КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

Тэарэма 4. Для адвольнай квадратнай матрыцы А парадку п існуе базіс h1 ,...,hn, які складаецца з жарданавых ланцужкоў {h1 ,...,hkl], [hk'+I hkl^\ [hkl++k^+l,...,hn], што адпавядаюць уласным значэнням ’kl,\2,...,’ks матрыцы Л. Прычым, для
кожнага такога ланцужка існуе сістэма рашэнняў, так што рашэнні сістэмы (20) запісваюцца
166
Х^' =1^+1^
хк^ = _fhk,+l+ +hk,+k2 еК2,
[(к2~1)!	/
xk,+...+ks_i+l _ kl+..+tsi+l ^t
( t^1
^L—}lki+~kks.i+l VksD!
+...+hn e^
Пры гэтым формула
x = C^1 +...+Cnxn,
(28)
дзе CI,...,Cn канстанты, заўсёды дае рашэнне сістэмы (20) і кож
нае рашэнне сістэмы (20) апісваецца формулай (28).
Заўвага 2. Аналізуючы сказанае вышэй, адзначым, што сістэма (20) пасля падстаноўкі х = Ту (матрыца Т прыводзіць
матрыцу A
dy__ Jj
dt “
да жарданавай нармальнай формы)
прыме выгляд
у. Апошняя сістэма распадаецца на s асобных
падсістэм віду (25).
Заўвага 3. Рашэнні сістэмы (20), згодна з тэарэмай 4, можна знаходзіць так:
а) па кожнаму жарданаваму ланцужку [h1,...,^^ матрыцы А бу
дуем набор рашэнняў х1 ,...,хк па формуле (27). Калі гэты ланцужок
167
адпавядае камплекснаму Л, то па правілу, прыведзенаму раней, будуецца набор сапраўдных рашэнняў сістэмы (20), які адпавядае Л і
б)	запісваем лінейную камбінацыю ўсіх пабудаваных рашэнняў з адвольнымі пастаяннымі па формуле (28).
Прыклад 6. Рашыць сістэму х2 = Зх, х2, х2 = 4xj — х2.
Рашэнне. Уласныя лікі матрыцы А гэтай сістэмы роўны ^ / =^2 ~ ^ ■ Уласны вектар вызначым з сістэмы Ах = х, гэта значыць 3xt х2 =х2, 4х{ — х2—х2, адкуль вынікае 2хІ = х2 і ўласны вектар толькі адзін (з дакладнасцю да множніка): h1 = colon (1,2).
Таму будзем мець далучаны вектар h2, які вызначаецца з сістэмы Ah2 =h2 +hl. Для кампанент х; і х2 вектара h2 атрымліваем сістэму ЗхІх2 = хІ + 1, 4х/х2 = х2+2 або 2хІх2=1, 4xj 2х2 = 2. Таму вектар h2 можна ўзяць у выглядзе colon (0,1).
Па формуле (27) будуем рашэнні
і ўсякае рашэнне сістэмы мае від
+ С2
' ( ' ^1,
або ў каардынатнай форме
Хі = е'(С! + C2t), х2 = e'(2Cj + C2(2t 1)).
II.	Агульны матрычны метад.
Гэты метад заснаваны на непасрэдным знаходжанні фундаментальнай матрыцы сістэмы.
Каб знайсці фундаментальную матрыцу сістэмы, неабходна ведаць уласцівасці экспаненцыяльнай функцыі матрыцы A, менавіта еА . Прывядзём іх (гл. [27], § 4, глава IV, с. 101).
168
Экспанентай еА (выкарыстоўваюць яшчэ абазначэнне exp ( А)) матрыцы А называюць суму рада
А def A А~ A3 еА = Е+ — ++ —
1! 2!	3!
(29)
дзе Е адзінкавая матрыца. (Аб збежнасці матрычнага рада гл. [25], глава V, § 4, с. 107.) Матрычная экспанента валодае наступнымі ўласцівасцямі:
а)	калі AB = ВА, то еА+в = еА ■ ев = ев ■ еА ‘,
б)	калі A = Т1 • JT ,то еА = Т~' eJ Т.
