КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

дт
вытворныя па/ik усіх парадкаў, прычым ~Z^;(ehJt1”^1 ■ Таму частковыя вытворныя функцыі (22) па 1 і па X не залежаць ад парадку дыферэнцавання, так што
L
дтх
дт
Карыстаючыся гэтай перастановачнасцю, формулай Лейбніца п
(uv/n) =u(n)v + CInu(n1)v'+...+uv(n) = ^Скй(п~к)у(к> ,
к=0
дзе Ск бінаміяльныя каэфіцыенты (гл. [15], § 10, п. 10.2, с. 267), і роўнасцю Це^1) = е^’LCk), будзем мець
Ціте^) = tmebL(\) + CTt^e^L'^) + C2tm~2 е* L"(k)+...+
(24)
+ e^I^m)a),
дзе L(\), L'(K),...,L(m)(h) адпаведныя вытворныя L(\).
У сілу таго, што X корань кратнасці к, то, як вядома з алгебры (гл. тэарэму 4.2 з [17], с. 20), маем
L(k)= L'(X)=...= ІЎ^Ск) = 0.
95
Значыць, правая частка роўнасці (24) ператвараецца ў нуль пры m = 0,k1, а гэта значыць L(tmeXl) = 0 пры т = 0,к 1. Сапраўды, функцыі te^1, t2екІ,..., tk~]еК' з’яўляюцца рашэннямі L(x) = 0. Лёгка паказаць, што сістэма гэтых функцый лінейна незалежная (доказ гл., напрыклад, [16], глава IV, § 1, с. 232),
Практыкаванне 2. Паказаць, што сістэма функцый е^’, te^', .2	.к1 kt • 
t е ,...,t е ліненна незалежная.
Практыкаванне 3. Няхай X ],...,'кк папарна розныя камплексныя лікі , P/tj.i^ 1,к паліномы зменнай t. Паказаць, што функцыі х, = P](t)eX,t,..., хк = Pk(t)e^*' будуць лінейна незалежнымі.
Абагульняючы сказанае вышэй, прывядзём схему рашэння ўраўнення (21).
1.	Складаем характарыстычнае ўраўненне (23).
2.	Знаходзім карані 'кІ,‘к2,...,Хп ураўнення (23).
3.	Па характару каранёў ураўнення (23) выпісваем частковыя лінейна незалежныя рашэнні ўраўнення (21), кіруючыся тым, што
а)	кожнаму сапраўднаму аднакратнаму кораню X характарыстычнага ўраўнення (23) адпавядае частковае рашэнне ем ураўнення (21); б) кожнай пары аднакратных камплексна спалучаных каранёў ^1,2 ~а^ адпавядаюць два лінейна незалежныя рашэнні eal cos Pl і eal sin pl;
в)	кожнаму сапраўднаму кораню X кратнасці к адпавядае к лінейна незалежных частковых рашэнняў: е^’, te^1,..., tk~Iе^1;
г)	кожнай камплексна спалучанай пары каранёў \/2 = а±/Р кратнасці г адпавядае 2г частковых рашэнняў ураўнення (21): eal cosfy, teal cosfy,..., tr~'ea' cos$t, eal sinfit, teal sin (it,..., p'e^ sin ₽f
96
4.	Маючы п лінейна незалежных частковых рашэнняў Xj(t), x2(t), ...,xn(t) ураўнення (21), атрымліваем агульнае рашэнне гэтага ўраўнення
* = С,Х! (t) + С2х2 (t)+.. .+Спхп (I), дзе С/, С2, ...,Сп адвольныя пастаянныя.
Прыклад 1. Знайсці агульныя рашэнні ўраўненняў а.) 'х5х + 6х = 0,	б) х/у + 2х + х = 0, в) х' + 2х = 0,
г)	хУІ + 2хц +х = 0,	д) х11 4х + 8х11 8х + 4х = 0.
