КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

адвольны вектарслупок, t0 е I.
Падстаўляючы цяпер знойдзеную C(t) у выраз x = X(t)C(t), атрымаем агульнае рашэнне зыходнай сістэмы ў выглядзе
x(t) = X(t )\ Х~' (х )f(x)dx + X(t )С.	(31)
'о
Пакажам, што формула (31) змяшчае ўсе рашэнні сістэмы (30) на інтэрвале I. Няхай x = x(t)~ любое рашэнне разглядаемай сістэмы. Выберам t0 е I , і няхай x(t0 ) = х°. Пакажам, што рашэнне, зададзенае формулай (31), пры адпаведным выбары С будзе задавальняць такім жа пачатковым умовам. Падставіўшы дадзеныя пачатковыя ўмовы ў (31), будзем мець х° = X(t0)C. У сілу
177
таго, што X(t) фундаментальная матрыца, адназначна знаходзім С = Х~' (t0)x°. Пры такім выбары С рашэнне (31) будзе супадаць з выбраным рашэннем x = x(t). Адсюль вынікае, што рашэнне сістэмы (30) з пачатковай умовай x(t0) = х° (задачы Кашы) можна запісаць у выглядзе
x(t)= X(t)X'(t0)x° + X(t)\ Х~'(t)f(t)dt ■ (ЗГ) ‘о
Заўвага 1. Аб азначэнні вытворнай і інтэграла ад матрычнай функцыі можна прачытаць у [25], глава V, § 6, с. 116, 118.
Прыклад 1. Рашыць сістэму ўраўненняў dx У , dy х — = x + ~ + t ch t, — = — + y + tsht. dt t	dtt
Рашэнне. Складзём пачленна два ўраўненні, атрымаем лінейнае ўраўненне з невядомай функцыяй х + у:
d Г Л
^(x + y) = ^ + ~j(x + y) + te .
Рашэнне адпаведнага аднароднага ўраўнення ёсць x + y = Cjte'. Рашэнне неаднароднага ўраўнення адшукваем у выглядзе х + у = C](t)te'. Функцыю С/^^ызначаем з роўнасці t dCj , te —— = te , гэта значыць C,(t) = t + С,. Такім чынам, dt	7	7
х + у = С^е’+t2 е‘. Адымаючы пачленна з першага ўраўнення дадзенай сістэмы другое, маем
d	( 1}
~Т(ХУ) = \ 7“Т (x~y) + te . dt	\ t J
tj
Адкуль знаходзім xy = C2te 1 +t2e '. Улічваючы атрыманыя вынікі, будзем мець
178
х = —(СІе‘ +С2е ' ) + t2ch t, y = —(CIe‘ C2e ‘ ) + t2sh t.
Прыклад 2. Рашыць сістэму ўраўненняў dx	■> dy
t—x + yt, r — = 2x + yt (t^O). at	at
x dx
Рашэнне. 3 першага ўраўнення знаходзім у—~+~Адкуль t at
dy х 1 dx d2x	. dy
— = — — + y	■ Падстаўляючы гэтыя выразы для у і — у
2 d2x	dx	dx
другое ўраўненне, атрымаем t‘ —~^ + t — — x = —2х + x + t — або dr	dt	dt
2 d2x
t —y = 0. У сілу таго, што t ^ 0, з апошняга ўраўнення маем dr
d2x	„
—— = 0 і пасля інтэгравання атрымаем х = C] + C2t. Значыць, dt
х dx Cj + C2t	C]
y = ~t+~dt=1~ ^2 ~ ^2^^ ■	Агульнае рашэнне
С1
дадзенай сістэмы х = С/ + C2t, у = — + 2С2.
§ 5.	Метады інтэгравання лінейных неаднародных сістэм з пастаяннымі каэфіцыентамі
1°. Метад выключэння. Прыменім метад, апісаны ў § 2, да разглядаемай сістэмы (30) з пастаяннай матрыцай A.
Прыклад 1. Рашыць сістэму
1	7	5	5.	1	1	1
Х' =~6Х,+'бХ2~6Хз+1е х^~2Х/~2Х2 + 2Хз''
179
12	1	1 .
