КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

x(t) = C(t)eA(,).	(34')
Падстаўляючы гэтае дапускаемае рашэнне ва ўраўненне (31), атры
42
маем СеА(,) +Ca(t)eA(,) =a(t)CeA(,) +g(t) або CeA(,)=g(t).
t
Адкуль знаходзім C(t) = j e~A<,)g(t)dt x0 + ^ e~A^x^g(X)dx, дзе l0
x0 — канстанта інтэгравання. Падстаўляючы апошні выраз у (34'), атрымліваем формулу (33).
Прыклад 1. Рашыць ураўненне
х + 2tx = 2te~l .	(35)
Рашэнне. Прыменім апісаны вышэй метад варыяцыі пастаяннай. Разгледзім адпаведнае аднароднае ўраўненне x+2tx = 0. Інтэгруючы яго як ураўненне з падзяляльнымі зменнымі (або як ураўненне ў поўных дыферэнцыялах), атрымаем агульнае рашэнне х = Се~' .
Агульнае рашэнне неаднароднага ўраўнення шукаем у выглядзе
x = C(t)e~'2,	(36)
дзе C(t) — невядомая функцыя ад t.
Падстаўляючы (36) у (35), атрымліваем C(t)2t, адкуль C(t) = t2 + С,. Такім чынам, агульнае рашэнне неаднароднага ўраўнення будзе х = (t2 + C]) е~’ , дзе С, пастаянная інтэгравання.
Лінейныя ўраўненні першага парадку можна інтэграваць таксама метадам, які заключаецца ў наступным: пры дапамозе падстаноўкі х = uv, дзе u '\ v — дзве невядомыя функцыі, зыходнае ўраўненне прыводзіцца да выгляду
iiv + uv = a(t )uv + g(t) або
u(va(t)v) + iiv = g(t).
Карыстаючыся тым, што адна з невядомых функцый, напрыклад v, можа быць выбрана зусім ад.вольна (таму што толькі здабытак й ■ v павінен задавальняць зыходнаму ўраўненню), за v прыма
2а*
43
юць любое частковае рашэнне ўраўнення v a(t)v = 0 (напрыклад, v = eJ ), якое ператварае, вядома, у нуль каэфіцыент пры й у апошнім ураўненні. Тады гэтае ўраўненне прыме выгляд iiv = g(t) > \a(l)dl
або м =. Гэта значыць u = g(t)e1 , адкуль й = С +
v
+ \ё(і)е ^“^'^'dt. Агульнае рашэнне зыходнага ўраўнення
знаходзіцца множаннем м на v:
x = Ja(,)d,\jg(t)e^a(,)d,dt + C
Прыклад 2. Праінтэгруем апісаным вышэй метадам лінейнае ўраўненне
хх th t = ch't.
Дапусцім x = uv. Тады uv + vuuv th t = ch2t або
u(v v th t) + iiv = ch2t. Няхай vv th t = 0, адкуль — = th t dt. v
Праінтэграваўшы, атрымаем ln\v\ = ln\ch t\ або v = ch t. У сілу Taro, што дастаткова знайсці якоенебудзь частковае рашэнне дапаможнага ўраўнення, пастаянную інтэгравання не ўводзім.
Для вызначэння й маем ураўненне uv = ch2t або iicht = ch2t. Адкуль u = sht + C. Агульнае рашэнне зыходнага ўраўнення атрымаем множаннем w на v
х = ch t (sh t + С).
Заўвага 1. Некаторыя ўраўненні становяцца лінейнымі, калі памяняць месцамі шуканую функцыю і незалежнае зменнае. Нарdt
мальны выгляд такіх ураўненняў — a(x)t + g(x). Так, напрыкdx
dx	1
лад, ураўненне — =з’яўляецца лінейным, калі раз
dt tcosx + sin2x
44
dt
глядаць t як функцыю ад х : ~ = t cosx + sin 2х . Гэтае ўраўненне dx
рашаецца аналагічна ўраўненню (35).
dx
Заўвага 2. Для лінейнага ўраўнення — + a(t)x = g(t) або dt
[a(t )х g(t)]dt+dx = 0 выконваецца ўмова існавання інтэгруючага
dP _ dQ дх ~
множніка, які залежыць толькі ад t. Сапраўды, —= a(t) і>
\a(t)dt
значыць, (1 = е (гл. формулу (30)).