Тэарэма 5. Матрыца еА' з’яўляецца фундаментальнай матрыцай сістэмы (20).
Адсюль вынікае, што рашэннех(t) сістэмы (20), што задавальняе ўмове х(0) = х°, вызначаецца выразам x(t) = еАіх° . Бу
At	A
дзем адшукваць матрыцу е метадам прывядзення матрыцы А да жарданавай формы. Прадставім А у выглядзе A = Т1 JАТ, дзе Ja ~
жарданава форма матрыцы A , таму што eAt = Т 'e^'T.
Калі J клетка Жардана, гэта значыць
(Е 1 0 ■■■ 0}
X 1
0
, то, запісаўшы J у выглядзе J = EE +1 ,
•	Jt	I t
знаходзім, што е = е е , бо
(ЕЕ )■ J = J■ (EE). Матрыцу е 11
лёгка знайсці пры дапамозе рада
6а Зак. 970
169
(29)	. Паколькі Iг = 0, дзе г памер клеткі J, значыць у радзе (29) не роўныя нулю толькі першыя г членаў.
Складзём з клетак eJ'' квазідыяганальную матрыцу ejA> і з дапамогай уласцівасці б) знойдзем матрыцу ел‘.
Прыклад 7. Вылічыць матрыцу еАі, калі
А =
Рашэнне. 3 ураўнення
3к
= 0,або ^ 4\ +4 = 0
знаходзім уласныя лікі дадзенай матрыцы Х7=к2=2.У сілу таго,
што ранг матрыцы A ХЕ =
1
12
1
роўны 1,
то жарданава матрыца А мае від J=
. Матрыцу
Т =
' a Ь^ с d,
такую, што
А = Т 1JT, вызначым з роўнасці
Для ўраўненняў
'а Ь\ 3 Г
^с d\l 1) знаходжання a,b,c,d
,0 2)[с d)'
атрымліваем лінейную сістэму
3ab = 2a + c,a+b = 2b + d,3cd = 2c, c + d = 2d
або abc = 0,cd = 0. Адным з рашэнняў сістэмы з’яўляецца
a = 3, b = 2, с = 1, d = 1. Такім чынам, Т =
. Адваротная да
яе матрыца мае выгляд Т 1 =
запішацца так:
1 1
1
3
2У 2
3
0
. Роўнасць A Т 1JT
2 7 1 '
170
Калі eJt = е2'
A
0
е
At
\t + l)e2‘ < “ te2‘
(lt)e2‘)
Прыклад 8. Рашыць сістэму ўраўненняў
dx,
—— = 2х, 2х2, dt ‘
dx2
— = 4х7 + 4х2.
I dt
Рашэнне. 3 характарыстычнага ўраўнення
2
4Х
знаходзім, што ўласнымі лікамі матрыцы
2\
4
рыцу Т =
2^
4 >
з’яўляюцца X; = 0, Х2 = 2. Знойдзем
такую мат
a
b\	^a
7 , каб d)	Іс
ьу2
dk4
2\ f0 ON a
4 J\0 ^кс
b' d.
Пера
множыўшы матрыцы ў абедзвюх частках роўнасці, атрымаем сістэму ўраўненняў для знаходжання a,b,c,d'—a + 2b = 0, —c + d=0.
Гэта сістэма алгебраічных ураўненняў мае, напрыклад, рашэнне
a = 2,b = 1, с = 1, d = 1. Таму
г
2 ,
Улічваючы роўнасць АТ 1JT, знаходзім
° Y2
^А^
6а*
171
1 е
1 2е2'
2е2'	1е2‘
2 + 2е2' 1 + 2е2'
. Такім чынам, лю
бое рашэнне, што задавальняе ўмове х(0) = х°, запішацца
x(t) =
2е2'	1е2‘
2 + 2е2' 1 + 2е2',
о
Прыклад 9. Вылічыць матрыцу еА', калі A =
Рашэнне. Запішам матрыцу А у выглядзе
Е =
( 0
0 1
0 '
Паколькі матрыца
а р
₽ а/
A = Olf + р/ , дзе
CtE камутуе з
aEt 1	•
е . У сілу таго, што
aEt atE
е = е , маем
матрыцай р/ ,то еА = е
еА' = е“ e1^. Знойдзем матрыцу е11. Па азначэнню матрычнай
экспаненты запішам е
2!