Хз ~ зх'~ зХг + зХз + зе '
1 .
Рашэнне. Дыферэнцуем па t першае ўраўненне: xt = ~Х/ + 6
7	5	5 ,
+ ~х2 ~Xj + —е • Пасля замены ў гэтым ураўненні х, і х3 іх 6	6	3
выразамі з другога і трэцяга ўраўненняў сістэмы будзем мець
ЗбХ] = 6х, ЗІХ] х2 +11х3 + 50е'.	(32)
Атрыманае ўраўненне прадыферэнцуем па t : 36х\ = бх/ З1х3 +
х2 + 11х3 +50е/,адкуль
216'х/ = Збх, 186х, + 25х/ 41х2 + 19х3 + 322е‘. (33) 3 першага ўраўнення сістэмы і ўраўнення (32) знаходзім х2 і х3 праз t,xI,xl,xl'.
5	1
х2 = —X] + ^Х/ + 25хІ 5е ,
7 1	,
х, = —х,—хІ + Зх, 5е . *22
(34)
Падставім х2 і х5 ва ўраўненне (33) і атрымаем адносна Xj ураў
ненне трэцяга парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі і спецыяльнай правай часткай х; + Х] = 2е'.
Агульнае рашэнне гэтага ўраўнення мае від (гл. § 2.6) х, = = Cj + С2 cos t + С3 sin t + е'. Падставіўшы хІ,хІ,Хі у роўнасці (34), знаходзім
1	1
х2 = 2C] +~(С3 С2)cos t—(C3+ C2)sin t,
1	1
x3 = 3CI ~(C2 + C3)cos / + yfCi _ C3)sin t + e.
2° . Метад варыяііыі адвольных пастаянных. Прыменім метад,
180
апісаны ў папярэднім параграфе, да сістэмы (30), у якой матрыца A(t)^A .
dx	dy	1
Прыклад 2. Рашыць сістэму — = у, ~ = х +.
dt	dt	cost
Рашэнне. Агульнае рашэнне адпаведнай аднароднай сістэмы dx dy
— =у—=—х мае выгляд x = CIcost+C>sint, y = C] sin t+C2 cost dt dt
(гл. § 2). Рашэнне зыходнай сістэмы будзем адшукваць у выглядзе x = Cj(t)cos t + C2(t)sint, y = C!(t)sint + C2(t)cost. Прадыферэнцаваўшы х, у і падставіўшы ўсе выразы ў зыходную сістэму, будзем мець наступныя ўраўненні для вызначэння C](t) і C2(t)'.
C](t)cos t + C2(t)sin t = 0,
1
C,(t)sin t + C2(t)cos t =,
cos t
sin t
адкуль C,=, C2(t) = l. Праінтэграваўшы, атрымаем
cos t
C\(t) = lr\cost\JrCl,C2(t) = t + C2
i,	значыць,
x = C, cos t + C2 sin t + cos t ■ ln\cos /| +1 sin t,
У = —C] sin t + C2 cos t sin t ■ ln\cos t\ + t cos t.
3° . Метад нявызначаных каэфіцыентаў. Гэты метад прымяняецца ў тым выпадку, калі функцыі f/t) складаюцца з сумаў і здабыткаў функцый b0 +bIt+...+bmtm, еш, cos fit, sin fit.
Калі fi(t) = ea‘l\Pni(t)cosfiit + Qmi(t)sinfiA^, to частковае рашэнне лінейнай неаднароднай сістэмы адшукваецца па тых жа правілах, што і для аднаго лінейнага ўраўнення з пастаяннымі каэфі
181
цыентамі (гл. § 2.6) са зменамі, якія вызначаюцца наступнай тэарэмай
Тэарэма 7. Частковае рашэнне сістэмы
дзе A =
ajtj = l,n
< і=і^ ;
х = Ах+ Pm(t)e^,
^т(О~ п вектарны паліном ступені т,\\.—
камплексны лік, мае выгляд
^'^Q^«)cv.
