КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

^2=t2
маем няхісткія рашэнні X] t2 1	
калі а2 = ~, тады Xi = t2 , х2 = t2 In t.
a2
4	. Такія ж яны і
Параўноўваючы з разгледжаным ураўненнем Эйлера ўраўненне х + Q(t)x = 0, можна сцвярджаць: калі, пачынаючы з некато1
para I, пастаянна маем 0 т0 рашэнне ўраўнення
111
х + Q(t)x = 0 не можа мець бясконцага ліку нулёў; калі, пачынаючы
з некаторага значэння t, маем Q(t)>
1
4t2’
рашэнне ўраўнення
х + Q(t)x = 0 мае незлічонае мноства нулёў. Гэтае сцвярджэнне не вырашае пытання аб ваганнях, калі Q(t) пры вялікіх значэннях t то
1
больш, то менш за —т. 4t2
Разгледжаныя прыклады паказваюць, што вывучэнне вагальнага характару рашэнняў аднароднага лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўнення другога парадку нават без ведання аналітычнай структуры рашэнняў дае некаторае ўяўленне аб паводзінах гэтых рашэнняў.
§ 9.	Інтэграванне лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў пры дапамозе радоў
У некаторых выпадках, калі інтэграванне дыферэнцыяльнага ўраўнення ў элементарных функцыях немагчыма, рашэнне такога ўраўнення адшукваюць у выглядзе ступеннага рада
x = YCn(tt0)n . (32) п=0
Указаны ступенны рад знаходзяць метадам нявызначаных каэфіцыентаў ці метадам, заснаваным на прымяненні рада Тэйлара (рада Макларэна).
Метад нявызначаных каэфіцыентаў асабліва зручна прымяняецца да лінейных ураўненняў, гэта значыць ураўненняў віду (11), і заключаецца ў наступным: калі ўсе каэфіцыенты p^ft), к = 1,п гэтага ўраўнення і свабодны член f(t) раскладаюцца ў рады па ступенях tt0, якія збягаюцца ў прамежку (t0 h;t0 + h), to шуканае рашэнне х = x(t) таксама выяўляецца ступенным радам (32), які збягаецца ў гэтым прамежку. Падстаўляючы ва ўраўненне функцыю (32) і яе вытворныя, параўноўваюць каэфіцыенты пры
112
аднолькавых ступенях t t0. 3 атрыманых пры гэтым ураўненняў пры зададзеных пачатковых умовах знаходзяць каэфіцыенты
Метад, заснаваны на прымяненні рада Тэйлара (рада Макларэна), заключаецца ў паслядоўным дыферэнцаванні дадзенага ўраўнення. Гэта дае магчымасць знайсці значэнні вытворных, якія ўваходзяць у выразы для каэфіцыентаў рада
x(to) 7 x^fto)
x(t) = x(t0) + x(t0)(tt0) + ^(tt0/+...+~^Г(‘*о) +.
які з’яўляецца рашэннем ураўнення.
Разгледзім больш падрабязна прымяненне радоў да рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў другога парадку
х + pj(t)x + p2(t)x = f(t).	(33)
Калі ўраўненне (33) у наваколлі пункта t0 задавальняе ўмовам тэарэмы існавання і адзінасці рашэнняў, то яго частковае рашэнне (ці агульнае) можна адшукваць у выглядзе рада (32). Калі ж пункт t0 з’яўляецца асаблівым для ўраўнення (33), гэта значыць у ім хоць бы адна з функцый Pj, р?, f не вызначаная, то яго частковае (або агульнае) рашэнне патрэбна адшукваць у выглядзе абагульненага ступеннага рада
xftJ^Cnf'to)"^ ’	<34)
п=0
дзе р патрэбна вызначыць разам з каэфіцыентамі рада (дадатковыя звесткі можна знайсці ў [10], глава II, § 16, с. 66; [1], глава I, §7, с. 137; [3], глава VIII, § 3, с. 438; [19], глава III, § 10, с. 207).
Для вызначэння каэфіцыентаў Сп радоў (32) або (34) на практыцы паступаюць наступным чынам:
1)	двойчы дыферэнцуюць рад з невядомымі каэфіцыентамі і знаходзяць, такім чынам, х і х;
2)	падстаўляюць х, х, х у выглядзе ступенных радоў у зыходнае ўраўненне (33);
113
3)	функцыі Pi(t), p2(t), f (t) замяняюць радамі па ступенях tt0, пасля чаго дыферэнцыяльнае ўраўненне x+pj(t)x+p2(t)x = f(t) ператвараецца ў роўнасць двух ступенных радоў;
4)	параўноўваючы каэфіцыенты ў атрыманых радах пры аднолькавых ступенях t — t0, атрымліваюць ураўненні для знаходжання невядомых каэфіцыентаў Сп; калі ж рашэнне ўраўнення адшукваецца ў выглядзе абагульненага ступеннага рада, то, параўноўваючы каэфіцыенты пры найменшай ступені t t0, атрымліваюць так званае вызначальнае ўраўненне, з якога знаходзяцца ўсе магчымыя значэнні параметра р ;
5)	знойдзеныя невядомыя каэфіцыенты Сп падстаўляюць у шуканы
оо
рад х = ^Cn(t t0)n, у выпадку абагульненага ступеннага п=0
рада каэфіцыенты Сп знаходзяць для кожнага значэння р і тым самым атрымліваюць столькі частковых рашэнняў, колькі значэнняў мае параметр р .
