Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
,=^)dp+c'x=lt(p)
Прыклад 3. Праінтэграваць ураўненне 2 2
X3 +(х)3 = 1 .
Рашэнне. Дапусцім, х = cos3 р, х = sin' р, тады
51
dx 3cos2 psin p cos2 p
dt = — =]dp = 3 —2—dp .
x sin p sin p
rcos2 p
Знаходзім t = —312—dp = 3p + 3ctg p + C. Тады параметрыч
sin~ p
ныя ўраўненні шуканых інтэгральных крывых t = Зр + 3ctg р + С, х = cos3 р .
Калі ўраўненне (45) лёгка вырашаецца адносна х, то звычайна за параметр бяруць х. Сапраўды, калі х = ty(x), то дапускаючы х = р , атрымліваем х = g>(р), так што dx Ў(р) {^(р) dt = — =dp, t = Idp + C.
x p J p
Ураўненні інтэгральных крывых y параметрычнай форме маюць t^(p)
выгляд / = Idp + С, x = ty(р). Р
Вылучыўшы параметр р, калі гэта магчыма, атрымаем агульны інтэграл ураўнення (45).
Прыклад 4. Праінтэграваць ураўненне
х = х' + xJ +х + 5.
Рашэнне. Дапусцім, х р , тады х = р’+р3+р + 5, (46)
dx (5р4 +3р2 +l)dp (. 3 . 1\,
dt = — == 5р +3р + — dp,
х Р \ Р)
t = ^P4 +^Р2 +іп\р\ + С <47)
Ураўненні (46) і (47) з’яўляюцца параметрычнымі ўраўненнямі сямейства інтэгральных крывых.
Ill. Няхай ураўненне (42) мае выгляд F(t,x) = 0. (48)
52
Калі гэтае ўраўненне цяжка вырашыць адносна х, то, як і ў папярэднім выпадку, мэтазгодна ўвесці параметр р і замяніць ураўненне (48) двума: t ^(р), х = у(р), р0 < р < Р]. Тады dx = xdt = у(р^фСр)dp, х = ^\у(р)(^(р)dp + С.
Значыць, інтэгральныя крывыя ўраўнення (48) вызначаюцца ў параметрычнай форме ўраўненнямі
t = ^(p), x = \y(p)q(p)dp + C.
Калі ўраўненне (48) лёгка вырашаецца адносна t,t = у(х), то ў
якасці параметра зручна выбраць х = р. Тады dx = xdt = pq(р)dp. Адкуль х = j pty(р)dp + С.
І = У(Р)>
Прыклад 5. t\j
11
2 = х.
Л
Дапускаем х = tg р, — < Р < ^ ■ Тады t = sin р, dx = xdt = tgpcos p dp = sin p dp , x = cos p + C.
(49)
(50)
Вылучыўшы р з ураўненняў (49) і (50), атрымаем t2 +(х — с)2 1
сямейства акружнасцяў.
Прыклад 6. Праінтэграваць ураўненне t cos х = xsin х.
Дапусцім, х = р . Тады t = psin p + cos р . Прадыферэнцуем гэтую роўнасць
dt = (sin р + р cos р sin р)dp = р cos р dp
і падставім гэтае значэнне ў судачыненне dx = pdt, атрымаем dx = р2 cos р dp, гэта значыць,
х^р2 cos р dp = ( р2 2) sin р + 2р cos р + С.
Такім чынам, агульнае рашэнне ў параметрычнай форме мае від
t = psin р + cos р, х = (р2 2)sin р + 2р cos р + С.
53
IV. Ураўненнем Лагранжа называецца дыферэнцыяльнае ўраўненне віду
х = / cp, ф(х) ^ х, (51)
лінейнае адносна / і х. Тут ф і ф вядомыя функцыі ад х.
dx
Увёўшы параметр = Р> атрымаем
x = t Ц(р) + У(р), (52)
судачыненне, якое звязвае зменныя /, х і параметр р.
Каб атрымаць другое судачыненне, неабходнае для вызначэння / і х як функцый параметра р, прадыферэнцуем (52) па t
dp . dp
P = q(p) + tq(p)~ + y(p)—. dt dt
Адкуль
P^(P) = [t^(p) + W(P)]~ (53)
або
[p^(p)]^^t^(p) + \\f(p). (54)
dt
Ураўненне (54) лінейнае адносна t і —. Атрымаўшы яго агульнае dp
рашэнне, напрыклад, метадам варыяцыі адвольнай пастаяннай і далучыўшы да яго ўраўненне (52), атрымаем ураўненні, якія вызначаюць шуканыя інтэгральныя крывыя. Пры пераходзе ад ураўнення
dp
(53) да (54) дзялілі на —. Тут маглі страціць рашэнні, для якіх р dt
dp
пастаянная, а значыць — = 0. Ураўненне (53) задавальняецца пры dt
пастаянным р толькі ў тым выпадку, калі р з’яўляецца коранем ураўнення р ty(р) = 0 . Такім чынам, калі ўраўненне pq(p)—0 мае сапраўдныя карані р р,, то да знойдзеных рашэнняў ураў
54
нення (51) далучаюцца яшчэ рашэнні х = tty(р, ) + у(р,) гэта прамыя лініі.
