Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
Практыкаванне 1. Праверыць прынцып суперпазіцыі. Няхай к
маем ураўненне L(x) = f(t), дзе f (t) = ^fi(t). Даказаць, што
к
рашэнне гэтага ўраўнення запішацца x(t) = ^x'(t), дзе x‘(t)~ il
рашэнне ўраўнення Lfx) = f^t).
Апішам спосаб рашэння неаднароднага ўраўнення, які належыць Лагранжу і называецца метадам варыяцыі адвольных пастаянных.
Дапусцім, што хІ,х2,...,хп — фундаментальная сістэма рашэнняў аднароднага ўраўнення (2), тады агульнае рашэнне гэтага ўраўнення мае выгляд
86
х° =СІх1+...+Спхп, (12)
дзе С],...,Сп адвольныя пастаянныя.
Рашэнне ўраўнення (11) будзем адшукваць у выглядзе (12), лічачы, што СІ,С2,...,Сп з’яўляюцца ўжо не пастаяннымі, а функцыямі ад t, гэта значыць у выглядзе п
x = Cl(t)xI+...+Cn(t)xn =^Cj(t)xn(t), (13)
і=1
дзе Cj(t) гладкія функцыі, і — 1,п.
Такім чынам, атрымана п новых невядомых функцый. Для іх вызначэння патрэбна мець п ураўненняў адно з іх атрымаецца з умовы, што выраз (13) задавальняе (11), астатнія п1 ураўненняў можна задаваць адвольна, у прыватнасці, так, каб вытворныя функцыі (13) мелі па магчымасці той жа выгляд, які яны маюць пры пастаянных С(. Дыферэнцуючы (13), маем
* = tSi(t)*i(t)+tSi('^(t)і=і і=і
Каб выканалася ўстаноўленая ўмова, дапусцім п
Yci(t)xi(t) = O. (14)
І=1
Тады
^Yc.ftjx^t). (15)
І=1
Дыферэнцуючы (15) і выконваючы адзначаныя вышэй умовы, атрымаем
п
^Ci(t)xi(t) = 0 (16)
і=1
і г.д. Аб’яднаем умовы (14), (16) і г.д. і выкарыстаем, што выраз (13) ёсць рашэнне (11). Тады ўраўненні для знаходжання п невядомых C](t),..., Cn(t) будуць мець выгляд
87
Crftrf’ +C2(t)x,j\..+C„(t)x<‘> =0. 1 = 0,n2.
^(Ох'Г" + C2(t)x'r'>+...+C,(l)xt,"‘) = f(D
(Пад вытворнай нулявога парадку разумеем саму функцыю.) 3за таго, што Хі,...,хп — фундаментальная сістэма рашэнняў аднароднага ўраўнення (2), дэтэрмінант атрыманай лінейнай аднароднай алгебраічнай сістэмы, вранскіян w[xj,...,хп], не роўны нулю. Таму гэта сістэма мае адзінае рашэнне С( (t),i = 1,п.
1 Прыклад 1. Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення х+х =,
cos t калі фундаментальная сістэма рашэнняў адпаведнага аднароднага ўраўнення мае від X; = 1, х2 = cos t, х3 = sin t.
Рашэнне. Агульнае рашэнне зыходнага ўраўнення будзем адшукваць у выглядзе
x(t)= C/(t) + C2(t)cos t + C3(t)sin t, дзе Cj(t),C2(t),C3(t) вызначаюццасістэмай
Ct(t) + C2(t)cos t + C3(t)sin t = 0, • C2(t)sin t + C3(t)cos t = 0,
C2(t)cos t C3(t)sin t = ——. cos t
Вырашыўшы сістэму, атрымаем
CI(t) = ^—,C2(t) = 1, Сз(*) = ~і§і. адкуль cos t
Cj(t) = In
1 + sin t
cos t
+ C],
C2(t) = t + C2, C3(t) = ln\cos t\ + C3.