Атрыманае рашэнне ў выглядзе рада даследуецца на збежнасць вядомымі прыметамі, прычым сума рада з’яўляецца рашэннем дыферэнцыяльнага ўраўнення ў абсягу збежнасці гэтага рада.
Прыклад 1. Рашыць ураўненне x + tx + x = 0.
Рашэнне. Каэфіцыенты p/t) = t, p2(t) = 1 з’яўляюцца аналітычнымі функцыямі пры ўсіх t. Адшукваем частковае рашэнне дадзенага ўраўнення ў выглядзе рада
п=0
Падстаўляючы гэты выраз ва ўраўненне, папярэдне знайшоўшы х, х, атрымаем оо	оо	оо
X Спп(п l)tn~2 + /X Cnntn' + X Q” = °
п=2	п=І	п0
114
Параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях t, атрымліваем ураўненне для вызначэння каэфіцыентаў Сп:
(п + 1)(п + 2)Сп+2+(п + 1)Сп=0, п = 0,1,2,....
Дапускаючы Со = 1, Cj = 0, знаходзім
^ТТ^Г1'2^ с^0'^1...............
Таму t2 t4 t6	(i)mt2m
'2 4.6. ;2тГе '
Другое рашэнне, лінейна незалежнае з xt(t), знойдзем, калі будзем меркаваць Со=О,С]=1. Будзем мець С2т=0, С2т+І =
(~1)т
—,т = 0,1,2,.... У выніку гэтага x2(t) =
1 ■ 3 ■ 5...(2т + 1)
= > , значыць, агульнае рашэнне дадзенага ўраў
^0135...(2т + 1)
нення х = C]Xj(t) + C2x2(t), дзе Cj,C2 — адвольныя пастаянныя.
Прыклад 2. Рашыць ураўненне
2t2x + (3t 2t2 )х (t +1 )х = 0.
Рашэнне. Пункт t = 0 з’яўляецца асаблівым для каэфіцыентаў ураўнення
3t2t2	t + 1
х +^—х—ух = 0.
2t2	2t2
Рашэнне будзем адшукваць у выглядзе абагульненага ступеннага рада (34). Прадыферэнцаваўшы (34) два разы, пасля падстаноўкі ва ўраўненне параўноўваем каэфіцыенты пры найменшай ступені t, атрымаем вызначальнае ўраўненне 2р(р1) + Зр1 = 0. Каранямі
яго будуць р7 =у>Р’ = ~1Рашэнне зыходнага ўраўнення, што
115
адпавядае кораню р; = —,
адшукваем у выглядзе
xl=t2^Cntn’ Со*О, t>0
п=0
Тады
ОО	1	1	°О	,	J	j
ХІ=1УП+^)СП* 2 > Х1=^("+;)(п^)СпІ 2п=0	2	п=0	^	^
Пасля падстаноўкі xI(t),xI(t),x](t) у зыходнае ўраўненне
атрымаем
2'2І.("2~Ус/^ ^(3t2l2 ^(пЛк/^ п=0	4	п=0	2
~ L
~(t + i)lLc/+2 =о
п=0
або
^п(2п + 3)С/ + ~2 ~^2(п + 1)с/ + ~2 =0.
п=0	п=0
1_
Адкуль, падзяліўшы на t2, будзем мець
Y"(2n + 3)Cntп £ 2(п + l)Cntп+І =0.
п=0	п=0
Параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях t, маем
ураўненні для вызначэння Сп :
n(2n + 3)Cn=2nCn_lt п = 1,2.
Дапусціўшы Со = 1, знаходзім
2п
'п 579...(2п + 3)’ П 1,2........
Такім чынам,
116
x,(t) = t2 І^
n=l
(2t)n
579...(2n + 3))
Рашэнне зыходнага ўраўнення, што адпавядае кораню р, = 1, бу
дзем адшукваць у выглядзе
1 п=0
Пасля падстаноўкі гэтага выраза ў зыходнае ўраўненне, параўнаўшы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях / , атрымаем
2(п1) (n2)Q + 3(п1)Сп2(п2) Сп_, Сп_, Сп=0 або
n(2n3)Cn=(2n3)C„_h п = 1,2..
Дапусцім, Со = 1, тады знаходзім
C^l.Q^.C,^......С„
1_ п!
гэта значыць
1( t2 tn } е'
Агульнае рашэнне зыходнага ўраўнення запішам у выглядзе х = Clx1(t) + C2x2(t), дзе С, і С2 адвольныя пастаянныя.
