КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

149
калі правыя часткі /;(/)маюць дастатковы лік вытворных, то
кожная функцыя xs мае дастатковы лік вытворных. Апішам метад
выключэння. Разгледзім матрыцу
%(р) LIn(p)
L(p) =	.............
(9)
\Lni(P) •"	^пп(Р))
сістэмы ўраўненняў (8). Кожны элементLJS(р) матрыцы (9) ёсць паліном ад р. Такім чынам, можна вылічыць дэтэрмінант D(p) матрыцы (9) і яе міноры. Алгебраічнае дапаўненне элементу L]S(р) матрыцы (9), гэта значыць мінор гэтага элементу, узяты з неабходным знакам, абазначым МSJ (р). 3 алгебры вядома, што мае месца тоеснасць (гл. [12], з. 1, п. 4.4, с. 56) п
YMIJ(p)LJS(p) = ^sD(p),	(10)
дзе 5j так званы сімвал Кронекера: 5' = l,$'s =0 пры і * s.
Памножым ўае ўраўненне (8) на паліном Mtj(p), гэта значыць выканаем шэраг дыферэнцаванняў, множання на лікі і складанняў, і, прасумаваўшы затым па j , атрымаем роўнасць
I Му(р)^(р)х5 = X M^plf/t).	(11)
jj=i	J
Пры пераходзе ад (8) да (11) мяркуецца існаванне дастаткова вялікага ліку вытворных у функцый xs і fj(t).V сілу (10) роўнасць (11) перапішацца ў выглядзе
D(p)xi=^Mij(p)fj(t), і = 1,п.	(12)
j
Атрыманая сістэма ўраўненняў(12) валодае той уласцівасцю, што кожная невядомая функцыя х, уваходзіць толькі ў адно ўраўненне (12).
150
Такім чынам, даказана, што калі сістэма функцый xh...,xn рашэнне сістэмы (1), то кожная асобная функцыя х, ёсць рашэнне ўраўнення (12).
Аднак не патрэбна думаць, што калі для кожнага нумара і выбраць адвольным чынам рашэнне х, ураўнення (12) і затым скласці сістэму функцый х],...,хп , то яна будзе рашэннем сістэмы (8). Для таго, каб знайсці агульнае рашэнне х],...,хп сістэмы (8), патрэбна знайсці агульнае рашэнне xt кожнага ўраўнення (12), і = 1,п, скласці сістэму функцый Xj,...,xn і затым вызначыць, пры якіх умовах, гэта значыць пры якіх судачыненнях паміж пастаяннымі інтэгравання, гэтая сістэма функцый задавальняе сістэме (8).
Зробім некаторыя вывады з метаду выключэння. Разгледзім выпадак аднароднай сістэмы ўраўненняў п
^Ljs(p)xs=O, j = l,n.	(13)
S=1
Калі сістэма функцый х,,...,хп уяўляе сабой рашэнне сістэмы (13), то кожная асобная функцыя xt, што ўваходзіць у гэтае рашэнне, задавальняе ўраўненню
D( р)х, = 0, дзе D(р)дэтэрмінант матрыцы L(р).
Пакажам цяпер, як, карыстаючыся метадам выключэння, патрэбна рашаць сістэму (13). Запішам яе ў вектарнай форме
Цр)х = О,	(14)
дзе х = colonfX],...,хп).
Дапусцім, што detL(p)D(p) сістэмы (13) не ператвараецца тоесна ў нуль, і няхай X — корань палінома D(p) кратнасці к. Будзем шукаць рашэнне сістэмы (14) у выглядзе x = g(t)e\	(15)
дзе g(t) = colon(g](t),...,gn(t)) вектар, кампаненты
151
gi(O>,gn(t)	(16)
якога паліномы ступені к1 адносна t з нявызначанымі каэфіцыентамі. Кожнае рашэнне віду (15) будзем называць адпаведным кораню X. Падстаўляючы (15) ва ўраўненне (14), атрымаем
0 = L(p)g(t)e" = euL(p + \)g(t).	(17)
Пасля скарачэння на е^ будзем мець
L(P + ^)g(t) = O.	(18)
Такім чынам, вектар (15) тады і толькі тады з’яўляецца рашэннем ураўнення (14), калі паліномы (16) задавальняюць умове (18). Калі перапісаць вектарнае ўраўненне (18) у каардынатнай форме, то атрымаем п судачыненняў п
^Ljs(p + 'k)gs(t) = O, j = l,n.	(19)
S=1
Левая частка кожнага судачынення (19) ёсць паліном ступені к — 1 адносна t, каэфіцыенты якога з’яўляюцца лінейнымі аднароднымі функцыямі каэфіцыентаў паліномаў (16). Прыраўняўшы да нуля каэфіцыент пры кожнай ступені / у кожным з судачыненняў (19), атрымаем сістэму лінейных аднародных ураўненняў адносна каэфіцыентаў паліномаў (16). Гэтая сістэма будзе эквівалентнай ураўненню (18).
