• Газеты, часопісы і г.д.
    • Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

    Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні


    Памер: 436с.
    Гародня 2000
    75.93 МБ
    I
■ х 3
х =	+	’ агУльнае рашэнне якога
мае від x2t(tC)2. Дыферэнцуючы па С, знаходзім t(t С) 0. Падстаўляючы значэнне С у агульнае рашэнне, маем х2 = 0.
Пры праверцы лёгка бачыць, што х = 0 з’яўляецца рашэннем толькі пры пастаянным t — C. Атрымана не асаблівае рашэнне, a ізаляваныя вузлавыя асаблівыя пункты t = С, х = 0 пры С>0 (ураўненне ў паўплоскасці t <0 не вызначана, гл. мал. 9).
Прыклад 4. Знайсці асаблівае рашэнне ўраўнення
х2 = 4х3.
Рашэнне. Агульны інтэграл мае выгляд (t + С)2 х = 1. Дыферэнцуючы апошнюю роўнасць па С і падстаўляючы значэнне С у зыходнае ўраўненне, атрымаем, што агінальнай няма. Пры дзялен
60
ні зменных страчана рашэнне х = 0, якое не з’яўляецца асаблівым.
Прыклад 5. Разгледзім ураўненне х2 х2 = 0.
Гэтае ўраўненне мае два сямействы інтэгральных крывых х = Се', х = Се~'. 3 сістэмы
'хСе*1 =0,
е±І =0
бачым, што агінальнай няма. Страчанае рашэнне х = 0 не з’яўляецца асаблівым.
§ 12. Існаванне і адзінасць рашэння
Асноўнай тэарэмай, якая забяспечвае не толькі існаванне, але і адзінасць рашэння задачы Кашы, з’яўляецца тэарэма Пікара. Больш спрошчаная фармулёўка яе была дадзена ў § 1. Сфармулюем цяпер фундаментальную тэарэму аб існаванні і адзінасці рашэння ўраўнення х = f (t,x) з пачатковай умовай x(t0) = х0 пры агульных дастатковых умовах, што накладваюцца на функцыю f (t, х).
Тэарэма 2. Калі правая частка ўраўнення х = f (t,x),	(63)
функцыя f(t,x), непарыўная ў замкнутым абсягу D (\t 10\< a , \хx0\ 0
\f(xl)f(0\_ 2
W Д
Непасрэднай падстаноўкай у дадзенае ўраўненне правяраем, што наступныя два рашэнні задавальняюць пачатковай умове x(t0) = 0:
x2(t)^0.
Такім чынам, адной непарыўнасці правых частак разглядаемага ўраўнення недастаткова для таго, каб задача Кашы мела адзінае рашэнне.
Заўвага 2. Калі правая частка /(t,x) ураўнення (63) непарыўная ў абсягу 7?, але ўмове Ліпшыца не задавальняе, то кожная задача Кашы пры (t0,x0)^ R2 мае рашэнне (тэарэма Пеано). Доказ прыведзены, напрыклад, у [27], глава I, § 2, с. 16 20). Аднак прыведзены прыклад 4 паказвае, што ў гэтым выпадку рашэнне, наогул кажучы, не адзінае. Ёсць нават прыклады дыферэнцыяльных ураўненняў, для якіх праз кожны пункт (t0, х0)е R2 праходзіць бясконцае мноства рашэнняў (гл. [44]).
Доказ тэарэмы 2 дае і метад набліжанага знаходжання рашэння, што яшчэ больш павялічвае значэнне гэтай тэарэмы. Разгледзім метад паслядоўных набліжэнняў.
Няхай патрабуецца знайсці рашэнне ўраўнення
x = f(t,x), (64)
64
што задавальняе пачатковай умове
хЬо) = хо	(65)
Дагтусцім, што ў абсягу D ^tt0\ = ХО +]/[т,хп_/т>]л, п = 1,2,... .
'о
У якасці нулявога набліжэння x0(t) можна ўзяць любую функцыю, непарыўна дыферэнцавальную ў наваколлі пункта і = 10, У прыватнасці, x0(t) = x0 пачатковае значэнне з (65). Пры дапушчаных умовах адносна ўраўнення (64) паслядоўныя набліжэнні {хл (I)] збягаюцца да дакладнага рашэння ўраўнення (64), якое задавальняе ўмове (65) у некаторым інтэрвале |? /0| < 8 , дзе 5 = = тіп(а;—), М= max\f(t,x)\.
М	(t.x)&D
Ацэнка хібнасці, якая атрымліваецца пры замене дакладнага рашэння x(t) лнабліжэннем xn(t), даецца няроўнасцю (калі існуе непарыўная —).
дх
^ “ х«^ 77^7''8"’' ■пры I' '«Is s ■ * = s| (больш падрабязна гл. [5], глава V, § 1, с. 157).
Прымяняючы метад паслядоўных набліжэнняў, неабходна спыніцца на такім л, для якога |хх„| не перавышае дапусцімай хібнасці.
Прыклад 5. Знайсці набліжанае рашэнне ўраўнення х = t2 + х2, якое задавальняе пачатковай умове х(0) = 0 у прама
3 Зак. 970
65
вугольніку1  1 парадку ўключна, то рашэнне ўраўнення
dx
— = f(t,x),	(66)
at
якое задавальняе пачатковай умове x(t0 ) = х0, у некаторым наваколлі пункта (t0,x0) мае непарыўныя вытворныя да (к + 1)га парадку ўключна.
Гэта азначае, што чым больш гладкая правая частка ўраўнення (66), тым больш гладкае яго рашэнне.
У правыя часткі дыферэнцыяльных ураўненняў могуць уваходзіць якіянебудзь параметры, якія характарызуюць фізічную прыроду вывучаемай сістэмы (масы, зарады, пругкія характарыстыкі і г.д.), і значэнні гэтых параметраў вызначаюцца прыблізна. Так што самі дыферэнцыяльныя ўраўненні задаюцца толькі з некаторай ступенню дакладнасці. Таму, каб ураўненні маглі апісваць рэальныя працэсы, звычайна неабходна, каб іх рашэнні непарыўна залежалі ад параметраў, гэта значыць, каб яны мала змяняліся пры малых змяненнях параметраў.
Тэарэма 4. Няхай у задачы
dx
~Т = f(t.x.lL), x(t0,[L) = x0,	(67)
at
дзе fl — параметр, функцыя f(t,x,[l) вызначаная і непарыўная ў некаторым абсягу D прасторы зменных (t,x,\l) і задавальняе ўмове Ліпшыца па х: \f (t,xlt^.)f (t,x2,nf



   
    
	
    2007-2025
    
	
    Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
    або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
     пішыце ў кантакты