. Вылічым матрыцы
1к (к = 2,3,...).
2
' 0
0 >
73
2
4
з
ок1
0/ \
0Y 0
0
I 0 '0
0
Лёгка бачыць, што I 2к = (1 )к Е, I
2к+1
0
0
0
0
0 ’
= (1)кІ, к = 0,1,2.
~ t2 ~ t2 t2
Таму е11 = E + ItE — I — + E —+.
2!	3!	4!
0 1\1 0
t
Ш
0
o^t2
12!
1
e^1'
‘1
2!+ 4!'
' 3! 5!
cos 0/
0)3!
t3
0 14!
t5
3! 5!
2!+ 4!
cos t
L sin t
sin t
cos t
. Тады
sin 0/л
sin 0/ cos ^t
. Такім чынам,
At _ й7 I _ e = e e =
еш cos 0/ еш sin fit еш sin 0r еш cos 0/
Прыклад 10. Знайсці рашэнне сістэмы ўраўненняў
X) = 6X] + 5х2, х2 = 10хІ 8х2, якое задавальняе пачатковай умове Xj(0) = 0, х2(0) = 1.
Рашэнне. Уласныя лікі матрыцы знаходзім з ураўнення
6Х	5
10 8Х
= 0, X2 + 2X + 2 = 0. Будзем мець Xj 2 =1±i. Лікі
X; 2 камплексныя, значыць сапраўдная жарданава форма матрыцы
А мае від J =
знаходзім з роўнасці
a

Матрыцу
^ Y 6
dl10
Т=
a tX с d,
8
, для якой A = Т ' JT,
1 lYa b\
1 lie d
роўнасць эквівалентна сістэме ўраўненняў '7а10Ь = с, 5a7b = d.
173
Адным з рашэнняў атрыманай сістэмы будзе a = 3, b = 2,c = l,d = l.
Таму Т =
Аналагічна прыкладу 8 падлі
Jt чым, што е =
е 1 cost
^е"1 sin t
е 1 е~'
sin t ' cost,
. Таму
~2У е 1 cos t е ' sint(3 3 Де~' sin t е~' cos t\l
'cos t + 7 sin t	5 sin t л
4 10 sin t cos t7sin t.
x(t) = eAt x° = e 1
Такім чынам, шуканае рашэнне
'cos t + 7 sin t 5 sin t	¥ O'
10 sin t cos t 7 sin t 1
(	5 sin t
^cos t 7sin t j Прыклад 11. Знайсці рашэнне сістэмы х, = Зхі+4х2, *2 = ~Х1 + х2' якое задавальняе ўмове xt(0) = 1, х2(0) = 0.
Рашэнне. Уласныя лікі матрыцы
А знаходзім з ураўнення
3Х	4
1	1Х
= 0,Х2 +2Х + 1 = 0,
гэта
значыць X/ = Х7 = 1.