Такім чынам, апісаны метад прыводзіць задачу адшуквання рашэнняў віду (15) да рашэння некаторай аднароднай лінейнай сістэмы алгебраічных ураўненняў. Адсюль вынікае, што рашэнні віду (15) будуць вызначаны на ўсім інтэрвале (оо;+оо).
Пры адшукванні ўсіх рашэнняў ураўнення (14) карыстаюцца наступнай тэарэмай
Тэарэма 3. Няхай дэтэрмінант D(p) сістэмы (13) не ператвараецца тоесна ў нуль і ’кІ,’к2,...,'кт сукупнасць усіх розных каранёў палінома D(p). Тады адвольнае рашэнне х ураўнення (14) можна запісаць у выглядзе
152
X = х1 +...+хт, дзе х' некаторае рашэнне ўраўнення (14), што адпавядае кораню
Адкуль, у прыватнасці, вынікае, што кожнае рашэнне ўраўнення (14) вызначана для ўсіх значэнняў t.
Прыклад 1. Рашым метадам выключэння сістэму ўраўненняў
X! +X] +х2 = 0,
X] X] + х2 + х2 = 0.
Перапішам яе ў сімвалічнай форме (р + l)xt + рх2 = 0, ' (р21)х,+(р2 +1)х2=0.
Лёгка бачыць, што дэтэрмінант D(p) роўны р2+2р + 1 і мае двукратны корань X = —7. Згодна з тэарэмай 3 рашэнне сістэмы будзем ашукваць у выглядзе
х, = (at + Ь)е~', х2 (ct + d)е~‘.
Падстаўляючы ў першае ўраўненне, атрымаем a + cctd = 0. Адкуль c = 0,a = d. Тыя ж судачыненні атрымліваюцца і пры падстаноўцы ў другое ўраўненне сістэмы. Такім чынам, агульнае рашэнне мае выгляд х, = (at + b)е~', х2 = ае ~'.
дзе a і b адвольныя пастаянныя.
§ 3. Лінейныя аднародныя нармальныя сістэмы з пастаяннымі каэфіцыентамі
Разгледзім сістэму
153
дзе х = colon(X]
dx
— = Ax, dt
ay,j = l,n
A = l,n
(20)
пастаянная матрыца.
Апішам метады інтэгравання сістэмы (20).
1°. Метад Эйлера.
Па аналогіі з метадам Эйлера для аднаго аднароднага ўраўнення п га парадку (гл. § 2.5) будзем адшукваць рашэнні сістэмы (20) у выглядзе паказальнай функцыі, гэта значыць у выглядзе
хі=Уіе •х2=І2е .......хп=1п^ ’
дзе У і,у 2,>У „^пастаянныя лікі, якія патрэбна знайсці, прычым хаця бы адзін лік уt ^О, і = 1,п. Пасля падстаноўкі хк у сістэму (20) і скарачэння на e*1 * 0 атрымліваем
(ац^)Уі + аІ2У2+...+аІпуп = 0, а2іУі+(^22~^)У2++а2пуп=0,
апіУі+аП2У2+...+(ат\)уп=0.
Сістэма (21) сістэма п лінейных аднародных алгебраічных ураўненняў з п невядомымі У / >У 2 ,>У п ■ Для таго, каб яна мела нетрывіяльнае рашэнне, неабходна і дастаткова, каб яе дэтэрмінант быў роўны нулю (гл. [24], глава II, р. 2.6., п. 6°, с. 111):
		ап ^	а12	^ In		
\Л	XF| =	“21	a 22 ~ ^	а2п	= 0.	(22)
		^пі	ап2	апп ~ ^		
Роўнасць (22) ёсць ураўненне адносна X, і называюць яе характарыстычным ураўненнем сістэмы (20). Левая яго частка палі
154
ном ступені n адносна X з сапраўднымі каэфіцыентамі, і таму ўраўненне мае п каранёў з улікам іх кратнасцяў. Ураўненне (22) лічыцца характарыстычным ураўненнем матрыцы A, а яго карані \1,\2,...,\п уласнымі значэннямі гэтай матрыцы (гл. [25], глава III, § 7, с. 77). Знайшоўшы Л з (22), для кожнага з X t ,\2,...,\п знаходзім адпаведны ўласны вектар у = colon (Уі.У2,,Уп) матрыцы A, вызначаны сістэмай (21).
Такім чынам, функцыі xt = ў^' ,...,хп — y„e'J з’яўляюцца
рашэннямі сістэмы (20) тады і толькі тады, калі лікі У і>У2,...,уп з’яўляюцца каардынатамі ўласнага вектара у матрыцы А гэтай сіс
тэмы, прычым X адпаведнае ўласнае значэнне матрыцы A .
