам, закон змянення СО2 у паветры пакоя ў залежнасці ад часу апісваецца формулай {t у .мін, х у№)
t
x(t) = 0,08 + 0,22e 10.
Калі Г—невядомы час, праз які колькасць вуглякіслага газу паменшыцца ўтрая, тады х(Т) = 0,1. Канчаткова атрымліваем
23
— 1
0,1 = 0,08 + 0,22е 10; — = е‘°; Т = lOlnll ^ 24мін.
Значыць, прыблізна праз 24 мін у паветры пакоя ўтрая паменшыцца першапачатковая колькасць газу СО2 .
Прыклад 3. За 30 дзён распалася 50% першапачатковай колькасці радыёактыўнага рэчыва. Праз колькі часу застанецца 1% ад першапачатковай колькасці ?
Рашэнне. Няхай у момант часу t будзе x(t) радыёактыўнага рэчыва. Згодна з законам радыёактыўнага распаду (колькасць радыёактыўнага рэчыва, што распадаецца за адзінку часу, прапарцыянальная колькасці гэтага рэчыва, якое ёсць у разглядаемы момант), dx дыферэнцыяльнае ўраўненне запішацца так: — = кх. at
Калі за першапачатковую колькасць рэчыва лічыць х0, то хо
праз 30 дзён яго стане —. Такім чынам, маем краявыя ўмовы
х(О) = хо,
х(30) =
2
. Агульнае рашэнне атрыманага ўраўнення
мае выгляд х = Се кі. Падстаўляючы краявыя ўмовы, знаходзім С і к . Пры гэтым С = х0, к Улічваючы гэтыя значэнні і патрабаванне задачы, з формулы агульнага рашэння атрымліваем In 2