Рашэнне. а) Запісваем адпаведнае характарыстычнае ўраўненне V 5)^ + 6^ = 0. Гэтае ўраўненне мае розныя сапраўдныя KapaHi X/ = 0,)^ = 2, Х3 = 3, таму сукупнасць функцый х, = 1, х2= е2‘, х3 = е3' будзе яго фундаментальнай сістэмай рашэнняў, a
х = С,+ С2е2' + С3е3‘ з’яўляецца агульным рашэннем зыходнага ўраўнення. б) Карані характарыстычнага ўраўнення Х4 +2Х3 +Х2 =0 наступныя: X] 2 = 0,~к3 4 = 1. Яны сапраўдныя, двухкратныя, таму агульнае рашэнне гэтага ўраўнення
х — C] + C2t + (С3 + C4t )е 1.
в)	Карані характарыстычнага ўраўнення У^ + 2 — 0 знаходзім па формуле (гл. [14], глава I, § 1, с. 17)
іп + 2пк it + 2nk\ А. = \2 = 2(cos 11 +іsin it) = \2\cos— + isinI,
дзе к = 0,4. Будзем мець:
\I=yl2(cos— + isin—) (к=0),
.	Зп 3it
К2 =\2(cos— + isin—) (к = 1),
к,3 = V2(cosit+ і sinn) =^2 (к = 2),
4 Зак. 970
97
Зп
Зп
'cos— і sin —) (к = 3),
Т.5 =5j2(cos—isin—) (к = 4).
Фундаментальную сістэму рашэнняў ствараюць функцыі е~^1,
1/31 cos —	, i— Л	1/21 cos —	, і—	7t
e 5cos(yl2sin—)t, e 5 sin(\2 sin—)t,
1/3'cos ~	ЗК 1/3 i cos?? .r	311
e 3 cos(\2sin—)t, e 5 sin(^2sin—)t.
Таму агульнае рашэнне мае выгляд
, 1/3'	’^tcos^[	71	7Г
іе +е 5 C2cos(yl2sin—)t + C3sin(y/2sin—)t +
'cos—	,і—	Зті	— Зті
5 C4cos(\2sin—)t + C3sin(\2sin—)t .
г)	Характарыстычнае ўраўненне 7? +27? +7? =0, або 7? (7? +1)2 =0 мае карані Т.12 = 0,\34 = і,Т,56 = —і. Таму агульнае рашэнне запісваецца ў выглядзе
x = Cj+C2t + (C3+C4 t)cos t + (CS +С6 t )sin t.
д)	Складаем характарыстычнае ўраўненне 7? 47? + 87? — 87? + + 47." = 0 і знаходзім яго карані.
Маем
7: (7? 47? +87?87. +4) = 0,
7? (7? + 47?+ 447? +47? 87.) = 0, 7?(7?2Т. + 2)2 =0.
Адкуль 7.] =Т.2 =0,Т.34 = 1+і,7.56 = 1і. Агульнае рашэнне запішацца так:
98
x = C/+C2t+e'[(C3+C4 t)cos t + (C5 +C6t)sin /].
§ 6.	Лінейныя неаднародныя ўраўненні з пастаяннымі каэфіцыентамі
Разгледзім лінейнае неаднароднае ўраўненне п га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі
х^п) +alxfn~I) +a2xfn2)+...+an_]X + anx = f(t).	(25)
Згодна з тэарэмай 3 (гл. § 3) агульнае рашэнне такога ўраўнення вызначаецца формулай х = х* +С1хІ+С2х2+...+Спхп, дзе х* — частковае рашэнне (25), х],...,хп — фундаментальная сістэма рашэнняў адпаведнага аднароднага ўраўнення (21).Частковае рашэнне ўраўнення (25) можна знаходзіць метадам варыяцыі адвольных пастаянных (гл. § 3).
У прасцейшых выпадках, калі правая частка (25) мае спецыяльны від, частковыя рашэнні знаходзяць метадам нявызначаных каэфіцыентаў (метадам падбору). Разгледзім такія выпадкі.