Разгледзім наступныя выпадкі:
а)	Карані \І,\2,...,'кп характарыстычнага ўраўнення сапраўдныя і розныя. У гэтым выпадку матрыца А мае п лінейна незалежных уласных вектараў (гл. [25], глава III, § 7, с. 77) у/,у2,...,у",дзе
J nJ ,
Тады рашэннем сістэмы будуць вектарфункцыі
У^ 7
j = l^
Функцыі xJ лінейна незалежныя, а значыць утвараюць базіс рашэнняў сістэмы (20). Сапраўды, для матрыцы
155
УіІ^	Уі2е	2	•"	У1пе
X(t)= ^'е	^е		^е
{Ini*	Уп2^	Yme	J
маем \Х(0)\*0, таму што яго слупкі лінейна незалежныя ўласныя вектары. Згодна з формулай АстраградскагаЛіувіляЯкабі (гл. (6)) \X(t\^0 для ^t^R. Значыць, па тэарэме 1, вектарфункцыі xJ утвараюць базіс рашэнняў, j = 1,п .
Такім чынам, агульнае рашэнне сістэмы лінейных аднародных ураўненняў з пастаяннымі каэфіцыентамі ў выпадку сапраўдных розных каранёў характарыстычнага ўраўнення мае выгляд
х = C]x1(t) + C2x2(t)+...+Cnxn('t)
або ў каардынатнай форме
*/ =СіТцеХ‘' +СяІ2еХ2,+...+СпчІпе^', Х2 = Cj42lex'' +С2у 22^'+■■+^42»^
Хп = с^е1' +С2у„2е^'+..лСпуппе^
Прыклад 1. Знайсці агульнае рашэнне сістэмы
dx,	dx}
——=7хі+Зх2, —^=6х,+4х2
dt ‘ і dt 7	2
Рашэнне. Характарыстычнае ўраўненне матрыцы сістэмы
мае выгляд
7\
6
3 4Х
= 0, або
77—11)^ + 10 = 0. Яго карані
\І = 1,7^2 = 10 уласныя лікі матрыцы каэфіцыентаў. Пры к = 1 ураўненні для вызначэння ўласнага вектара маюць від (7 1)у t + Зу2 = 0, 6у j + (4 1 )у 2 0 і прыводзяць да аднаго ўраўнення 2у І +у 2 0. Калі дапусціць у j = 1 ,то у2~~^> гэта
156
значыць ураўненнем вызначаецца вектар colon (1,2) .
Пры Х = 10 атрымліваем ураўненні (7 10) у! + Зу 2 0, 6 Уі + (4~ Ю) У2 0 або Уі ~У2 ~ 0 ■ Гэтае ўраўненне вызначае вектар colon (1,1).
Атрымліваем фундаментальную сістэму рашэнняў:
для X = 7:	хп уj е' = е‘, х21 = у2 е' = ~^е'’>
для ~k = 10: х]2 = У ] е,0‘ = eIOt, х22 = У2 е,°' = е,°' •
Агульнае рашэнне сістэмы мае від
І е +С2 е , х2 = 2С, е +С2 е .
б)	Карані характарыстычнага ўраўнення ўсе розныя, але сярод іх ёсць камплексныя. Дапусцім, што А, = (Х + ф(Д^0) камплексны корань. Калі каэфіцыенты сістэмы сапраўдныя лікі, то спалучаны лік X = аф таксама будзе коранем характарыстычнага ўраўнення. Гэтым караням (камплексна спалучаным уласным значэнням матрыцы А) будуць адпавядаць уласныя вектары з камплексна спалучанымі каардынатамі (гл. [19], глава I, § 8, с. 62)
p±iq =	P2	±i	<12	. Значыць, вектары	'(p^iq,)^"' (p.+i^fe1^»'
	'\ (р2іЧ2)е"^>'
будуць частковымі рашэннямі сістэмы (20).
{(Р.іЧ.)ё^
Па формулах Эйлера маем
(pk + і qk) е(а+'В' = effaces 01 qksin $t) + i ^(pk sin^ t + qk cos^ t).
157
Вядома, як і ў тэорыі лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў (гл. п. 2.5.2°), калі вектар u(t) + iv(t) рашэнне лінейнай сістэмы (20) з сапраўднымі каэфіцыентамі, то сапраўдная частка рашэння u(t) і яго ўяўная частка v(t) таксама будуць лінейна незалежнымі рашэннямі гэтай сістэмы.
Такім чынам, пары камплексна спалучаных каранёў X/ ^ = = а±ф характарыстычнага ўраўнення адпавядае пара сапраўдных рашэнняў
v'(t) =	ea (pi cos Pz q] sin ^t) e™ (P2 cos Pz ~ Ч2 s‘n P^)	^2(t) =	еш (Pi sin 3/ + q/ cos fit^ еш (P2 s‘n & + <12 cos P?)
	^(PnCosty^sinty),		,eal(pnsin^t + qncos^t)>
Агульнае рашэнне сістэмы (20) у гэтым выпадку ёсць лінейная камбінацыя пабудаваных такім чынам сапраўдных рашэнняў.
Прыклад 2. Рашыць сістэму х = 2ху, ў = х + 2у.
Рашэнне. Характарыстычнае ўраўненне сістэмы
2Х