Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
1. Трохвугольныя сістэмы.
Такія сістэмы ўяўляюць сабою, з аднаго боку, даволі просты клас дыферэнцыяльных сістэм, інтэгравальных у замкнутай форме, з другога боку, да іх, наогул кажучы, можна прывесці любую неаўтаномную лінейную сістэму, а гэта значыць, што ўласцівасці рашэнняў трохвугольных сістэм дастаткова поўна адлюстроўваюць уласцівасці рашэнняў усіх лінейных неаўтаномных сістэм.
Разгледзім спачатку выпадак, калі ў (1) матрыца A(t) дыяганальная, гэта значыць
A(t) = diag(aII(t),a22(t),...,ann(tj).
Тады матрыца X(t), якая нармаваная ў пункце t0 & I, таксама дыяганальная і
* Тут, а таксама ў § 4.4, § 5.7 выкарыстана выкладанне некаторых фактаў і тэарэм згодна з манаграфіяй Н.В.Гайшуна «Введенне в теорню лннейных нестацнонарных снстем». Мн., 1999.
218
X(t) = diag exp ^an(x)dx
exp \ann(^)^ •
Разгледзім трохвугольную сістэму, гэта значыць сістэму (1) з матрыцай
%i(t) a12(t) ••• a^t)' 0 a22(t) ••• a2n(t)
[° 0 ■■■ ann(t)J
Такая сістэма, відавочна, інтэгруецца ў замкнутай пачынаючы з апошняга ўраўнення, і элементы фундаментальнай матрыцы X(t), нармаванай у пункце
(61)
форме, Xi/t) to ^^
вызначаюцца выразамі
Xy(t) = exp fan(x)dx х
s
х exp J au (x )dx ds
< 'o >
Xij(t) = exp ^a^xjdx
(62)
x,j(t) = O (i>j); i,j = l,n.
3 судачыненняў, y прыватнасці, вынікае, што фундаментальная матрыца трохвугольнай сістэмы можа быць выбрана таксама трохвугольнай.
Прыклад 1. Знайсці фундаментальную матрыцу X(t) сістэ
мы
219
[X3=X3
Рашэнне. Згодна з формуламі (62) будзем мець
хпехр ^an(T)dx exp JТdi
\0
\0
t
= exp — ,
x22 ~exP \а22(і:№ ~ exP \^2 dT
\0
\0
г
= ехр —
х33 = exp ^a33(t)dT = exp ^ 1 dr =exp(t),
\0
\0
x12 = exP J all (*№ ‘\al2( s)x22 (s) ’ exP
\0
0
^an(T)dT dsO, о )
~\а22(^)^ ds = 0 )
\0
0
х23 = еХР \ а22 (*№ J а23 (s)x33 (S) • ехР
t
t
= exp — exp t1 = exp(t)exp —
хіз = exP J \o
JV*/2
0
X
хexp ~^ап(х)dx ds = < о >
\o Jo
220
хехр — ds = exp — • exp t— 1 = exp(t)exp
Такім чынам, фундаментальная матрыца X(t) дадзенай сістэмы запішацца так:
exp
ехр(t) exp
(VYl
X(t) =
exp
ехр( t)exp
expit)
Тыповасць трохвугольных сістэм y першую чаргу тлумачыцца вядомай тэарэмай Перона. Перш, чым яе фармуляваць, нагадаем, што (n х л) матрыца U называецца артаганальнай, калі UU' = U'U = Е (гл. [25], глава IX, § 7, с. 224). У сілу таго, што для любых a,b& Rn мае месца роўнасць
(Ua,Ub} = = (U'U a,b) = (a,b),
то пераўтварэнне x = U y захоўвае эўклідаву геаметрыю прасторы Rn, гэта значыць захоўвае даўжыні вектароў і вуглы паміж імі. Таму, калі ў сістэме (1) зрабіць замену х = U(t) у, дзе матрыца U(t) артаганальная Vtel, то ўласцівасці з пункту гледжання эўклідавай геаметрыі рашэнняў зыходнай і пераўтворанай сістэм будуць аднолькавыя.
Тэарэма 13. Усякую лінейную сістэму (1) з дапамогай артаганальнага пераўтварэння х = U(t) у можна прывесці да сістэмы ў = B(t) у з трохвугольнай матрыцай B(t).
Доказ тэарэмы 13 прыведзены, напрыклад, у [46], § 3.14,
с. 178182.
221
На жаль, доказ тэарэмы 13 не дае спосабу пабудовы неабходнага пераўтварэння х = U(t) у і таму гэтая тэарэма не можа быць выкарыстана для інтэгравання ў замкнутай форме якоганебудзь шырокага класа лінейных неаўтаномных сістэм.
2. Сістэмы ЛапаДанілеўскага.
Няхай інтэграл ад матрыцы A(t) — {a^t^j вызначаецца роў
насцю
разгледзім сістэму (1) пры ўмове
A(t Д А(т)dx = ^ А(т)dx А(t).
(63)
Лінейныя сістэмы, якія задавальняюць умове (63), часта называюць сістэмамі ЛапаДанілеўскага. Відавочна, што фундаментальная матрыца такой сістэмы, нармаваная ў пункце to ^ I, вызначаецца ў замкнутай форме з дапамогай роўнасці
X(t)exp ^A(x)dT .
(64)
Практыкававне 1. Праверыць роўнасць (64).
Адзначым, што дыяганальныя матрыцы заўсёды задавальняюць умове (63); недыяганальныя матрыцы парадку 2x2, якія задавальняюць умове (63), маюць выгляд
аДО+ЬрДі) a2(t)>
k b2a2(t) aj(t))'
A(t) =
дзе CL](t), 02(0’ telадвольныя непарыўныя функцыі, a bj, b2 сапраўдныя лікі.
Практыкаванне 2. Даказаць сфармуляванае вышэй сцвярджэнне.
222
Прыклад 2. Знайсці фундаментальную матрыцу X(t) сіс
тэмы
xt = (t + 2 sin t) X] + sin tx2, x2 = sin t + tx2.
Рашэнне. Згодна з формулай (64), атрымаем
^i^T + sinT ^^
КНІГІ ОНЛАЙН