1°. Няхай правая частка ўраўнення (25) з’яўляецца найпрасцейшым квазіпаліномам, гэта значыць
f(t) = Pl(t)eat = (Aot‘ + A^'+.^+A^t + А^е^ .	(26)
Будзем адшукваць частковае рашэнне х* ураўнення (25) у выглядзе, падобным да яго правай часткі (26), гэта значыць будзем меркаваць (гл. § 4)
х* = eal Qi(t) = eal (Bot' + В/1 +...+3^ + В,), дзе Вп,В]....,В/ — пакуль невядомыя пастаянныя.
Падставім х* ва ўраўненне (25) з правай часткай (26). Прымяніўшы формулу Лейбніца (гл. § 5), атрымаем
L(x* ) = L(Bot‘ea' +B]t'Iea,+..+Bl_Itea' +3^' )= Во^
+ BjLft1^' ^..^B^LOe*' J+BtLfe™ ^
4*
99
I	ll
= B0 eal ^C^L(m)(a)tlm +В, е“' ^c^_lL(m)(a)tl1m+...+ т=0	т=0
1
+ B,_j «" ^C^L^^a)!1"” + Bl ea,L(a) = еш(Aot' + A,tl~'+...+ т=0
+ A^t + А/), дзе С™ бінаміяльныя каэфіцыенты, і = 1,1.
Параўноўваючы ў абедзвюх частках атрыманай пасля скарачэння на еш роўнасці каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях t, атрымаем сістэму для адшуквання каэфіцыентаў В0,ВІг...,Ві.
В0^(^) = ^О'
В0СІ L'(a)+ B^fa) = A],
■ В0С? L^a) + BlC,l_lL'(a) + B2L(a) = А2,
Во L(l) (а) + В, L(l~1} fa)+.. ,+В^ L'(a)+B,L(a) = Аг
3 гэтай сістэмы знойдуцца ўсе каэфіцыенты В0,В],...,В/ і пры гэтым адзіным чынам толькі ў выпадку, калі L(a)^ 0, гэта значыць, што калі a не з’яўляецца коранем характарыстычнага ўраўнення L(\) — 0.
У тым выпадку, калі a корань кратнасці к характарыстычнага ўраўнення L(k) = 0, частковае рашэнне ўраўнення (25) адшукваецца ў выглядзе
х = t^еш(Bq^ + B/t^ і+...+Bi_]t + В/).
Сапраўды, падставіўшы такое х* у (25), аналагічна атрымаем
м	І+к1
во ^С"к L(m)(a)tMm +В, ^L(m)(a)tl+k,m +•••+ т=0	т=0
к+1	к
+ віі Yck+i L(а)+вІс,м_Іі‘і,(а) = А„
BtL",(a) + BkL"'l(a)+...+BlLa>(a) = A,.
2°. Прыведзеныя вышэй разважанні будуць справядлівымі і пры камплексным а. Дапусцім, што правая частка ўраўнення (25)
мае выгляд
f(t) = еш [P,(t)cos fit + Qm(t)sin fit],	(27)
дзе P/(t) i Qm(t) паліномы ступеняў / i m адпаведна.
Падстаўляючы ў (27) па формулах Эйлера, е'Р'+е'Р'	е'Р'е^Р'
, sin fit =;, атрымаем
cos fit
e'Pe g'P'
2i
і$е i^t
f(D = ea,Pl (t)+ eal Qm (t)
^P/df + ^QJ') e1^"
2р,(і)^е.(і)
e(^>^p
У квадратных дужках стаяць паліномы, якія маюць ступень, роўную найбольшай ступені паліномаў Pi(t) І Qm(t), s = max(l,m).
Абазначыўшы гэтыя паліномы Ms(t) і Ns(t), атрымаем у правай
частцы ўраўнення (25) выраз
M/t)^^' +.N/t)e(^
Для кожнага складніка можна прымяніць прыведзеныя вышэй правілы.
Аб’ядноўваючы ўсе вынікі гэтага параграфа, складзём табліцу частковых рашэнняў для розных відаў правай часткі ўраўнення (25).