прычым Qm+k(t)~ вектарны паліном з кампанентамі ступені, не большай за т + к, а лік к супадае з кратнасцю Ц, калі ц з’яўляецца коранем характарыстычнага ўраўнення (22) і к = 0, калі ц не корань ураўнення (22).
Невядомыя каэфіцыенты паліномаў Q‘m+k(t) (кампанент Qm+kO)) вызначаюцца шляхам падстаноўкі і параўнання каэфіцыентаў падобных членаў, а сапраўдныя рашэнні выдзяляюцца па той жа схеме, што і раней.
Прыклад 3. Рашыць сістэму ўраўненняў dx	, dy
— = 2х+у + 2е, — = х + 2у3е4 . dt ' dt
Рашэнне. Знаходзім карані характарыстычнага ўраўнення
адпаведнай аднароднай сістэмы
2\
1
1 2Х
= 0
або X' 4\ +
+ 3 = 0; X] = І,)^ = 3. Агульнае рашэнне аднароднай сістэмы ёсць х = Q е'+ С2 е3<, у =C] е'+ С2 е3'. Паколькі Ц = / з’яўляецца коранем характарыстычнага ўраўнення аднароднай сістэмы, а ]1 = 4 не з’яўляецца коранем гэтага ўраўнення, то частковае рашэнне, згодна з тэарэмай 7, будзем адшукваць у выглядзе
182
x*=(A,+ A2t)e‘ + A3e4', y* = (Bj + B2t)e‘ + B3e4‘. Падстаўляючы гэтыя выразы ў дадзеную сістэму, атрымліваем ураўненні для вызначэння невядомых каэфіцыентаў Ait В,,і = 1,2,3: — A] + А2 — B] — 2, A] + Bj — B2 = 0, A2 + B2 = 0,2 A3 ~ B3 = 0, 2B3 — A3 = 0. 3 гэтых ураўненняў знаходзім A] =0, A2 =1, A3 = —l, B] = 1, B2 = 1, B3 = 2. Частковае рашэнне неаднароднай сістэмы х* = te' e4t ,у* = —(t + l)e' 2е4', а яе агульнае рашэнне (гл. тэарэму 3) запішацца так:
х = С,е' + С2е3‘ + te' е4,.у = С,е' + С2е3‘ ~(t + l)e‘ 2е4'.
Прыклад 4. Устанавіць від частковага рашэння сістэм:
x = 4xy + e3‘(t + sint),	х = хy + 8t,
а) j> = x + 2y + te3' cost.	б) ў = 5ху + Г +sin2t.
Рашэнне. а) Знаходзім карані характарыстычнага ўраўнення адпаведнай аднароднай сістэмы \1—\2 = 3. У зыходнай сістэме ц = 3, a + ф = 3 + і. 3за таго, што Ц = 5 з’яўляецца двухкратным коранем характарыстычнага ўраўнення (т = 1, к = 2), a a + z'P = 3 + z не з’яўляецца коранем гэтага ўраўнення (т = 1), то частковае рашэнне запішацца ў выглядзе х* =(a/t3 + Ь^2 +c1t + dl)e3‘ +(k1t + l1)e3t sint + fmjt + nje3' cost, y* =(a2t3 + b2t2 +c2t + d2)e3' + (k2t + l2)e3' sin t + (m2t + n2)e3' cos t. б) Карані характарыстычнага ўраўнення тут роўныя XJ 2 = +2і. Для дадзенай сістэмы у = 0 не з’яўляецца коранем характарыстычнага ўраўнення (w = 2), лік a ±ф = ±2і з’яўляецца коранем гэтага ўраўнення (к = 1, т = 0). Таму частковае рашэнне дадзенай сістэмы будзе мець выгляд
х* =a/t2 +b]t + C] + (d, + klt)cos2t + (fl + l!t)sin2t, y* =a2t2 +b2t + c2 +(d2 + k2t)cos 2t + (f2 +I2t)sin2t.
183
4° . Пабудова інтэгравальных камбінацый. Метад Даламбера.