Ранг матрыцы A Х]Е =
4 \
'2 4'
2,
роўны 1,
таму
жарданава форма матрыцы А ёсць J
[0 I,
. Матрыца Т =
a

Ь' d ’
174
якая задавальняе роўнасці
А = Т 1JT, вызначаецца
'а 6Y3 ^ (~1 1\а < с d\l 1} ( 0 ~1\с
Ь'
Апошняя роўнасць
так:
экві
валентная сістэме алгебраічных ураўненняў 2а + Ь + с = 0, 2c + d = 0. Адным з рашэнняў гэтай сістэмы ўраўненняў з’яўляецца
а =1, b = 1, с = 1, d = 2, таму Т =
Такім чынам, еА'
(2
е
= е
[0
1 ’
1 2
, Т'1
1 2
канчаткова атрымліваем
. Паколькі
еА,=
1
2е
е
0
е 1
e~,(l + 2t)Yl — e r (1 +1) l 1
2
2
(l2t)e~‘	4te~‘
te~' (l + t)e
Рашэнне зыходнай задачы запішацца так:
x(t) =
(l2t)e~‘	4te~'
te' (l + t)e~‘
0
(l2t)e te~'
або Xi = (1 2t)e 1 ,x2 =te 1.
§ 4.	Лінейныя неаднародныя сістэмы
Разгледзім лінейную неаднародную сістэму
■37 = Zaij(t)Xj + fi(O> і = 1,п,	(30)
at j=i
175
або ў вектарным запісе
— =A(t)x + f(t), at
дзе t е I ~ (a;b\ f = colon (fl,f2,...,fn') вектарфункцыя з непарыўнымі на I кампанентамі, х і A(t) вызначаны ў § 1.
Тэарэма 6 (аб структуры агульнага рашэння лінейнай неаднароднай сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў). Любое рашэнне сістэмы (30) уяўляе суму некаторага частковага рашэння х’ гэтай сістэмы і некаторага рашэння адпаведнай аднароднай сістэмы х = A(t)х, і наадварот, сума некаторага частковага рашэння х* неаднароднай сістэмы і любога рашэння адпаведнай ёй аднароднай сістэмы з’яўляецца рашэннем сістэмы (30).
Такім чынам, агульнае рашэнне сістэмы (30) мае выгляд х = х* + Qx1 + С2х2 +...+Спхп, дзе х1 ,х2 ,...,хп фундаментальная сістэма рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы.
Доказ гэтай тэарэмы праводзіцца па той жа схеме, што і доказ тэарэмы 2.3. аб структуры агульнага рашэння лінейнага неаднароднага дыферэнцыяльнага ўраўнення.
Практыкаванне 1. Правесці самастойна падрабязны доказ тэарэмы 6.
Адзначым, што для сістэмы х = A(t)x + f1 (t)+...+fk (t) мае месца прынцып суперпазіцыі частковых рашэнняў, у адпаведнасці з якім частковае рашэнне гэтай сістэмы адшукваецца ў вык
глядзе х* =^х‘* , дзе х'* частковае рашэнне сістэмы І=1
х = A(t)x + f'(t) (гл. § 2.3).
Сістэму лінейных неаднародных ураўненняў можна рашаць шляхам прывядзення яе да аднаго ўраўнення п га парадку метадам выключэння, метадам інтэгравальных камбінацый або метадам варыяцыі адвольных пастаянных. Апошні з названых метадаў
176
прымяняецца ў тым выпадку, калі ўдаецца рашыць адпаведную аднародную сістэму ўраўненняў х = A(t)x. Няхай базіс рашэнняў гэтай сістэмы вядомы і х = X(t) С, дзе С вектарслупок адвольных пастаянных С],С2,..,Сп ёсць яе агульнае рашэнне.
Замяняючы Ct на C,(t), падбярэм вектарфункцыю С(t) так, каб выраз x = X(t)C(t) даваў агульнае рашэнне неаднароднай сістэмы. Прадыферэнцуем х і падставім х іх у (30). Атрымаем X(t)C(t) + X(t)C(t) = A(t)X(t)C(t) + f (t) або з улікам, што X(t) фундаментальная матрыца адпаведнай аднароднай сістэмы, X(t)C(t) = f(t). Адкуль C(t) = Х~'(t)f (t) (X^Ct) адваротная матрыца X(t) будзе існаваць, таму што слупкамі апошняй з’яўляюцца лінейна незалежныя вектарфункцыі і t
\X(t^*0). Будзем мець C(t) = ^ Х~'(x)f (x)dx + C, дзе С