Агульнае рашэнне зыходнага ўраўнення мае выгляд
х = С/ + С2 cos t + С3 sin t + In
1 + sin t cos t
1 cos t + sin t ■ In \cos t\
88
Заўвага 1. Для ўраўнення другога парадку х + Pi(t)x + p2(t)x = f(t) сістэма для знаходжання C](t) і C2(t) мае від
C] (t)xi (t) + C2(t)x2 (t) = 0,
C](t)x](t) + C2(t)x2(t) = f(t).
Вырашаючы яе па формулах Крамера (гл. [12], п. 4.7, с. 63), маем
C](t) =
о X2(t) Xj(t) x2(t) f(t) x2(i) X^t) x2(t)
^ f(t)X2(t)
c2(t) = 4 + aix'”"1 >+...+апх = 0, (21)
дзе ўсе каэфіцыенты аі,а2,..., ап пастаянныя сапраўдныя лікі.
У сілу агульных уласцівасцяў лінейных ураўненняў, дастаткова знайсці п частковых рашэнняў разглядаемага ўраўнення, якія ўтвараюць фундаментальную сістэму. Будзем адшукваць гэтыя частковыя рашэнні ў выглядзе (гл. папярэдні параграф)
х = ех'. (22)
Падстаўляючы функцыю (22) і яе вытворныя ва ўраўненне (21) пасля скарачэння на множнік е''1, атрымаем
93
X" + ajX” i +...+an_/X + an = 0. (23)
Паліном LCK) = X" + a/V1+...+a„ называюць характарыстычным паліномам, што адпавядае дыферэнцыяльнаму аператару L(x).
Такім чынам, функцыя (22) будзе задавальняць ураўненню (21), калі лік X будзе задавальняць ураўненню (23) характарыстычнаму ўраўненню для лінейнага аднароднага ўраўнення (21).
Будзем разглядаць наступныя выпадкі:
1°. Характарыстычнае ўраўненне (23) мае розныя сапраўдныя карані Х;, \2,..., Х„.
Згодна з (22) гэтым караням будуць адпавядаць рашэнні х, = e*1',х2 = e^2’,, хп = е^п‘.
Склаўшы дэтэрмінант Вронскага з гэтых функцый, лёгка праверыць, што яны лінейна незалежныя (гл. § 2). Значыць, згодна з тэарэмай 2, агульнае рашэнне ў гэтым выпадку мае выгляд
х = С^'1 + С^2' +..^Cnek"t, дзе СІ,С2,...,Сп адвольныя пастаянныя.
Практыкаванне 1. Няхай Х/,Х2,...,ХП папарна розныя ў агульным выпадку камплексныя лікі. Паказаць, што функцыі хІ = е'4', х2 = е^2',..., хп = е^"' будуць лінейна незалежнымі.
2°. Няхай сярод розных каранёў ураўнення (23) ёсць камплексны корань X = a + zp, Р ^ 0. Паколькі каэфіцыенты ўраўнення (23) сапраўдныя, то спалучаны камплексны лік X = a — ф таксама будзе яго коранем (гл. [14], глава I, § 2, с. 18).
Кораню X = a + z'P будзе адпавядаць рашэнне х = e^'^1, або з улікам формулы Эйлера (гл. заўвагу 4.1)
х = eal (cos Pl + і sin Р^ = еаі cos Р? + ieal sin Pt Аналагічна для X = a ф маем рашэнне
х = еа' cos pl іеш sin Pt
94
Карыстаючыся ўласцівасцю 5° з § 2, адзначаем, што рашэннямі ўраўнення (21) будуць сапраўдныя функцыі
X/ = eal cos fit , х2 = eal sin fit, якія з’яўляюцца лінейна незалежнымі. Такім чынам, пары камплексна спалучаных каранёў X/ 2 = a + ifi адпавядае пара сапраўдных
рашэнняў.
3°. Няхай цяпер X корань ураўнення (23) кратнасці к. Пакажам, што гэтаму кораню будзе адпавядаць к лінейна незалежных рашэнняў е^ ,tekl,... .t^e^' ураўнення (21). Функцыю (22) будзем разглядаць як функцыю двух аргументаў t і X. Яна мае непарыўныя
КНІГІ ОНЛАЙН