Прыклад 3. Рашыць ураўненне
2
Х— xt. t
Рашэнне. Згодна з заўвагай 2, маем:
1
V(t) = e 1	=р.
1 Памнажаючы зыходнае ўраўненне на —, прывядзём яго да віду
d ( 1	} 1
— уХ = .
dt\r	) t
Адкуль х t2\С + ln \ t \).
§ 8.	Ураўненне Бернулі
Ураўненне Бернулі мае выгляд
х = f (t)x + g(t)хп (п ^ 1, п ^ 0), дзе f (t) і g(t) — непарыўныя функцыі на некаторым інтэрвале tj  0. Гэтае рашэнне з’яўляецца частковым, калі п> 1 ,і асаблівым, калі 0 <п <1. (Вынікае з формулы агульнага рашэння ўраўнення Бернулі.)
Пры інтэграванні канкрэтных ураўненняў Бернулі іх не трэба папярэдне ператвараць у лінейныя, а адразу прымяняць да іх метады рашэння, апісаныя ў папярэднім параграфе.
Прыклад 1. Рашыць ураўненне х + ~ = t2х4.
Рашэнне. Праінтэгруем гэтае ўраўненне Бернулі метадам варыяцыі адвольнай пастаяннай. Рашэнне адпаведнага аднароднага С
ўраўнення мае выгляд х = —. Рашэнне дадзенага ўраўнення будзем
at)	at) ао
адшукваць у выглядзе х=у. Падстаноўка х і х=—у
„ „	at) at) ао	,
зыходнае ўраўненне дае —— 4—~ = t\або
C(t) [C(t)\
—— = Р—. Інтэгруючы
атрыманае ўраўненне, будзем мець
dC(t) dt
[С(і)]' ~ 1 '
з[с(>)]3
= In t + In С],
Агульнае рашэнне зыходнага ўраўнення мае выгляд

1
фп(а t)
46
й'
або u(v 2vx) = u3v3
дужках ператварыўся
Прыклад 2. Рашыць ураўненне xt3 sin х = tx 2х.
Рашэнне. Дадзенае ўраўненне з’яўляецца ўраўненнем Бернулі адносна t як функцыі х. Прыменім да яго другі метад рашэння, які заключаецца ў замене функцыі здабыткам дзвюх новых (гл. § 6). Для прыведзенага ўраўнення гэта будзе замена t = uv. Будзем мець v3 sin х = uv2iivx 2uvx	(37)
sin x + 2uvx. Выберам v так, каб выраз y dv 1 dx ў нуль: v2vx = 0, — = ——, v = x2. v 2 x
Падставіўшы v y (37), атрымаем ураўненне для знаходжання u : 		du
u3x2 sinx = 2x2it, адкуль 2—j = sinxdx або u~2 =Ccosx, u
1	lx,
u = +—f=	— .Тады t = uv = ±J—або x = Г (C cosx).
dCcosx	'iCcosx
Адзначым, што пры дзяленні зменных магло быць згублена рашэнне х = 0.
§ 9. Ураўненне Рыкаці
Ураўненне
dx
~Т + Р( 0* + q(t)x2 =f(t),	(38)
at
дзе p,q, f непарыўныя функцыі ад t пры змяненні t у інтэрвале tj < t 0,	(41)
dt
дзе a,b,Uпастаянныя.
dx 2
Пры а = 0 маем — = Ьах , і ўраўненне інтэгруецца dt
падзелам зменных.
dx 2 b	1
Пры а = 2 атрымліваем — + ах = —г . Дапускаючы х=~, dt	t	z
1	dz	a	b
дзе zновая невядомая функцыя, знаходзім _7~ + ~ = ~7, z	dt	z‘	t
dz	(
адкуль — = ao ~ . Гэтае ўраўненне аднароднае адносна t,z, dt	\t)
яно інтэгруецца ў квадратурах.
Акрамя а = 0 і a = 2, існуе яшчэ бясконцае мноства іншых значэнняў а, пры якіх ураўненне (41) інтэгруецца ў квадратурах.