101
№№	fft.)	Карані характарыстычнага ўраўнення	Віды частковага рашэння
1°.	W)	а)лікОне корань	Q,(t)
		б) лік 0корань кратнасці к	і^Ч)
2°.	P^e™	а) лік a не корань	Q/(t) ^
		б) лік акорань кратнасці к	^(t) е"
3°.	P[(t)cos pl + + Qm(t)sin pl	а) лікі + z‘P не карані	Ms(t)cos pl + + Ns(t)sin р/
		б) лікі ± г’Р карані кратнасці к	tk [Ms(t)cos Р/ + + Ns(t)sin pl); s = max(l,m)
4°.	eaj\Pl(t)cos Pl + + Qm(t)sin ₽d	а)лікі а + гр не карані	^Ms(t)cos pl + + Ns(t)sin Pl)e“
		б) лікі a ±ф карані кратнасці к	tk^Ms(t)cos Pl + + Ns(t)sin Pl)e°“; s = max(l,m).
Выпадкі 1° 3° можна разглядаць як частковыя выпадку 4°.
Прыклад 1. Рашыць ураўненні
а)	х + Зх + 2х = 2 cos 3t + 4 sin 3t.
б)	x + J0x + 25x = 4e~5'.
в)	x +x = t4.
102
г)	х + х = t sin t.
д)	xIV х = еш + е~ш + cos ^t.
Рашэнні.
a)	Карані характарыстычнага ўраўнення %/ = 2, \2=—1. Агульнае рашэнне аднароднага ўраўнення х0 = С^2' + С2е~'. Лік а±ф = = +3і не з’яўляецца коранем характарыстычнага ўраўнення (выпадак 3° а)), таму х’ = Acos 3t + Вsin 3t. Прадыферэнцуем х’двойчы і, падставіўшы выразы для х*, х*, х* у зыходнае ўраўненне, атрымаем (9A7В)sin 3t + (9B7A)cos 3t = 2cos 3t + 4sin 3t. Параўнаўшы адпаведныя каэфіцыенты пры cos 3t і sin 3t злева i
5	1
справа , знойдзем Л = —— ,5 = —. ^ады
5	1
х = С]в + С2е —cos 3t —sin ^
б)	Характарыстычнае ўраўненне X* + 10^ + 25 — 0 мае двухкратны корань X, = Х2 = 5, таму агульнае рашэнне аднароднага ўраўнення х0 = (С/ + С21)е~5‘. У сілу таго, што а = 5 з’яўляецца коранем характарыстычнага ўраўнення кратнасці к=2, паліном P/(t) мае нулявую ступень (гл. выпадак 2° б)), частковае рашэнне х* адшукваем у выглядзе х*=А12е~5'. Падстаўляючы х*, х* = А(21 5t2)е~5' і х* = А(2 — 20t + 25t2)е~5' у зыходнае ўраўненне, атрымліваем 2Ае~5'=4е^', адкуль A = 2. Агульнае рашэнне дадзенага ўраўнення
X(t) = (С,+ C2t)е~5' + 2t2e~5‘.
в)	Правая частка ўраўнення мае выгляд 1°. Характарыстычнае ўраўненне "kf^ + 1) = 0 мае карані X/ 0,Х23 =+і, таму х0 =Cj + + С2 cos t + С3 sin t. Лік a = 0 з’яўляецца простым коранем xaрактарыстычнага ўраўнення (выпадак 1°, б)). Частковае рашэнне
103
адшукваем у выглядзе х* = t(At4 + Bt3 + Ct2 + Dt + E). Падстаўляючы x*, x* = 5At4+4Bt3 + 3Ct2 + 2Dt +E, x*=60At2 + + 24Bt + 6C y зададзенае ўраўненне, атрымаем
5 At4 + 4Bt3 + (60 A + 3C)t2 + (24B + 2D)t + 6C + E = t4.
1
Адсюль A = ~,B = O,C = 4, D = 0, E = 24. Такім чынам,