Прыклад 7. Праінтэграваць ураўненне х = tx2 + х2.
Рашэнне. Гэта ўраўненне Лагранжа. Дапусцім, х = р, тады х = tp2 + р2. Прадыферэнцуем апошнюю роўнасць dx = p2dt + + 2ptdp + 2pdp. Зрабіўшы замену dx = pdt, прыходзім да ўраўнення pdt = p2dt + 2ptdp +2pdp . Адсюль, скараціўшы на р, атрымліваем ураўненне з падзяляльнымі зменнымі (lp)dt = dt 2dp
= 2(t +1 )dp або ■ j. Інтэгруючы яго, знаходзім ln\t +1\ = 2 ln\l p\ + ln\C\', t +1 —yv • Выкарыстоўваючы
2 > CP2
дадзенае ўраўненне x=p (t+1), атрымаем x =т. Пра(^~P)
ведзенае скарачэнне на p магло прывесці да страты рашэння. Дапускаючы р = 0, знаходзім з дадзенага ўраўнення х = 0, гэта
, С асаблівае рашэнне (гл. § 11). У агульным рашэнні t +1 =у,
х = Ср2 (1 р) 2 можна вылучыць параметр р і прывесці яго да віду (4х + Jt +1 )2 = С.
V. Ураўненнем Клеро называецца дыферэнцыяльнае ўраўненне віду
х = tx + \\f(x). (55)
Дапускаючы х = р, атрымаем з (55) х = tp + \ц(р). Дыферэнцую
чы па t, маем р — p + t
Л+^Л аб° І/ + ^Й = О'АДdt dt dt
dp i л
куль або — = 0 i, значыць, p = C, або t + ў(p) = 0. У першым dt
выпадку, вылучыўшы p, знойдзем сямейства прамых x=Ct+\\(C)
55
агульнае рашэнне ўраўнення Клеро. Яно знаходзіцца без квадратур і ўяўляе сабой аднапараметрычнае сямейства прамых.
У другім выпадку рашэнне вызначаецца з ураўненняў х = tp + y(p), t\f(p). Гэтае рашэнне будзе, вядома, асаблівым, калі функцыя у(р) двойчы непарыўна дыферэнцавальная і \ў(р) не змяняе знака (больш падрабязна гл. [3], глава П, § 3, п. 78, с. 138).
Прыклад 8. Рашыць ураўненне х2 tx + х = 0 .
Рашэнне. Гэта ўраўненне Клеро (хоць яго можна разглядаць і як квадратнае ўраўненне адносна
Мал. 8
х = Ct С2 (мал. 8).
х). Агульным рашэннем гэтага ўраўнення будзе х — Ct С‘ . Увядзём параметр х = р. Атрымаем
р2 tp + x = 0.
Дыферэнцуючы па t, маем t 2р = 0. Вылучыўшы параметр t2
р, знаходзім х = — асаблівае 4
рашэнне зыходнага ўраўнення;
t2
х = — — агінальная прамых
4
§ 11. Асаблівыя рашэнні ўраўненняў, не вырашаных адносна вытворнай
Вырашаючы ўраўненне
F(t,x,x) = 0 (56)
адносна х, як правіла, атрымліваем не адно, а некалькі сапраўдных значэнняў
56
x = fi(t,x), i = l,m. (57)
Калі кожнае з ураўненняў (57) у наваколлі пункта (t0,x0) задавальняе ўмовам тэарэмы існавання і адзінасці (тэарэма 1.1.), то для кожнага з гэтых ураўненняў знойдзецца адзінае рашэнне, якое будзе задавальняць умове x(t0) = х0. Таму ўласцівасць адзінасці рашэння ўраўнення (56), якое задавальняе ўмове x(tu)x0, звычайна разумеецца ў тым сэнсе, што праз дадзены пункт (t0,x0) па дадзенаму напрамку праходзіць не больш як адна інтэгральная крывая ўраўнення (56). Напрыклад, для рашэнняў ураўнення х2 1 = 0 умова адзінасці выканана ўсюды, таму што праз кожны пункт (t0,x0) праходзяць дзве інтэгральныя крывыя, але па розных напрамках. Сапраўды,
х = +1, х = t + С, х = t + С.
Для ўраўнення х2 tx + x = 0 (гл. прыклад 10.8) у пунктах
крывой х = — уласцівасць адзінасці парушаецца, таму што праз 4
кожны яе пункт у тым жа напрамку праходзіць яшчэ адна інтэгральная прамая (мал. 8). Мноства пунктаў (t,x),y якіх парушаецца адзінасць рашэнняў ураўнення (56), называецца асаблівым мноствам.