Разгледзім гэты метад у выпадку сістэмы двух ураўненняў dx ,	dv
— = alx + bIy + fI(t), ~ = а2х + b2y + f2(t). Памножым другое
ўраўненне сістэмы на нейкі лік X і складзём пачленна з першым ураўненнем. Атрымаем
d(xy\y)
—= (al+ka2)x + (bl +Xb2)y + f1(t) + Xf2(t).
Перапішам апошняе ўраўненне ў выглядзе (aj +Х а2 & 0)
d(x + "ky) dt
л f	b.+kb2 ]
= (а,+Ха2) х + —~Г^У + /і(0 + ^2(0(35) k	ax+ka2 )
■ і	b] + kb2
Выберам лік А так, каб = A . Тады (35) прывядзецца да a ] + ka2
ўраўнення, лінейнага адносна х + ку, d(x + ky)
= (а,+)ш2)(х + \у) + f,(t) + Xf2(t), інтэгруючы якое, будзем мець
x + ky = е(а^^С+ \ (f,(t) + \f2(t))e(a^}'dt).	(36)
Ь/ + kb)
Калі ўраўненне ;= А мае розныя сапраўдныя карані X, і
а1 + ка2
Х2> то з (36) атрымаем два незалежныя інтэгралы дадзенай сістэмы, а, значыць, інтэграванне сістэмы будзе закончана.
Прыклад 5. Рашыць метадам Даламбера сістэму dx . т , dy ' v — = 2х + 2у + е , — = х5у + е . dt	'dt
Рашэнне. Памнажаем другое ўраўненне сістэмы на X, і складваем пачленна з першым:
— (х + ку)(2к)хУ(25к)уУе' + ке2' dt
184
або
d л	(	2~5^ \
—(x + Xy) = (2h) х + ———yl + e +Xe2.	(37)
• at	\	— 2 — h J
Выбіраем X так, каб каэфіцыент пры у у квадратнай дужцы быў
роўны X , гэта значыць ——~ = X або I.2 — 31. + 2 = 0, адкуль — 2 — К
Х; =1,1.22Пры Х7 = / з (37) атрымліваем
^ІУ).=.3(і+у)^+г.
dt
Значыць, згодна з формулай (36), будзем мець
х+у = е~3' ((J] + \(е' + е2' )e3,dt\
Пасля інтэгравання знаходзім
x + y = CIe~3t +^е' +^e2t.	(38)
Пры Х2 =2 з (37) аналагічна запішам
х + 2у = С2е~4‘ +^е' +^е2'.	(39)
Вырашаючы сістэму (38), (39) адносна х і у, атрымаем агульнае рашэнне дадзенай сістэмы
х = 2С1е~3‘ C2e~4t + 0,Зе' + ^е2',
2
у = С^3' + С2е~4'0,05е' + — е2'.
dx
5°. Матрычны метад. У сістэму — = Ax + f (t) увядзём замест х новы слупок невядомых функцый z па формуле
х = eAlz.	(40)
Дыферэнцуючы (40) і падстаўляючы ў зыходную сістэму, атрымаем
185
dl
= f(t). Адкуль z(t) = C+^e Ax f (x)dx. Вяртаючыся na
формуле (40) да x, атрымаем
x = e
At
C + \eAxf(x)dT
= eAl
C^\eA('~z) f(x)dx,
<0
дзе C слупок з адвольнымі пастаяннымі элементамі. 3 улікам пачатковай умовы x(t0) — х°, з апошняй формулы атрымаем
С = е Аі° х° , і рашэнне задачы Кашы можна запісаць так: х = еА(1~'о)х° +^еА(,~х>f (x)dx.
*0
Прыклад 6. Рашыць задачу Кашы:
X/ = 5Х] х2 4х3 +е',
• х2 = 12Х] + 5х2 + 12х3, хІ(2) = 0, х2(2) = 1, х3(2) = 0.
х3 = 10х/ Зх2 9х3,
Рашэнне. Уласнымі значэннямі матрыцы А будуць ХІ2 = 1, \3 =1. Уласнаму значэнню Х/2 = 1 адпавядае адзін уласны вектар, таму што ранг матрыцы (А~К12Е) = ( AЕ) будзе роўны 2.