Прыклад 3. Знайсці першыя шэсць членаў раскладання ў ступенны рад рашэння дыферэнцыяльнага ўраўнення 27t3'x — Юх = 0, якое задавальняе пачатковым умовам х0=1, хо =^’хо = “р ПР“ to = L
У сілу таго, што t0 = 1, рашэнне будзем шукаць у выглядзе рада па ступенях (t1):
х(!) = х(1) + ^(<1) + ^(і~1)! +^(11)’ +
117
^(l)
x'(l)
4! '	5! '	'
Першыя тры каэфіцыенты вызначаюцца пачатковымі 1	2
ўмовамі: х0 = х( 1J = 1, х0 = х( 1) = —, х0 = х(1) = — . Пры t = l з
ураўнення 27t3x Юх = 0 знаходзім 27t3x(l)10 ■ 1 = 0, гэта
10 10	v
значыць 'х(1) = — = —. Каб знайсці х (1) і х (1), 27 3
прадыферэнцуем зыходнае ўраўненне 273rx + 27t3x'v10х = 0,
2732іх + 2273t2x,v + 27t3xv 10х = 0.
3 першага ўраўнення пры t = 1 атрымліваем 10 ,v 1	80
273^ + 27хл 10= 0,хп (1) = ^.
Другое ўраўненне дае магчымасць знайсці х1 (1) :
Ю ( 80} г С 2} 2732^ + 2273\ ~7\ + 27xv(1)10 \ — =0,
З3 \34	\ 9
xV(D = ~.
Падстаўляючы значэнні функцыі і яе вытворных у раскладанне, атрымліваем шэсць членаў шуканага рашэння
1	1	7	5	,	10	,
x = l + (tl)y(ll)! +—(11/—(іі/ +
J	3	3	j
+—(tl)3+....
118
§ 10. Ураўненне Беселя
Лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне са зменнымі каэфіцыентамі віду
t2x + tx + (t2 tf )х0 fX = const)	(35)
называецца ўраўненнем Беселя.
Рашэнне ўраўнення (35) будем шукаць у выглядзе абагульненага ступеннага рада (34). Падстаўляючы (34) у (35), атрымаем ^Сп(п + р)(п + р l)tn+p + ^Сп(п + p)tn+p + £ Cntn+P+2 ~ п0	п=О	п=О
^YCntn+P =0 п=О
або
Yc„[(p + n)2+t2X2]tn+p^0. п=0
Прыраўняўшы да нуля каэфіцыенты пры кожнай ступені t у левай частцы ўраўнення, атрымаем сістэму
^\с„(р!К!) = 0,
‘^'[Cilfp + l)2^2] = 0. і^с^р+гў^+с^о. ('‘,|cJ[fp+3/V]+c,=o.
»p*"|c,[('P+»/V]+c^=o.
Дапусціўшы, што Со *0, з дадзенай сістэмы знаходзім р І 2 = ±Х. Няхай р/ = X. Тады каэфіцыенты з няцотнымі індэксамі роўны нулю, а для каэфіцыентаў з цотнымі індэксамі будзем мець
119
122(Х + 1)’ 4 “ (2Х + 4)4 “ 2!24(к + 1)(\ + 2)’
(6 + Х)2Х2~ 3!2б(Х + 1)(Х + 2)(к + 3)’
___________________(Рпс0_____________
24.. .(2п)2п(1 + к)(2 + Х).. .(п + Х>
(^с.
п!22п(к + 1)(Х+2)...(к+п)‘
дзе каэфіцыент Со застаецца пастаянным. Падстаўляючы знойдзеныя каэфіцыенты ў рад (34), атрымаем рашэнне
J t2__________________t4
*i(t)o' 1 2(2X + 2) + 24(2k + 2)(2X + 4)
t6
(Ift^2”
246(2X+2)(2'k+4)(2k+6)
^4nn!a+i)a+2)...a+n)
Пры p2 = —X yce каэфіцыенты Cn аналагічна вызначаюцца толькі ў выпадку, калі X не роўны цэламу ліку. Тады рашэнне x2(t) можна атрымаць, замяніўшы ў рашэнні xt(t) велічыню X на X:
t2
t4
xj(O — CqI
t6
2(2X + 2) 24(2X + 2)(2X + 4)
(іуг^2"
246(TK+2)(2k+4)(^+6)
%4пп!(Л+1)(\+2).Х~\+п)
Атрыманыя ступенныя рады збягаюцца для ўсіх значэнняў t, што лёгка ўстанавіць, выкарыстаўшы прымету Даламбера. Рашэнні X](t) і x2(t) лінейна незалежныя, таму што іх стасунак не з’яўляецца пастаянным (гл. прыклад 2.2).
120
Практыкаванне 1. Даказаць збежнасць атрыманых радоў і лінейную незалежнасць рашэнняў X](t) і x2(t).
1
Рашэнне x^t), памножанае на пастаянную Со = у^^— дзе Г(Х +1) гамафункцыя, якая вызначаецца няўласным інтэгра
лам ЦХ^р 11^ ^t, Ск>0) (падрабязна аб гамафункцыі гл. о
[20], глава VI, § 54, п. 54.5, с. 544), называецца функцыяй Беселя (або цыліндрычнай функцыяй парадку X першага роду) і абазначаецца
1
сімвалам J\(t)Рашэнне x2(t) пры Со = х