Асаблівым рашэннем дыферэнцыяльнага ўраўнення (56) будзем называць такое рашэнне х = \y(t), якое ва ўсіх сваіх пунктах не задавальняе ўласцівасці адзінасці, гэта значыць, што праз кожны яго пункт, акрамя гэтага рашэння, праходзіць і іншае рашэнне, якое мае ў гэтым пункце тую ж датычную, што і рашэнне x = xy(t), але не супадае з ім у як патрэбна малым наваколлі гэтага пункта (гл. [2], глава III, § 4, с. 114).
Існуе два спосабы знаходжання асаблівых рашэнняў ураўнення (56).
I. Знаходжанне асаблівага рашэння пры дапамозе дыскрымінантнай крывой:
а) складаем ураўненне
57
dF(t,x,x) dx
= 0;
(58)
б) вылучаем x з ураўненняў (56) i (58), атрымліваем ураўненне Ф(t,x) = 0, якое вызначае так званую дыскрымінантную крывую;
в) правяраем, ці з’яўляецца якаянебудзь галіна дыскрымінантнай крывой рашэннем ураўнення (56);
г) калі з’яўляецца рашэннем (56), правяраем, ці будзе гэтае рашэнне асаблівым, гэта значыць, ці датыкаюцца да яго ў кожным пункце іншыя рашэнні. Для гэтага можна выкарыстаць умову дотыку крывых х = x,(t) і х = x2(t) у пункце з абсцысай t0:
\xl(t0) = x2(t0), ix/to^X/tg).
Прыклад 1. Знайсці асаблівыя рашэнні ўраўнення х2 +х2 1 = 0.
Рашэнне. Вылучыўшы х з абодвух ураўненняў, атрымаем х2 = 1 або х = ±1 (гл. пункты а, б). Лёгка пераканацца, што абедзве гэтыя функцыі задавальняюць зададзенаму ўраўненню, гэта значыць, яны рашэнні.
Выявім, ці з’яўляюцца яны асаблівымі. Вырашыўшы зыходнае ўраўненне адносна х, знойдзем агульны інтэграл
t = + arcsin х + С або х = sin(t С).
Складзём сістэму (59) для адной прамой, напрыклад, х = 1.
Атрымаем
1 = sin(t0 С),
0 = cos(t0 С).
3 сістэмы вынікае, што t0 С = — + 2пк або С = t0
2лА:. Гэ2
та значыць, пры кожным t0 рашэнне х = 1 у пункце з абсцысай t0 датыкаецца адной з крывых сямейства х = sin(t С), менавіта той
58
крывой, для якой С = t0 —~,
таму ў кожным пункце прамой пару
шаецца адзінасць. Значыць, х = 1 ёсць асаблівае рашэнне. Аналагічна можна паказаць, што і х = —7 з’яўляецца асаблівым рашэннем дадзенага ўраўнення.
II. Другі метад знаходжання асаблівых рашэнняў патрабуе ведання агульнага інтэграла дыферэнцыяльнага ўраўнення (56) і заключаецца ў наступным:
а) няхай агульны інтэграл ураўнення (56) мае выгляд ®(t,x,C) = 0. (60)
Дыферэнцуем (60) па параметру С:
= 0 ■ (61)
ЭС
б) з ураўненняў (60) і (61), вылучыўшы С, атрымліваем суда
чыненне
(p(t,x) = O, (62)
в) правяраем, ці з’яўляецца атрыманая крывая (62) або яе частка агінальнай, гэта значыць, ці датыкаюцца да яе ў кожным пункце крывыя сямейства (праверку можна правесці метадам, апісаным у пункце г) спосабу I).
Прыклад 2. Разгледзім ураўненне
x2[(tx)2 l]2x + [(tx)2 1] = 0.
Рашэнне. Вырашыўшы яго адносна х як квадратнае, знаходзім агульнае рашэнне (tC)2+(xC)2 = 1. Дыферэнцуючы
t+x
апошнюю роўнасць па С, атрымаем іС + хС = 0 або С=~—
Падставіўшы ў агульнае рашэнне, знаходзім (t х)2 =2.
Пакажам, што атрыманыя дзве прамыя х = t + >[2 з’яўляюцца агінальнымі. Падстаўляючы непасрэдна ў зыходнае ўраўненне, пераконваемся, што гэта рашэнне. Запішам умовы дотыку дзвюх крывых у пункце з абсцысай t0, гэта значыць сістэму (59):
59
t0+42= ±^l(t0C)2 + C,
< (~2)(t0 C)
2 Ji(t0C)2'
Роўнасці будуць выкананы пры С = t0 + , гэта значыць, пры кожным t0 рашэнне (t — х)2 =2 у пункце з абсцысай t0 датыкаец ца адной з крывых сямейства (t — C)2 +(х — С)2 — 1, менавіта той
1
крывой, для якой С = t0 + —т=.
Мал. 9
Прыклад 3. Знайсці ўсе рашэнні ўраўнення (2xt х)2 = 4t3.
Рашэнне. Вырашаючы адносна х, атрымаем лінейнае ўраўненне
КНІГІ ОНЛАЙН