Гэтыя значэнні задаюцца формулай a =
4к
2к + Г
к = +1,+2,... .
Пры ўсіх іншых значэннях a рашэнне ўраўнення Рыкаці (41) не вый ражаецца праз квадратуры. Калі ж у ім дапусціць х = —, дзе
u(t) новая невядомая функцыя, то атрымаем ураўненне другога d2u , 2
парадку ^abt й — 0. рашэнне якога можа быць выражана праз функцыі Беселя.
Больш падрабязна гл. [2], глава I, § 6, п. 3, с. 50.
§ 10. Ураўненні, не вырашаныя адносна вытворнай
Разгледзім агульны выпадак ураўнення першага парадку
49
F(t,x,x) = O,	(42)
дзе F зададзеная сапраўдная функцыя ад t,x,x. Калі ўраўненне (42) удаецца вырашыць адносна х, то атрымліваюцца ўраўненні віду x = fj(t,x), якія часам могуць быць праінтэграваны апісанымі вышэй метадамі.
Прыклад 1. Праінтэграваць ураўненне (х)2 (t + х)х + tx = 0.
Рашэнне. Вырашаючы гэтае квадратнае ўраўненне адносна х, будзем мець х = / і х = х. Інтэгруючы кожнае з атрыманых ураўненt2	~ (
няў, знаходзім х = — + С, х = Се . Абодва сямействы рашэнняў задавальняюць зыходнаму ўраўненню.
Апрача гэтага ўраўненне (42) мае свае асаблівасці. Напрыклад, ураўненне х" +1 = 0 наогул не мае сапраўдных рашэнняў. Для ўраўнення х2 = 1 рашэннямі з’яўляюцца сямействы прамых х = +t + С, так што праз кожны пункт плоскасці Otx праходзяць дзве ўзаемна перпендыкулярныя інтэгральныя лініі.
Дапусцім, што ўраўненне (42) у наваколлі пункта (t0,x0) можа быць вырашана адносна вытворнай, гэта значыць распадаецца на ўраўненні
х = fj(t,x), і = 1,т, і няхай кожнае з гэтых ураўненняў мае агульнае рашэнне
x = ^t(t,C) ,і = 1,т	(43)
або агульны інтэграл
V'(t,x,C) = 0, і = 1,т.	(44)
Сукупнасць агульных рашэнняў (43) (або агульных інтэгралаў (44)) будзем называць агульным рашэннем (агульным інтэгралам) ураўнення (42).
Аднак не заўсёды ўраўненне (42) лёгка вырашаецца адносна х, і яшчэ радзей атрыманыя пасля гэтага ўраўненні х = f,(t,x) інтэгруюцца ў квадратурах.
Разгледзім некаторыя метады інтэгравання ўраўнення (42).
50
I.	Няхай ураўненне (42) мае від
F(x) = O, прычым існуе хаця б адзін сапраўдны корань х = к гэтага ўраўнення, а калі існуюць іншыя карані, то ўсе яны ізаляваныя. У сілу таго, што гэтае ўраўненне не мае ні t, ні х, то к — пастаянная. Інтэгруючы , Х~С ўраўненне х = к, атрымліваем x = kt + C або к = ——. Але к
з’яўляецца коранем разглядаемага ўраўнення, значыць, ( хСУ
F ——j = 0 яго агульны інтэграл.
Прыклад 2.	х3+х2х + 1 = 0.
Агульны інтэграл ураўнення мае выгляд
II.	Дапусцім, што ўраўненне (42) мае від
F(x,x) = 0.	(45)
Калі гэтае ўраўненне цяжка вырашыць адносна х, то бывае мэтазгодна ўвесці параметр р і замяніць ураўненне (45) двума x = q(p), х = \Ц(р), р0 <р<р^такімі, што F($(p),y(pj) = 0, ре(р0;р,). dx ў(р)	[Ў(р) ,	„
Маем dx = xdt,dt = — = —;—dp. Адкуль t=]——dp + C. х V(p)	J ^(p)
Значыць, інтэгральныя крывыя вызначаюцца ўраўненнямі ў параметрычнай форме